2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 3-1-1空間向量及其加減運(yùn)算 3-1-2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 教案教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：空間向量；相等的向量；空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律；能力目標(biāo)：理解空間向量的概念，掌握其表示方法；會(huì)用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律；能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡單的立體幾何中的問題德育目標(biāo)：學(xué)會(huì)用發(fā)展的眼光看問題，認(rèn)識(shí)到事物都是在不斷的發(fā)展、進(jìn)化的，會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待事物教學(xué)重點(diǎn)：空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用向量解決立體幾何問題教學(xué)方法：討論式教學(xué)過程： .復(fù)習(xí)引入師在必修四第二章平面向量中，我們學(xué)習(xí)了有關(guān)平面向量的一些知識(shí)，什么叫做向量？向量是怎樣表示的呢？生既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有：用有向線段表示；用字母a、b等表示；用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：師數(shù)學(xué)上所說的向量是自由向量，也就是說在保持向量的方向、大小的前提下可以將向量進(jìn)行平移，由此我們可以得出向量相等的概念，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下生長度相等且方向相同的向量叫相等向量.師學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念以后，我們學(xué)習(xí)了向量的加減以及數(shù)乘向量運(yùn)算：向量的加法：向量的減法：實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，其長度和方向規(guī)定如下：(1)|a|a|(2)當(dāng)0時(shí)，a與a同向； 當(dāng)0時(shí)，a與a反向； 當(dāng)0時(shí)，a0.師關(guān)于向量的以上幾種運(yùn)算，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，有哪些運(yùn)算律呢？生向量加法和數(shù)乘向量滿足以下運(yùn)算律加法交換律：abba加法結(jié)合律：(ab)ca（bc）數(shù)乘分配律：(ab)ab師今天我們將在必修四第二章平面向量的基礎(chǔ)上，類比地引入空間向量的概念、表示方法、相同或向等關(guān)系、空間向量的加法、減法、數(shù)乘以及這三種運(yùn)算的運(yùn)算率，并進(jìn)行一些簡單的應(yīng)用請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本.新課講授師如同平面向量的概念，我們把空間中具有大小和方向的量叫做向量例如空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量那么我們?cè)鯓颖硎究臻g向量呢？相等的向量又是怎樣表示的呢？生與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量師由以上知識(shí)可知，向量在空間中是可以平移的空間任意兩個(gè)向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示因此我們說空間任意兩個(gè)向量是共面的師空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量各是怎樣定義的呢？生空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的定義與平面向量的運(yùn)算一樣：=a+b，（指向被減向量），a 師空間向量的加法與數(shù)乘向量有哪些運(yùn)算律呢？請(qǐng)大家驗(yàn)證這些運(yùn)算律生空間向量加法與數(shù)乘向量有如下運(yùn)算律：加法交換律：a + b = b + a；加法結(jié)合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（課件驗(yàn)證）數(shù)乘分配律：(a + b) =a +b師空間向量加法的運(yùn)算律要注意以下幾點(diǎn)：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量即：因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量即：兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立因此，求始點(diǎn)相同的兩個(gè)向量之和時(shí)，可以考慮用平行四邊形法則例已知平行六面體（如圖），化簡下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量：說明：平行四邊形ABCD平移向量 a 到ABCD的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體記作ABCDABCD平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱說明：由第2小題可知，始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量，這是平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣例2、如圖中，已知點(diǎn)O是平行六面體ABCDA1B1C1D1體對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)P是任意一點(diǎn)，則分析：將要證明等式的左邊分解成兩部分：與，第一組向量和中各向量的終點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCD，第二組向量和中的各向量的終點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形A1B1C1D1，于是我們就想到了應(yīng)該先證明：將以上所述結(jié)合起來就產(chǎn)生了本例的證明思路解答：設(shè)E，E1分別是平行六面體的面ABCD與A1B1C1D1的中心，于是有3. 1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)：1理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論；2掌握空間直線、空間平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)的向量公式教學(xué)重、難點(diǎn)：共線、共面定理及其應(yīng)用教學(xué)過程：（一）復(fù)習(xí)：空間向量的概念及表示；（二）新課講解：1共線（平行）向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。讀作：平行于，記作：2共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使（唯一）推論：如果為經(jīng)過已知點(diǎn)，且平行于已知向量的直線，那么對(duì)任一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，滿足等式，其中向量叫做直線的方向向量。在上取，則式可化為或當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，此時(shí)和都叫空間直線的向量參數(shù)方程，是線段的中點(diǎn)公式3向量與平面平行：已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作：通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的4共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)使推論：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使或?qū)臻g任一點(diǎn)，有上面式叫做平面的向量表達(dá)式（三）例題分析：例1已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外任一點(diǎn)，滿足條件，試判斷：點(diǎn)與是否一定共面？解：由題意：，即，所以，點(diǎn)與共面【練習(xí)】：對(duì)空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，問滿足向量式 （其中）的四點(diǎn)是否共面？解：，點(diǎn)與點(diǎn)共面例2已知，從平面外一點(diǎn)引向量，（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）平面平面解：（1）四邊形是平行四邊形，共面；（2），又，所以，平面平面課堂練習(xí)：課堂小結(jié)：1共線向量定理和共面向量定理及其推論；2空間直線、平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)向量公式作業(yè)：1已知兩個(gè)非零向量不共線，如果，求證：共面2已知，若，求實(shí)數(shù)的值。3如圖，分別為正方體的棱的中點(diǎn)，求證：（1）四點(diǎn)共面；（2）平面平面4已知分別是空間四邊形邊的中點(diǎn)，（1）用向量法證明：四點(diǎn)共面；（2）用向量法證明：平面