2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5 定積分 1.5.3 微積分基本定理講義（含解析）蘇教版選修2-2對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P28已知函數(shù)f(x)2x1，F(xiàn)(x)x2x.問(wèn)題1：f(x) 和F(x)有何關(guān)系？提示：F(x)f(x)問(wèn)題2：利用定積分的幾何意義求(2x1)dx的值提示：(2x1)dx6.問(wèn)題3：求F(2)F(0)的值提示：F(2)F(0)426.問(wèn)題4：你得出什么結(jié)論？提示：f(x)dxF(2)F(0)，且F(x)f(x) 問(wèn)題5：已知f(x)x3，F(xiàn)(x)x4，試探究f(x)dx與F(1)F(0)的關(guān)系提示：因f(x)dxx3dx.F(1)F(0)，有f(x)F(1)F(0)且F(x)f(x)微積分基本定理對(duì)于被積函數(shù)f(x)，如果F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，即F(x)dxF(b)F(a)1微積分基本定理表明，計(jì)算定積分f(x)dx的關(guān)鍵是找到滿足F(x)f(x)的函數(shù)F(x)通常，我們可以運(yùn)用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則從反方向上求出F(x)2微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，最重要的是它也提供了計(jì)算定積分的一種有效方法求簡(jiǎn)單函數(shù)的定積分例1求下列定積分：(1)(x22x3)dx；(2)(sin xcos x)dx；(3)(cos xex)dx.思路點(diǎn)撥先求被積函數(shù)的原函數(shù)，然后利用微積分基本定理求解精解詳析(1)取F(x)x23x，則F(x)x22x3，從而(x22x3)dxF(x)dxF(2)F(1).(2)取F(x)cos xsin x，則F(x)sin xcos x，從而(sin xcos x)dxF(x)dxF()F(0)2.(3)取F(x)sin xex，則F(x)cos xex，從而(cos xex)dxF()dxF(0)F()1.一點(diǎn)通求簡(jiǎn)單的定積分關(guān)鍵注意兩點(diǎn)：(1)掌握基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，正確求解被積函數(shù)的原函數(shù)，當(dāng)原函數(shù)不易求時(shí)，可將被積函數(shù)適當(dāng)變形后再求解；(2)精確定位積分區(qū)間，分清積分下限與積分上限1(江西高考改編)若f(x)x22f(x)dx，則f(x)dx_.解析：f(x)x22f(x)dx，f(x)dx2f(x)dx.f(x)dx.答案：2.(cos x1)dx_.解析：(sin xx)cos x1，(cos x1)dx(sin xx)(sin )(sin 00).答案：3求下列定積分：(1)sin2dx；(2)(2x2)(3x)dx.解：(1)sin2，而cos x，所以sin2dxdx.(2)原式(62x3x2x3)dx.求分段函數(shù)的定積分例2(1)設(shè)f(x)求f(x)dx；(2)求dx(a>0)思路點(diǎn)撥按照函數(shù)f(x)的分段標(biāo)準(zhǔn)，求出每一段上的積分，然后求和精解詳析(1)f(x)dxx2dx(cos x1)dxx3(sin xx)sin 1.(2)由得dxxdx(x)dxx2x2a2.一點(diǎn)通(1)分段函數(shù)在區(qū)間a，b上的積分可分成幾段積分的和的形式(2)分段的標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式確定，按照原函數(shù)分段的情況分即可，無(wú)需分得過(guò)細(xì)4.|x2|dx_.解析：|x2|x2|dx(x2)dx(x2)dx.答案：5設(shè)f(x)若f(f(1)1，則a_.解析：顯然f(1)lg 10，故f(0)0 3t2dtt31，得a1.答案：1求圖形的面積例3求由曲線yx22x3與直線yx3所圍成的圖形的面積思路點(diǎn)撥.精解詳析畫(huà)出草圖，如圖所示解方程組得A(0,3)，B(3,6)所以S(x3)dx(x22x3)dx，取F(x)x23x，則F(x)x3，取H(x)x3x23x，則H(x)x22x3，從而SF(3)F(0)H(3)H(0)0.一點(diǎn)通利用定積分求曲線所圍成的平面圖形的面積的步驟：(1)根據(jù)題意畫(huà)出圖形；(2)找出范圍，定出積分上、下限；(3)確定被積函數(shù)；(4)寫(xiě)出相應(yīng)的定積分表達(dá)式，即把曲邊梯形面積表示成若干個(gè)定積分的和或差；(5)用微積分基本定理及其運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算定積分，求出結(jié)果6曲線y ，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為_(kāi)解析：所圍成的圖形如圖陰影部分所示，點(diǎn)A(0，2)，由得所以B(4,2)，因此所圍成的圖形的面積為dx.答案：7設(shè)a>0，若曲線y與直線xa，y0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a_.解析：由已知得Sdxxaa2，所以a，所以a.答案：1求定積分的一些常用技巧(1)對(duì)被積函數(shù)，要先化簡(jiǎn)，再求積分(2)求被積函數(shù)是分段函數(shù)的定積分，應(yīng)分段求定積分再求和(3)對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù)，要去掉絕對(duì)值符號(hào)后才能積分2利用定積分求曲邊梯形的面積(1)在利用定積分求平面圖形的面積時(shí)，一般要先畫(huà)出它的草圖，再借助圖形直觀地確定出被積函數(shù)以及積分的上、下限(2)要把定積分和用定積分計(jì)算平面圖形的面積這兩個(gè)概念區(qū)分開(kāi)，定積分是一種積分和的極限，可為正，也可為負(fù)或零；而平面圖形的面積在一般意義下總為正，因此當(dāng)f(x)0時(shí)要通過(guò)絕對(duì)值處理為正，一般情況下是借助定積分求出兩個(gè)曲邊梯形的面積，然后相加起來(lái)對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十一)一、填空題1.dx_.解析：dxln xln eln 11.答案：12.(2sin x3ex2)dx_.解析：(2sin x3ex2)dx(2cos x3ex2x)723e.答案：723e3(江西高考改編)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為_(kāi)解析：S1x3，S2ln xln 2<ln e1，S3exe2e2.722.74.59，所以S2<S1<S3.答案：S2<S1<S34設(shè)f(x)則f(x)dx_.解析：f(x)dxx2dx(2x)dxx3(2xx2).答案：5(福建高考)如圖，在邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_(kāi)解析：因?yàn)楹瘮?shù)yex與函數(shù)yln x互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱，又因?yàn)楹瘮?shù)yex與直線ye的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，e)，所以陰影部分的面積為2(e×1exdx)2e2ex2e(2e2)2，由幾何概型的概率計(jì)算公式，得所求的概率P.答案：二、解答題6f(x)是一次函數(shù)，且 f(x)dx5， xf(x)dx，求f(x)的解析式解：設(shè)f(x)axb(a0)，則(axb)dxab5.x(axb)dx(ax2bx)dxab，所以由解得a4，b3，故f(x)4x3.7求由曲線yx2與直線xy2圍成的面積解：如圖，先求出拋物線與直線的交點(diǎn)，解方程組得或即兩個(gè)交點(diǎn)為(1,1)，(2,4)直線為y2x，則所求面積S為：S(2x)x2dx.8設(shè)f(x)是二次函數(shù)，其圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，且在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為2xy30.(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)求f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積；(3)若直線xt(0t1)把f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值解：(1)設(shè)f(x)ax2bxc，其圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，c1，又在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為2xy30，f(x)2axb，a1，b2，故f(x)x22x1.(2)依題意，f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形如圖中陰影部分所示，故所求面積S(x22x1)dx.(3)依題意，有S(x22x1)dx，即t3t2t，2t36t26t10，2(t1)31，t1.