2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.6 曲線與方程 2.6.1 曲線與方程講義（含解析）蘇教版選修2-1在平面直角坐標(biāo)系中，到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程中問題1：直線yx上任一點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸距離相等嗎？提示：相等問題2：到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)都在直線yx上，對嗎？提示：不對 問題3：到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是什么？提示：y±x.曲線的方程和方程的曲線如果曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都是方程f(x，y)0的解，且以方程f(x，y)0的解(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上，那么，方程f(x，y)0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x，y)0的曲線正確理解曲線與方程的概念(1)定義中的條件(1)闡明了曲線具有純粹性(或方程具有完備性)，即曲線上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)都適合這個方程而毫無例外；條件(2)闡明了曲線具有完備性(或方程具有純粹性)，即適合條件的點(diǎn)都在曲線上而毫無遺漏(2)曲線的方程和方程的曲線是兩個不同的概念，曲線的方程反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系，而方程的曲線反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形曲線與方程的概念例1如果曲線C上的點(diǎn)滿足方程F(x，y)0，有以下說法：曲線C的方程是F(x，y)0；方程F(x，y)0的曲線是C；坐標(biāo)滿足方程F(x，y)0的點(diǎn)在曲線C上；坐標(biāo)不滿足方程F(x，y)0的點(diǎn)不在曲線C上其中正確的是_(填序號)思路點(diǎn)撥根據(jù)曲線與方程的概念進(jìn)行判斷精解詳析依據(jù)曲線的方程及方程的曲線的定義，曲線上的點(diǎn)應(yīng)具備純粹性和完備性由已知條件，只能說具備純粹性，但不一定具備完備性答案一點(diǎn)通判定曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系，必須注意兩點(diǎn)：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解，即直觀地說“點(diǎn)不比解多”稱為純粹性；(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，即直觀地說“解不比點(diǎn)多”，稱為完備性，只有點(diǎn)和解一一對應(yīng)，才能說曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程1判斷下列結(jié)論的正誤，并說明理由(1)過點(diǎn)A(3,0)且垂直于x軸的直線的方程為x3；(2)到y(tǒng)軸距離為2的點(diǎn)的直線方程為x2.解：(1)正確理由如下：滿足曲線方程的定義結(jié)論正確(2)錯誤理由如下：到y(tǒng)軸距離為2的點(diǎn)的直線方程還有一個，結(jié)論錯誤2. 下列方程表示如圖所示的直線c，對嗎？為什么？(1)0；(2)x2y20；(3)|x|y0.解：第(1)題中，曲線C上的點(diǎn)不全都是方程0的解，如點(diǎn)(1，1)等，即不符合“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”這一結(jié)論；第(2)題中，盡管“曲線C上的坐標(biāo)都是方程的解”，但以方程x2y20的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不全在曲線C上，如點(diǎn)(2，2)等，即不符合“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”這一結(jié)論；第(3)題中，類似(1)(2)得出不符合“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”，“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”事實(shí)上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲線應(yīng)該是下圖的三種情況：點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系例2方程(x4y12)(3)log2(x2y)0的曲線經(jīng)過點(diǎn)A(0，3)、B(0,4)、C、D(8,0)中的_個思路點(diǎn)撥方程表示兩條直線x4y120和x2y80，但應(yīng)注意對數(shù)的真數(shù)大于0，即x2y>0.精解詳析由對數(shù)的真數(shù)大于0，得x2y>0，A(0，3)、C(，)不符合要求；將B(0,4)代入方程檢驗(yàn)，符合要求；將D(8,0)代入方程檢驗(yàn)，符合要求答案2一點(diǎn)通點(diǎn)與實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：C上的點(diǎn)(x0，y0)f(x，y)0的解，曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解，因此要判斷點(diǎn)是否在曲線上只需驗(yàn)證該點(diǎn)是否滿足方程即可3已知直線l：xy30，曲線C：(x1)2(y3)24，若P(1，1)，則點(diǎn)P與l、C的關(guān)系是_解析：由1130，P不在l上，即Pl；又(11)2(13)24，點(diǎn)P在曲線C上，即PC.答案：Pl，PC4證明圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑等于5的圓的方程是x2y225，并判斷點(diǎn)M1(3，4)、M2(2，2)是否在這個圓上解：(1)設(shè)M(x0，y0)是圓上任意一點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)M到原點(diǎn)的距離等于5，所以5，也就是xy25，即(x0，y0)是方程x2y225的解(2)設(shè)(x0，y0)是方程x2y225的解，那么xy25，兩邊開方取算術(shù)平方根，得5，即點(diǎn)M(x0，y0)到原點(diǎn)的距離等于5，點(diǎn)M(x0，y0)是這個圓上的點(diǎn)由(1)、(2)可知，x2y225是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑等于5的圓的方程把點(diǎn)M1(3，4)的坐標(biāo)代入方程x2y225，左右兩邊相等，(3，4)是方程的解，所以點(diǎn)M1在這個圓上；把點(diǎn)M2(2，2)的坐標(biāo)代入方程x2y225，左右兩邊不等，(2，2)不是方程的解，所以點(diǎn)M2不在這個圓上坐標(biāo)法在求曲線的方程中的應(yīng)用例3 如圖，雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為25 m，高為55 m試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程(精確到1 m)思路點(diǎn)撥按照對稱建系，把中心放在坐標(biāo)原點(diǎn)上，焦點(diǎn)放在坐標(biāo)軸上，然后用待定系數(shù)法求解精解詳析 如圖，建立冷卻塔的軸截面所在平面的直角坐標(biāo)系xOy，使小圓的直徑AA在x軸上，圓心與原點(diǎn)重合這時(shí)，上、下口的直徑CC，BB都平行于x軸，且CC13×2，BB25×2.設(shè)雙曲線的方程為1(a0，b0)，易知a12，令點(diǎn)C的坐標(biāo)為(13，y)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(25，y55)因?yàn)辄c(diǎn)B，C在雙曲線上，所以由方程，得y(負(fù)值舍去)，代入方程，得1，化簡得19b2275b18 1500.用計(jì)算器解方程，得b25.所以，所求雙曲線的方程為1. 一點(diǎn)通對于此類已知曲線類型求曲線方程的實(shí)際應(yīng)用問題，求解的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用待定系數(shù)法求解采用此法要善于聯(lián)系平面圖形的性質(zhì)，建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系5.一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖，衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，已知接收天線的口徑為4.8 m，深度為0.5 m試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解： 如圖，在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))與原點(diǎn)重合設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y22px(p0)由已知條件可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0.5，2.4)，代入方程，得2.422p×0.5，即p5.76.所以，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y211.52x.1理解曲線的方程與方程的曲線的概念必須注意：(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，二者缺一不可2點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上的充要條件是f(x0，y0)0.對應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十五) 1曲線C的方程為yx(1x5)，則下列四點(diǎn)中在曲線C上的序號是_(0,0)；(1,5)；(4,4)解析：yx(1x5)，(4,4)在曲線C上答案：2若P(2，3)在曲線x2ay21上，則a的值為_解析：P(2，3)在曲線x2ay21上，49a1，解得a.答案：3以下各組方程表示的曲線相同的是_(填序號)x2y2與y|x|y與y10lg xxy1與y1與1解析：、中方程表示的曲線不相同答案：4方程(xy1)0所表示的曲線是_解析：由題意，得或x1，故方程表示的是一條射線與一條直線答案：一條射線與一條直線5若點(diǎn)M(m，m)在曲線xy20上，則m的值為_解析：點(diǎn)M在曲線xy20上，mm20，解得m0或m1.答案：0或16下列命題是否正確？若不正確，說明原因(1)過點(diǎn)A(2,0)平行于y軸的直線l的方程是|x|2；(2)到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是yx.解：(1)錯誤，因?yàn)橐苑匠蘾x|2的解為坐標(biāo)的點(diǎn)，不都在直線l上，直線l只是方程|x|2所表示的圖形的一部分(2)錯誤，因?yàn)榈絻勺鴺?biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡有兩條直線yx和yx，故命題錯誤7已知方程x2(y1)210.(1)判斷P(1，2)，Q(，3)兩點(diǎn)是否在此方程表示的曲線上；(2)若點(diǎn)M(，m)在此方程表示的曲線上，求m的值解：(1)因?yàn)?2(21)210，而()2(31)210.所以點(diǎn)P(1，2)在方程表示的曲線上，點(diǎn)Q(，3)不在方程表示的曲線上(2)因?yàn)辄c(diǎn)M在方程x2(y1)210表示的曲線上，所以2(m1)210，解得m2或m.8. 如圖，直線l1和l2相交于點(diǎn)M，l1l2，點(diǎn)Nl1，以A、B為端點(diǎn)的曲線C上的任一點(diǎn)到l2的距離與到點(diǎn)N的距離相等若AMN為銳角三角形，AM，AN3，且BN6，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線C的方程解：如圖，以l1為x軸，MN的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)依題意可設(shè)曲線C的方程為y22px(p>0)，則pMN.由題意知x1xx2，y>0，其中x1、x2分別為A、B的橫坐標(biāo)M、N，AM，AN3，解得或AMN為銳角三角形，>x1，故舍去由點(diǎn)B在曲線C上，得x2BN4.綜上得，曲線C的方程為y28x(1x4，y>0)