2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-1角的概念及任意角的三角函數(shù)教案1角的概念(1)任意角：定義：一個(gè)角可以看做平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形；分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角(2)所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S|k·360°，kZ(3)象限角：使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限2弧度制(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.(2)角度制和弧度制的互化：180° rad,1° rad，1 rad°.(3)扇形的弧長(zhǎng)公式：l|·r，扇形的面積公式：Slr|·r2.3任意角的三角函數(shù)任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)時(shí)，sin y，cos x，tan (x0)三個(gè)三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號(hào)第二象限符號(hào)第三象限符號(hào)第四象限符號(hào)sin Rcos Rtan |k，kZ4.三角函數(shù)線如下圖，設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過(guò)P作PMx軸，垂足為M，過(guò)A(1,0)作單位圓的切線與的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T.三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)角終邊上點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，那么sin ，cos ；同理角終邊上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0，y0)，那么sin y0，cos x0.(×)(2)銳角是第一象限角，反之亦然(×)(3)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等()(4)點(diǎn)P(tan ，cos )在第三象限，則角終邊在第二象限()(5)(0，)，則tan >>sin .()(6)為第一象限角，則sin cos >1.()1角870°的終邊所在的象限是第_象限答案三解析由870°1 080°210°，知870°角和210°角終邊相同，在第三象限2已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是_答案解析設(shè)圓的半徑為r，則sin 1，r，2弧度的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為2r.3已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角終邊上一點(diǎn)，且sin ，則y_.答案8解析因?yàn)閟in ，所以y<0，且y264，所以y8.4函數(shù)y的定義域?yàn)開(kāi)答案(kZ)解析2cos x10，cos x.由三角函數(shù)線畫(huà)出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)x(kZ)題型一角及其表示例1(1)終邊在直線yx上的角的集合是_(2)如果是第三象限角，那么角2的終邊落在_答案(1)|k，kZ(2)第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上解析(1)在(0，)內(nèi)終邊在直線yx上的角是，終邊在直線yx上的角的集合為|k，kZ(2)2k<<2k，kZ，4k2<2<4k3，kZ.角2的終邊落在第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上思維升華(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需的角(2)利用終邊相同的角的集合S|2k，kZ判斷一個(gè)角所在的象限時(shí)，只需把這個(gè)角寫(xiě)成0,2)范圍內(nèi)的一個(gè)角與2的整數(shù)倍的和，然后判斷角的象限(1)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，對(duì)于始邊為x軸非負(fù)半軸的角，下列命題中正確的是_(填序號(hào))第一象限中的角一定是銳角；終邊相同的角必相等；相等的角終邊一定相同；不相等的角終邊一定不同(2)已知角45°，在區(qū)間720°，0°內(nèi)與角有相同終邊的角_.答案(1)(2)675°或315°解析(1)第一象限角是滿足2k<<2k，kZ的角，當(dāng)k0時(shí)，它都不是銳角，與角終邊相同的角是2k，kZ；當(dāng)k0時(shí)，它們都與不相等，亦即終邊相同的角可以不相等，但不相等的角終邊可以相同(2)由終邊相同的角關(guān)系知k·360°45°，kZ，取k2，1，得675°或315°.題型二三角函數(shù)的概念例2(1)已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos 2_.(2)若sin tan <0，且<0，則角是第_象限角思維點(diǎn)撥(1)由于三角函數(shù)值與選擇終邊上的哪個(gè)點(diǎn)沒(méi)有關(guān)系，因此知道了終邊所在的直線，可在這個(gè)直線上任取一點(diǎn)，然后按照三角函數(shù)的定義來(lái)計(jì)算，最后用倍角公式求值(2)可以根據(jù)各象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號(hào)判斷答案(1)(2)三解析(1)取終邊上一點(diǎn)(a,2a)，a0，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，可得cos ±，故cos 22cos21.(2)由sin tan <0可知sin ，tan 異號(hào)，從而角為第二或第三象限角由<0可知cos ，tan 異號(hào)，從而角為第三或第四象限角，故角為第三象限角思維升華(1)利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r.(2)根據(jù)三角函數(shù)定義中x、y的符號(hào)來(lái)確定各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號(hào)，理解并記憶：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(1)已知角的終邊過(guò)點(diǎn)P(8m，6sin 30°)，且cos ，則m的值為_(kāi)(2)若是第二象限角，則_0.(判斷大小)答案(1)(2)<解析(1)r，cos ，m>0，即m.(2)是第二象限角，1<cos <0,0<sin <1，sin(cos )<0，cos(sin )>0，<0.題型三弧度制的應(yīng)用例3已知一扇形的圓心角為 (>0)，所在圓的半徑為R.(1)若60°，R10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C (C>0)，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？思維點(diǎn)撥(1)弓形面積可用扇形面積與三角形面積相減得到；(2)建立關(guān)于的函數(shù)解(1)設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S弓，則60°，R10，l×10 (cm)，S弓S扇S××10×102×sin 50 (cm2)(2)扇形周長(zhǎng)C2Rl2RR，R，S扇·R2·2··.當(dāng)且僅當(dāng)24，即2時(shí)，扇形面積有最大值.思維升華涉及弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算時(shí)，可用的公式有角度表示和弧度表示兩種，其中弧度表示的公式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易記好用，在使用前，應(yīng)將圓心角用弧度表示弧長(zhǎng)和扇形面積公式：l|R，S|R2.已知扇形的周長(zhǎng)為4 cm，當(dāng)它的半徑為_(kāi)和圓心角為_(kāi)弧度時(shí)，扇形面積最大，這個(gè)最大面積是_答案1 cm21 cm2解析設(shè)扇形圓心角為，半徑為r，則2r|r4，|2.S扇形|·r22rr2(r1)21，當(dāng)r1時(shí)，(S扇形)max1，此時(shí)|2.數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用典例：(1)函數(shù)y 的定義域?yàn)開(kāi)(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng)當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于C(2,1)時(shí)，的坐標(biāo)為_(kāi)思維點(diǎn)撥(1)求函數(shù)定義域可轉(zhuǎn)化為解不等式sin x，利用三角函數(shù)線可直觀清晰地得出角x的范圍(2)點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵，可在圖中作三角形，尋找P點(diǎn)坐標(biāo)和三角形邊長(zhǎng)的關(guān)系解析(1)sin x，作直線y交單位圓于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角的終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為x|2kx2k，kZ(2)如圖所示，過(guò)圓心C作x軸的垂線，垂足為A，過(guò)P作x軸的垂線與過(guò)C作y軸的垂線交于點(diǎn)B.因?yàn)閳A心移動(dòng)的距離為2，所以劣弧2，即圓心角PCA2，則PCB2，所以PBsin(2)cos 2，CBcos(2)sin 2，所以xP2CB2sin 2，yP1PB1cos 2，所以(2sin 2,1cos 2)答案(1)2k，2k, kZ(2)(2sin 2,1cos 2)溫馨提醒(1)利用三角函數(shù)線解三角不等式要在單位圓中先作出臨界情況，然后觀察適合條件的角的位置；(2)解決和旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問(wèn)題要抓住旋轉(zhuǎn)過(guò)程中角的變化，結(jié)合弧長(zhǎng)公式、三角函數(shù)定義尋找關(guān)系.方法與技巧1在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)OPr一定是正值2三角函數(shù)符號(hào)是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解簡(jiǎn)單的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧失誤與防范1注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角2角度制與弧度制可利用180° rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用3已知三角函數(shù)值的符號(hào)確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)1角的終邊過(guò)點(diǎn)P(1,2)，則sin _.答案解析由三角函數(shù)的定義，得sin .2若一圓弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角(0，)的弧度數(shù)為_(kāi)答案解析設(shè)圓半徑為r，則其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為r，所以r·r，.3已知角x的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin，cos)，則角x的最小正值為_(kāi)答案解析因?yàn)閟in xcos，cos xsin，所以x2k(kZ)，故當(dāng)k1時(shí)，x，即角x的最小正值為.4若是第三象限角，則y的值為_(kāi)答案0解析是第三象限角，2k<<2k(kZ)，k<<k(kZ)，角在第二象限或第四象限當(dāng)在第二象限時(shí)，y0，當(dāng)在第四象限時(shí)，y0，綜上，y0.5已知角的終邊與480°角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P(x，y)在角的終邊上(不是原點(diǎn))，則的值等于_答案解析由題意知角的終邊與240°角的終邊相同，又P(x，y)在角的終邊上，tan tan 240°，于是.6設(shè)為第二象限角，其終邊上一點(diǎn)為P(m，)，且cos m，則sin 的值為_(kāi)答案解析設(shè)P(m，)到原點(diǎn)O的距離為r，則cos m，r2，sin .7如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，則cos _.答案解析由題意及圖，易知A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以cos .8函數(shù)y 的定義域是_答案(kZ)解析由題意知即x的取值范圍為2kx2k，kZ.9已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(，m) (m0)且sin m，試判斷角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由題意，得r，所以sin m.因?yàn)閙0，所以m±，故角是第二或第三象限角當(dāng)m時(shí)，r2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，角是第二象限角，所以cos ，tan ；當(dāng)m時(shí)，r2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，角是第三象限角，所以cos ，tan .10已知扇形的圓心角是，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.(1)若60°，R10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)l.(2)若扇形的周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？(3)若，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面積解(1)60°，l10×(cm)(2)由已知得，l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以當(dāng)R5時(shí)，S取得最大值25，此時(shí)l10，2.(3)設(shè)弓形面積為S弓由題知lcm，S弓S扇形S三角形××22×22×sin()(cm2)B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：20分鐘)1若一扇形的圓心角為72°，半徑為20 cm，則扇形的面積為_(kāi)cm2.答案80解析72°，S扇形r2××20280(cm2)2已知角2k(kZ)，若角與角的終邊相同，則y的值為_(kāi)答案1解析由2k(kZ)及終邊相同的概念知，角的終邊在第四象限，又角與角的終邊相同，所以角是第四象限角，所以sin <0，cos >0，tan <0.所以y1111.3在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)，將OA繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)450°到B點(diǎn)，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)答案(1，)解析設(shè)B(x，y)，由題意知OAOB2，BOx60°，且點(diǎn)B在第一象限，x2cos 60°1，y2sin 60°，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，)4設(shè)MP和OM分別是角的正弦線和余弦線，則給出的以下不等式：MP<OM<0；OM<0<MP；OM<MP<0；MP<0<OM.其中正確的是_答案解析角在第二象限，OM<0，MP>0，正確5如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A(4,0)出發(fā)沿圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，求點(diǎn)P，點(diǎn)Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間、相遇點(diǎn)的坐標(biāo)及P，Q點(diǎn)各自走過(guò)的弧長(zhǎng)解設(shè)P，Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間是t，則t·t·|2.所以t4(秒)，即第一次相遇的時(shí)間為4秒設(shè)第一次相遇點(diǎn)為C，第一次相遇時(shí)P點(diǎn)和Q點(diǎn)已運(yùn)動(dòng)到終邊在·4的位置，則xCcos·42，yCsin·42.所以C點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，2)P點(diǎn)走過(guò)的弧長(zhǎng)為·4，Q點(diǎn)走過(guò)的弧長(zhǎng)為·4.