2022年高考數(shù)學專題復習 第8講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)練習 新人教A版考情展望1.直接考查指數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì).2.以指數(shù)與指數(shù)函數(shù)為知識載體，考查指數(shù)冪的運算和函數(shù)圖象的應用.3.以指數(shù)函數(shù)為載體與函數(shù)方程、不等式等內(nèi)容交匯命題一、指數(shù)冪的概念與性質(zhì)1根式的定義若xna，則x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式2根式的性質(zhì)：()n_a_；3分數(shù)指數(shù)冪(1)正分數(shù)指數(shù)冪是：a(a0，m，nN*，n1)；(2)負分數(shù)指數(shù)冪是：a(a0，m，nN*，n1)；(3)0的正分數(shù)指數(shù)冪是0,0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義4有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：ar·asars(a0，r、sQ)；(ar)sars(a0，r、sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)二、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，)性質(zhì)過定點(0,1)當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x<0時，y>1當x>0時，0<y<1；在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)快速畫出函數(shù)yax(a0，且a1)的技巧畫指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0,1)，.1化簡(2)6(1)0的結(jié)果為()A9B7C10D9【解析】(2)6(1)0(26)1817.【答案】B2化簡(x0，y0)得()A2x2y B2xy C4x2y D2x2y【解析】2x2|y|2x2y.【答案】D3函數(shù)y的值域是()A0，) B0,4C0,4) D(0,4)【解析】由題意得0164x16，函數(shù)的值域是0,4)【答案】C4當a0，且a1時，函數(shù)f(x)ax23的圖象必過定點_【解析】a01，x20，即x2，此時，f(2)2，因此必過定點(2，2)【答案】(2，2)5(xx·山東高考)函數(shù)f(x)的定義域為()A(3,0 B(3,1C(，3)(3,0 D(，3)(3,1【解析】由題意，自變量x應滿足解得3x0.【答案】A6(xx·四川高考)函數(shù)yax(a>0，且a1)的圖象可能是()【解析】當a>1時，yax為增函數(shù)，且在y軸上的截距為0<1<1，排除A，B.當0<a<1時，yax為減函數(shù)，且在y軸上的截距為1<0，故選D.【答案】D考向一 022指數(shù)冪的化簡與求值化簡：(1)(a0，b0)；(2)(0.002)10(2)1()0.【思路點撥】將根式化為分數(shù)指數(shù)冪，負分數(shù)指數(shù)化為正分數(shù)指數(shù)，底數(shù)為小數(shù)的化成分數(shù)，然后運用冪的運算性質(zhì)進行運算【嘗試解答】(1)原式a1b12ab1.(2)原式150010(2)11010201.規(guī)律方法11.這類問題的求解，首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，但應注意：(1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運算的先后順序2當?shù)讛?shù)是負數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù)3運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù)對點訓練計算：(1)÷；(2)(0.027)2(1)0；(3)已知mm4，求.【解】(1)原式(aa)÷(aa)(a3)÷(a2)a÷a1.(2)原式(7)2149145.(3)mm4，mm1216，mm114，mm1114115.考向二 023指數(shù)函數(shù)圖象的應用已知f(x)|2x1|，(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)比較f(x1)與f(x)的大小；(3)試確定函數(shù)g(x)f(x)x2零點的個數(shù)【思路點撥】(1)作出f(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解(2)在同一坐標系中分別作出f(x)、f(x1)圖象，數(shù)形結(jié)合求解(3)在同一坐標系中分別作出函數(shù)f(x)與yx2的圖象，數(shù)形結(jié)合求解【嘗試解答】(1)由f(x)|2x1|可作出函數(shù)的圖象如圖因此函數(shù)f(x)在(，0)上遞減；函數(shù)f(x)在(0，)上遞增(2)在同一坐標系中分別作出函數(shù)f(x)、f(x1)的圖象，如圖所示由圖象知，當|2x011|2x01|時，解得x0log2，兩圖象相交，從圖象可見，當xlog2時，f(x)f(x1)；當xlog2時，f(x)f(x1)；當xlog2時，f(x)f(x1)(3)將g(x)f(x)x2的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)與yx2圖象的交點問題，在同一坐標系中分別作出函數(shù)f(x)|2x1|和yx2的圖象如圖所示，有四個交點，故g(x)有四個零點規(guī)律方法2 1.指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、最值、大小比較、零點等)的求解往往利用相應指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象，然后數(shù)形結(jié)合使問題得解.2.一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解.對點訓練若直線y2a與函數(shù)y|ax1|(a0，a1)的圖象有兩個公共點，求實數(shù)a的取值范圍【解】分底數(shù)0a1與a1兩種情況，分別在同一直角坐標系中作出兩函數(shù)的圖象，如圖：從圖中可以看出，只有當0a1，且02a1，即0a時，兩函數(shù)才有兩個交點所以實數(shù)a的取值范圍為.考向三 024指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用(1)函數(shù)f(x)x24x3的單調(diào)遞減區(qū)間為_，值域為_(2)(xx·威海模擬)已知函數(shù)f(x)1(a0且a1)是定義在(，)上的奇函數(shù)求a的值；求函數(shù)的值域；當x(0,1時，tf(x)2x2恒成立，求實數(shù)t的取值范圍【思路點撥】(1)根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性求解(2)由f(0)0求a，借助ax的范圍求值域，借助二次函數(shù)恒成立的知識求t的取值范圍【嘗試解答】(1)令g(x)x24x3(x2)27，由于g(x)在(，2)上單調(diào)遞增，在(2，)上單調(diào)遞減，而yt在R上為單調(diào)遞減，所以f(x)在(，2)上單調(diào)遞減又g(x)(x2)277，f(x)737.【答案】(，2)37，)(2)f(x)是定義在(，)上的奇函數(shù)，f(0)0，即10.解得a2.y，2x.由2x0知0，1y1.即f(x)的值域為(1,1)不等式tf(x)2x2等價于2x2，即(2x)2(t1)2xt20.令2xu，x(0,1，u(1,2又u(1,2時，u2(t1)ut20恒成立解得t0.故所求t的取值范圍為0，)規(guī)律方法3 1.求解與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關性質(zhì)，其次要明確復合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.2.對于同時含ax、a2x的表達式，通常可以令tax進行換元，但換元過程中一定要注意新元的范圍，換元后轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元二次關系.對點訓練(1)函數(shù)yxx1在x3,2上的值域是_(2)已知函數(shù)f(x)(a0且a1)求f(x)的定義域和值域；討論f(x)的奇偶性；討論f(x)的單調(diào)性【解析】(1)因為x3,2，若令tx，則t，則yt2t12.當t時，ymin；當t8時，ymax57.【答案】(2)f(x)的定義域是R，令y，得ax.ax0，0，解得1y1，f(x)的值域為y|1y1f(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)f(x)1.設x1，x2是R上任意兩個實數(shù)，且x1x2，則f(x1)f(x2).x1x2，當a1時，ax2ax10，從而ax110，ax210，ax1ax20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)為R上的增函數(shù)，當0a1時，ax1ax20，從而ax110，ax210，ax1ax20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)為R上的減函數(shù).思想方法之五指數(shù)冪大小比較的絕招構(gòu)造法構(gòu)造法是通過對問題的觀察、分析，抓住特征，聯(lián)想熟知的數(shù)學模型，然后變換命題，恰當?shù)貥?gòu)造新的數(shù)學模型來達到解題目的在冪的大小比較中，常用的構(gòu)造方式有兩種：(1)構(gòu)造冪函數(shù)，該方法適合“同指不同底”的兩個實數(shù)的大小比較(2)構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，該方法適合“同底不同指”的兩個實數(shù)的大小比較在此基礎上，借助該函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性等)比較兩個數(shù)值的大小1個示范例1個對點練(xx·天津高考)已知a21.2，b0.8，c2log52，則a，b，c的大小關系為()Ac<b<aBc<a<bCb<a<c Db<c<a【解析】b0.820.8<21.2a，c2log52log522<log551<20.8b，故c<b<a.設y140.9，y280.48，y31.5，則()Ay3y1y2By2y1y3Cy1y2y3 Dy1y3y2【解析】y140.921.8，y280.4821.44，y31.521.5.1.81.51.44，且y2x在R上單調(diào)遞增，y1y3y2.【答案】D