高中數(shù)學(xué) 模塊檢測(cè)試題 新人教B版必修4 一、選擇題(共10小題，每題5分，共50分) 1．若tan(α－3π)>0，sin(－α＋π)<0，則α是(　　) A．第一象限角　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析　由已知得tanα>0，sinα<0，∴α是第三象限角． 答案　C 2．函數(shù)y＝2sin(ωx＋φ)的圖象如圖，則(　　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－ 解析　當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，且|φ|<， ∴2sinφ＝1，∴sinφ＝，∴φ＝. 當(dāng)x＝時(shí)，y＝0，∴sin＝0， ∴ω＋＝2π，∴ω＝2.故ω＝2，φ＝. 答案　C 3．將函數(shù)y＝cos的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝π 解析　將y＝cos的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝cos的圖象，再把所得圖象向左平移個(gè)單位， 得到y(tǒng)＝cos的圖象． 令x－＝kπ，k∈Z，則x＝2kπ＋，k∈Z. 當(dāng)k＝0時(shí)，x＝. ∴y＝cos的一條對(duì)稱軸為x＝. 答案　C 4．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b與a－2b垂直，則實(shí)數(shù)λ的值為(　　) A. B．－ C．－ D. 解析　(λa＋b)·(a－2b)＝0， ∴λa2＋(1－2λ)a·b－2b2＝0， ∴13λ＋3－6λ－2＝0，∴λ＝－. 答案　B 5．在坐標(biāo)平面上直線l的方向向量e＝，點(diǎn)O(0,0)，A(1，－2)在l上的正射影分別為O1、A1，設(shè)＝λe，則實(shí)數(shù)λ＝(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 解析　λ＝＝－2. 答案　B 6．已知a，b是單位向量，a·b＝0，若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是(　　) A．[－1，＋1] B．[－1，＋2] C．[1，＋1] D．[1，＋2] 解析　將所給向量式兩邊平方后利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及向量數(shù)量積定義求解． ∵a·b＝0，且a，b是單位向量， ∴|a|＝|b|＝1. 又∵|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1， ∴2c·(a＋b)＝c2＋1. ∵|a|＝|b|＝1且a·b＝0，∴|a＋b|＝. ∴c2＋1＝2|c|cosθ(θ是c與a＋b的夾角)． 又－1≤cosθ≤1， ∴0<c2＋1≤2|c|. ∴c2－2|c|＋1≤0. ∴－1≤|c|≤ ＋1. 答案　A 7．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F.若＝a，＝b，則＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析　由題可得△DEF∽△BEA且相似比為，即＝，故＝＋＝＋＝b＋a. 答案　C 8．已知α∈，tan(α－7π)＝－，則sinα＋cosα的值為(　　) A．± B．－ C. D．－ 解析　∵tan(α－7π)＝－，∴tanα＝－<0. ∵α∈，∴α∈. ∴sinα＝，cosα＝－，∴sinα＋cosα＝－. 答案　B 9．已知向量a＝(2，sinx)，b＝(cos2x,2cosx)，則函數(shù)f(x)＝a·b的最小正周期是(　　) A. B．π C．2π D．4π 解析　f(x)＝a·b＝(2，sinx)·(cos2x,2cosx) ＝2cos2x＋2sinxcosx ＝sin2x＋cos2x＋1 ＝sin＋1. ∴T＝＝π. 答案　B 10．已知α，β為銳角，且cosα＝，cosβ＝，則α＋β的值是(　　) A. B. C. D.或 解析　由α，β為銳角，且cosα＝，cosβ＝，可得sinα＝，sinβ＝，且0<α＋β<π，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－，故α＋β＝. 答案　B 二、填空題(共4小題，每小題5分，共20分) 11．若向量a，b滿足：(a－b)·(2a＋b)＝－4，且|a|＝2，|b|＝4，則a與b的夾角等于________． 解析　2a2－a·b－b2＝－4， ∴a·b＝－4. 設(shè)a與b的夾角為θ， 則cosθ＝＝＝－. ∴θ＝120°. 答案　120° 12．已知a＝(3,1)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，則＝________. 解析　由題意得3cosα＝sinα，即tanα＝3， ∴＝＝. 答案　 13．設(shè)函數(shù)f(x)＝3sin的圖象為C，有下列四個(gè)命題： ①圖象C關(guān)于直線x＝－對(duì)稱；②圖象C的一個(gè)對(duì)稱中心是；③函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)；④圖象C可由y＝－3sin2x的圖象左平移得到．其中真命題的序號(hào)是________． 解析　∵f＝3sin＝－3，∴①正確； f＝3sin＝3≠0，∴②錯(cuò)誤； f(x)＝－3sin， 令2kπ＋<2x－<2kπ＋，k∈Z ∴kπ＋<x<kπ＋，k∈Z， ∴f(x)的增區(qū)間為(k∈Z)， ∴③錯(cuò)誤； 圖象C可由y＝－3sin2x向右平移個(gè)單位得到， ∴④錯(cuò)誤． 答案　① 14．在△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，若＝3，＝λ＋μ，則的值為________． 解析　∵＝3，∴＝， ＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋. ∴λ＝，μ＝，＝. 答案　 三、解答題(共4個(gè)小題，15、16、17題12分，18題14分) 15．(12分)已知函數(shù)f(x)＝2cos2－sinx. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域； (2)若α為第二象限角，且f＝，求的值． 解析　(1)∵f(x)＝1＋cosx－sinx＝1＋2cos， ∴函數(shù)f(x)的周期為2π. 又∵－1≤cos≤1， 故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－1,3]． (2)∵f＝， ∴1＋2cosα＝，即cosα＝－. ∵＝ ＝＝， 又∵α為第二象限角，且cosα＝－，∴sinα＝. ∴原式＝＝＝. 16．(12分)如圖，以O(shè)x為始邊作角α與β(0<β<α<π)，使它們終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P、Q，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為. (1)求的值； (2)若·＝0，求sin(α＋β)． 解析　(1)由三角函數(shù)定義得cosα＝－，sinα＝， ∴原式＝ ＝＝2cos2α＝2·(－)2＝. (2)·＝0，∴α－β＝. ∴β＝α－，∴sinβ＝sin＝－cosα＝， cosβ＝cos＝sinα＝. ∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝·＋·＝. 17．(12分)已知向量a＝(sinθ，－2)與b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈. (1)求sinθ和cosθ的值； (2)若5cos(θ－φ)＝3cosφ，0<φ<，求cosφ的值． 解析　(1)∵a⊥b，a·b＝sinθ－2cosθ＝0， 即sinθ＝2cosθ. 又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1， 即cos2θ＝，∴sin2θ＝. 又θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝. (2)∵5cos(θ－φ)＝5(cosθcosφ＋sinθsinφ) ＝cosφ＋2sinφ＝3cosφ， ∴cosφ＝sinφ. ∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝. 又0<φ<，∴cosφ＝. 18．(14分)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<. (1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值； (2)在(1)的條件下，若函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于，求函數(shù)f(x)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)． 解析　(1)由coscosφ－sinsinφ＝0， 得coscosφ－sinsinφ＝0， 即cos＝0.又|φ|<，∴φ＝. (2)由(1)得，f(x)＝sin， 依題意，＝，∴T＝，∴ω＝3. ∴f(x)＝sin. 函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝sin， g(x)是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)3m＋＝kπ＋(k∈Z)， 即m＝＋(k∈Z)． 從而，最小正實(shí)數(shù)m＝.