2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-5 橢圓教案【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)2.了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用3.理解數(shù)形結(jié)合思想.【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn)：掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì);2.教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力；【教學(xué)策略與方法】自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動(dòng)法【教學(xué)過程】教學(xué)流程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)二：考綱傳真:1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)2.了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用3.理解數(shù)形結(jié)合思想.真題再現(xiàn);1.(xx·全國，11)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PFx軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為()A. B. C. D.解析設(shè)M(c，m)，則E，OE的中點(diǎn)為D，則D，又B，D，M三點(diǎn)共線，所以，a3c，e.答案A2.(xx·大綱全國，6)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn).若AF1B的周長(zhǎng)為4，則C的方程為()A.1 B.y21C.1 D.1解析由橢圓的性質(zhì)知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，AF1B的周長(zhǎng)|AF1|AF2|BF1|BF2|4，a.又e，c1.b2a2c22，橢圓的方程為1，故選A.答案A3.(xx·全國，10)已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在橢圓上，得0，即，AB的中點(diǎn)為(1，1)，y1y22，x1x22，而kAB，.又a2b29，a218，b29.橢圓E的方程為1，故選D.答案D知識(shí)梳理：知識(shí)點(diǎn)1橢圓的定義1平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距2集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：(1)若a>c，則M點(diǎn)的軌跡為橢圓；(2)若ac，則M點(diǎn)的軌跡為線段F1F2；(3)若a<c，則M點(diǎn)不存在知識(shí)點(diǎn)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0)離心率e，且e(0,1)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a短軸B1B2的長(zhǎng)為2b焦距|F1F2|2ca，b，c的關(guān)系a2b2c21必會(huì)結(jié)論;(1)點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓1的關(guān)系點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓內(nèi)<1. 點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上1.點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓外>1.(2)若P為橢圓1上任一點(diǎn)，F(xiàn)為其一個(gè)焦點(diǎn)，O是橢圓的中心(坐標(biāo)原點(diǎn))，則有ac|PF|ac，b|PO|a.2必清誤區(qū);在設(shè)橢圓1(a>b>0)上點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x，y)時(shí)，則有|x|a，這往往在求與點(diǎn)P有關(guān)的最值問題中用到，也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯(cuò)誤的原因考點(diǎn)分項(xiàng)突破考點(diǎn)一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1.(xx·大綱全國卷)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)若AF1B的周長(zhǎng)為4，則C的方程為()A.1 B.y21C.1 D.1【解析】由e得.又AF1B的周長(zhǎng)為4，由橢圓定義，得4a4，得a，代入得c1，b2a2c22，故C的方程為1.【答案】A2已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A.1 B.1C.1 D.1【解析】設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|MC2|(13r)(3r)16，M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a16,2c8，故所求的軌跡方程為1，故選D.【答案】D3已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸是短軸的3倍，并且過點(diǎn)P(3,0)，則橢圓的方程為_【解析】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a3，則b1.從而橢圓方程為y21，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b3，則a9，從而橢圓方程為1.【答案】y21或1歸納；1求橢圓方程的方法(1)求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義時(shí)，一定要注意常數(shù)2a>|F1F2|這一條件(2)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2ny21(m>0，n>0，mn)的形式2焦點(diǎn)三角形中的常用結(jié)論橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)；利用定義和余弦定理可求|PF1|PF2|；通過整體代入可求其面積等，常用到的結(jié)論有：(1)|PF1|PF2|2a；(2)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|cos ；(3)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大考點(diǎn)二: 橢圓的幾何性質(zhì)1.(xx·江西高考)設(shè)橢圓C：1(ab0)的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)D，若ADF1B，則橢圓C的離心率等于_【解析】由題意，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2a2b2.不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限，由ABx軸，B，A.由于ABy軸，|F1O|OF2|，點(diǎn)D為線段BF1的中點(diǎn)，則D，由于ADF1B，知·0，則·2c20，即2acb2，2ac(a2c2)，又e，且e(0,1)，e22e0，解得e(e舍去)【答案】跟蹤訓(xùn)練：1設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，PF1F230°，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.【解析】如圖，設(shè)PF1的中點(diǎn)為M，連接PF2.因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)M為PF1F2的中位線所以O(shè)MPF2，所以PF2F1MOF190°.因?yàn)镻F1F230°，所以|PF1|2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|PF2|，由橢圓定義得2a|PF1|PF2|3|PF2|a，2c|F1F2|PF2|c，則e·.故選A.【答案】A2(xx·福建高考)已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若|AF|BF|4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.【解析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性及橢圓的定義可得A，B兩點(diǎn)到橢圓左、右焦點(diǎn)的距離為4a2(|AF|BF|)8，所以a2.又d，所以1b<2，所以e.因?yàn)?b<2，所以0<e，故選A.【答案】A歸納：求橢圓離心率的方法1直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解2列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解考點(diǎn)三: 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1). (xx·安徽高考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0<b<1)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若|AF1|3|F1B|，AF2x軸，則橢圓E的方程為_(2) (xx·陜西高考)已知橢圓E：1(a>b>0)的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)(c,0)，(0，b)的直線的距離為c.求橢圓E的離心率；如圖8­5­1，AB是圓M：(x2)2(y1)2的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程(文)(2) (xx·陜西高考)如圖，橢圓E：1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(0，1)，且離心率為.求橢圓E的方程；經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2.【解析】(1)不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，設(shè)半焦距為c，則F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)AF2x軸，則A(c，b2)(其中c21b2,0<b<1)又|AF1|3|F1B|，得3，設(shè)B(x0，y0)，則(2c，b2)3(x0c，y0)，x0且y0，代入橢圓x21，得25c2b29又c21b2，聯(lián)立，得b2.故橢圓E的方程為x2y21.【答案】x2y21(2)過點(diǎn)(c,0)，(0，b)的直線方程為bxcybc0，則原點(diǎn)O到該直線的距離d，由dc，得a2b2，解得離心率.法一由知，橢圓E的方程為x24y24b2.依題意，圓心M(2,1)是線段AB的中點(diǎn)，且|AB|.易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.從而x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得，解得b23.故橢圓E的方程為1.法二由知，橢圓E的方程為x24y24b2.依題意，點(diǎn)A，B關(guān)于圓心M(2,1)對(duì)稱，且|AB|.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x4y4b2，x4y4b2，兩式相減并結(jié)合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0.易知AB與x軸不垂直，則x1x2，所以AB的斜率kAB.因此直線AB的方程為y(x2)1，代入得x24x82b20.所以x1x24，x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得，解得b23.故橢圓E的方程為1.跟蹤訓(xùn)練：1.(xx·全國卷)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|5|F1N|，求a，b.【解】(1)根據(jù)c及題設(shè)知M，由kMN，得，則2b23ac.將b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的離心率為.(2)由題意，原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2y軸，所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn)，故4.于是b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1<0，則即代入C的方程，得1.將及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2.歸納：1解決直線與橢圓有關(guān)問題的求解策略解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單2弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|(k為直線斜率)提醒：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式。學(xué)生通過對(duì)高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對(duì)知識(shí)的掌握情況。 學(xué)生通過對(duì)高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的逐點(diǎn)掃描，來澄清概念，加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ).在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題，教師及時(shí)點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過對(duì)考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求，做到有的放矢由常見問題的解決和總結(jié)，使學(xué)生形成解題模塊，提高模式識(shí)別能力和解題效率。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行小結(jié)，由利于學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理，加強(qiáng)理解記憶，提高解題技能。環(huán)節(jié)三：課堂小結(jié)：1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)2.了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用3.理解數(shù)形結(jié)合思想.學(xué)生回顧，總結(jié).引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，為在今后的學(xué)習(xí)中，進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。環(huán)節(jié)四：課后作業(yè)：學(xué)生版練與測(cè)學(xué)生通過作業(yè)進(jìn)行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識(shí)。