2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.5 圓錐曲線的統(tǒng)一定義講義（含解析）蘇教版選修2-1圓錐曲線的統(tǒng)一定義拋物線可以看成平面內(nèi)的到定點(焦點)F的距離與到定直線(準線)l的距離的比值等于1(離心率)的動點的軌跡在坐標平面內(nèi)有一定點F(c,0)，定直線x(a>0，c>0)動點P(x，y)到定點F(c,0)的距離與到定直線x的距離的比為.問題1：求動點P(x，y)的軌跡方程 提示：由，化簡得：(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)問題2：當(dāng)a>c，即0<<1時，軌跡是什么？提示：橢圓問題3：當(dāng)a<c，即>1時，軌跡是什么？提示：雙曲線圓錐曲線可以統(tǒng)一定義為：平面內(nèi)到一個定點F和到一條定直線l(F不在l上)的距離的比等于常數(shù)e的點的軌跡當(dāng)0e1時，它表示橢圓，當(dāng)e1時，它表示雙曲線，當(dāng)e1時，它表示拋物線其中e是離心率，定點F是圓錐曲線的焦點，定直線l是圓錐曲線的準線.圓錐曲線的準線從拋物線的定義知，拋物線只有一個焦點和一條準線，那么橢圓、雙曲線有幾個焦點，幾條準線？提示：橢圓、雙曲線分別有兩個焦點，兩條準線橢圓、雙曲線和拋物線的準線方程曲線方程準線方程曲線方程準線方程1(ab0)x±1(ab0)y±1(a0，b0)x±1(a0，b0)y±y22px(p0)xx22py(p0)yy22px(p0)xx22py(p0)y圓錐曲線的第一定義與第二定義的區(qū)別橢圓、雙曲線的第一定義突出了動點與兩定點的距離關(guān)系，第二定義主要表現(xiàn)了動點與一定點和一條定直線的距離之比的關(guān)系，所以在選用兩種定義時可根據(jù)題目條件的不同適當(dāng)選擇利用第一定義可以把到一個定點的距離轉(zhuǎn)化為到另一點的距離，利用第二定義可以把到定點與到定直線的距離互相轉(zhuǎn)化，對于拋物線，第一定義與第二定義是一致的利用統(tǒng)一定義確定曲線形狀例1過圓錐曲線C的一個焦點F的直線l交曲線C于A，B兩點，且以AB為直徑的圓與F相應(yīng)的準線相交，則曲線C為_思路點撥利用圓錐曲線第二定義進行轉(zhuǎn)化，由圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系，建立不等式求e的范圍即可判斷精解詳析設(shè)圓錐曲線的離心率為e，M為AB的中點，A，B和M到準線的距離分別為d1，d2和d，圓的半徑為R，d，R.由題意知Rd，則e1，圓錐曲線為雙曲線答案雙曲線一點通解答這種類型的問題時，巧妙應(yīng)用圓錐曲線的統(tǒng)一定義進行轉(zhuǎn)化，即e.有時會應(yīng)用到數(shù)形結(jié)合的思想方法，這種類型多為客觀題，以考查統(tǒng)一定義的應(yīng)用為主1方程 |xy1|對應(yīng)點P(x，y)的軌跡為_解析：由|xy1|得.可看作動點P(x，y)到定點(1,0)的距離與到定直線xy10的距離比為>1的軌跡方程，由圓錐曲線統(tǒng)一定義可知，軌跡為雙曲線答案：雙曲線2若將例1中“相交”二字改為“相離”，判斷曲線的形狀；把“相交”二字改為“相切”，再判斷曲線的形狀解：設(shè)圓錐曲線的離心率為e，M是AB中點，A，B和M到準線的距離分別為d1，d2和d，圓的半徑為R，則d，R.當(dāng)圓與準線相離時，Rd，即，0e1，圓錐曲線為橢圓當(dāng)圓與準線相切時，Rd，e1，圓錐曲線為拋物線.用圓錐曲線的統(tǒng)一定義求軌跡例2已知動點P(x，y)到點A(0,3)與到定直線y9的距離之比為，求動點P的軌跡思路點撥此題解法有兩種一是定義法，二是直譯法精解詳析法一：由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：P點的軌跡是一橢圓，c3，9，則a227，a3，e，與已知條件相符橢圓中心在原點，焦點為(0，±3)，準線y±9.b218，其方程為1.法二：由題意得.整理得1.P點的軌跡是以(0，±3)為焦點，以y±9為準線的橢圓一點通解決此類題目有兩種方法：是直接列方程，代入后化簡整理即得方程是根據(jù)定義判斷軌跡是什么曲線，然后確定其幾何性質(zhì)，從而得出方程3平面內(nèi)的動點P(x，y)(y>0)到點F(0,2)的距離與到x軸的距離之差為2，求動點P的軌跡解： 如圖：作PMx軸于M，延長PM交直線y2于點N.PFPM2，PFPM2.又PNPM2，PFPN.P到定點F與到定直線y2的距離相等由拋物線的定義知，P的軌跡是以F為焦點，以y2為準線的拋物線，頂點在原點，p4.拋物線方程為x28y(y>0)動點P的軌跡是拋物線4在平面直角坐標系xOy中，已知F1(4,0)，直線l：x2，動點M到F1的距離是它到定直線l距離d的倍設(shè)動點M的軌跡曲線為E.(1)求曲線E的軌跡方程；(2)設(shè)點F2(4,0)，若直線m為曲線E的任意一條切線，且點F1，F(xiàn)2到m的距離分別為d1，d2，試判斷d1d2是否為常數(shù)，并說明理由解：(1)由題意，設(shè)點M(x，y)，則有MF1，點M(x，y)到直線l的距離d|x(2)|x2|，故|x2|，化簡得x2y28.故動點M的軌跡方程為x2y28.(2)d1d2是常數(shù)，證明如下：若切線m斜率不存在，則切線方程為x±2，此時d1d2(ca)·(ca)b28.當(dāng)切線m斜率存在時，設(shè)切線m：ykxt，代入x2y28，整理得：x2(kxt)28，即(1k2)x22tkx(t28)0.(2tk)24(1k2)(t28)0，化簡得t28k28.又由kxyt0，d1，d2，d1d28,8為常數(shù)綜上，對任意切線m，d1d2是常數(shù).圓錐曲線統(tǒng)一定義的應(yīng)用例3已知定點A(2，)，點F為橢圓1的右焦點，點M在橢圓上運動，求AM2MF的最小值，并求此時點M的坐標思路點撥利用統(tǒng)一定義把MF轉(zhuǎn)化為點M到相應(yīng)準線的距離，數(shù)形結(jié)合便可迎刃而解精解詳析a4，b2，c2.離心率e.A點在橢圓內(nèi)，設(shè)M到右準線的距離為d，則e，即MFedd，右準線l：x8.AM2MFAMd.A點在橢圓內(nèi)，過A作AKl(l為右準線)于K，交橢圓于點M0.則A、M、K三點共線，即M與M0重合時，AMd最小為AK，其值為8(2)10.故AM2MF的最小值為10，此時M點坐標為(2， )一點通圓錐曲線的統(tǒng)一定義通常用來解決一些與距離有關(guān)的最值問題，利用定義，實現(xiàn)曲線上的點到焦點的距離與到相應(yīng)準線的距離間的互化，互化時應(yīng)注意焦點與準線的對應(yīng)5已知雙曲線1的右焦點為F，點A(9,2)，M為雙曲線上的動點，則MAMF的最小值為_解析：雙曲線離心率e，由圓錐曲線統(tǒng)一定義知e(d為點M到右準線l的距離)，右準線l的方程為x，顯然當(dāng)AMl時，AMd最小，而AMMFMAdeMAd.而AMd的最小值為A到l的距離為9.答案：6若點P的坐標是(1，3)，F(xiàn)為橢圓1的右焦點，點Q在橢圓上移動，當(dāng)QFPQ取得最小值時，求點Q的坐標，并求出最小值解：在1中a4，b2 ，c2，e，橢圓的右準線l：x8，過點Q作QQl于Q，則e.QFQQ.QFPQQQPQ(QQPQ)要使QQPQ最小，由圖可知P、Q、Q三點共線，所以由P向準線l作垂線，與橢圓的交點即為QFPQ最小時的點Q，Q的縱坐標為3，代入橢圓得：Q的橫坐標為x2.Q為(2，3)，此時QFPQ.圓錐曲線的準線、離心率的求解及應(yīng)用例4求橢圓1的離心率與準線方程，并求與該橢圓有相同準線且離心率互為倒數(shù)的雙曲線方程思路點撥由方程確定a、c，從而求e與準線，由橢圓的準線、離心率再確定雙曲線的實軸、虛軸長，求出雙曲線的方程精解詳析由1知a5，b4，c3.e，準線方程為y±.設(shè)雙曲線虛半軸長為b，實半軸長為a，半焦距為c，離心率為e，則e，又.解得：a，c，b2.雙曲線方程為1.一點通此類問題首先判斷該圓錐曲線是什么曲線，然后化成標準方程，確定出a、b、c、p，進而求離心率和準線方程7(天津高考)已知拋物線y28x的準線過雙曲線1(a>0，b>0)的一個焦點， 且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為_解析：拋物線y28x的準線x2過雙曲線的一個焦點，所以c2，又離心率為2，所以a1，b，所以該雙曲線的方程為x21.答案：x218已知橢圓1(a>b>0)的焦距為2，若一雙曲線與此橢圓共焦點，且它的實軸長比橢圓的長軸長短8，雙曲線的離心率與橢圓的離心率之比是51，求橢圓和雙曲線的方程，并求其相應(yīng)的準線方程解：設(shè)a，b分別為雙曲線的實半軸長和虛半軸長，依題意有解得所以橢圓的短半軸長b，雙曲線的虛半軸長b3.故橢圓和雙曲線的方程分別是1和x21.橢圓的準線方程為x±，雙曲線的準線方程為x±.1圓錐曲線的判斷：要判斷所給曲線是哪種圓錐曲線，常利用圓錐曲線的定義求解，其思路是：(1)如果遇到有動點到兩定點的距離問題應(yīng)自然聯(lián)想到橢圓及雙曲線的定義(2)如果遇到動點到一個定點和一條定直線的距離問題應(yīng)自然聯(lián)想到橢圓、雙曲線和拋物線的統(tǒng)一定義2圓錐曲線共同特征的應(yīng)用：設(shè)F為圓錐曲線的焦點，A為曲線上任意一點，d為點A到定直線的距離，由e變形可得d.由這個變形可以實現(xiàn)由AF到d的轉(zhuǎn)化，借助d則可以解決一些最值問題對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(十四) 1雙曲線2x2y216的準線方程為_解析：原方程可化為1.a216，c2a2b216824，c2.準線方程為y±±±.答案：y±2設(shè)P是橢圓1上一點，M，N分別是兩圓：(x4)2y21和(x4)2y21上的點，則PMPN的最小值、最大值分別為_解析：PMPN最大值為PF11PF2112，最小值為PF11PF218.答案：8,123到直線y4的距離與到A(0，2)的距離的比值為的點M的軌跡方程為_解析：設(shè)M(x，y)，由題意得.化簡得1.答案：14(福建高考)橢圓：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y(xc)與橢圓的一個交點M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于_解析：直線y(xc)過點F1(c,0)，且傾斜角為60°，所以MF1F260°，從而MF2F130°，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，MF1c，MF2c，所以該橢圓的離心率e1.答案：15已知橢圓1內(nèi)部的一點為A，F(xiàn)為右焦點，M為橢圓上一動點，則MAMF的最小值為_解析：設(shè)M到右準線的距離為d，由圓錐曲線定義知，右準線方程為x2.dMF.MAMFMAd.由A向右準線作垂線，垂線段長即為MAd的最小值，MAd21.答案：216已知橢圓1上有一點P，到其左、右兩焦點距離之比為13，求點P到兩準線的距離及點P的坐標解：設(shè)P(x，y)，左、右焦點分別為F1、F2.由已知的橢圓方程可得a10，b6，c8，e，準線方程為x±.PF1PF22a20，且PF1PF213，PF15，PF215.設(shè)P到兩準線的距離分別為d1、d2，則由e，得d1，d2.xx，x.代入橢圓方程，得y±.點P的坐標為或.7已知平面內(nèi)的動點P到定直線l：x2 的距離與點P到定點F(，0)之比為.(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)若點N為軌跡C上任意一點(不在x軸上)，過原點O作直線AB，交(1)中軌跡C于點A、B，且直線AN、BN的斜率都存在，分別為k1、k2，問k1·k2是否為定值？解：(1)設(shè)點P(x，y)，依題意，有.整理，得1.所以動點P的軌跡C的方程為1.(2)由題意，設(shè)N(x1，y1)，A(x2，y2)，則B(x2，y2)，1，1.k1·k2·，為定值8已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是左支上一點，P到左準線的距離為d，雙曲線的一條漸近線為yx，問是否存在點P，使d、PF1、PF2成等比數(shù)列？若存在，則求出P的坐標，若不存在，說明理由解：假設(shè)存在點P，設(shè)P(x，y)雙曲線的一條漸近線為yx，b23a2，c2a23a2.2.若d、PF1、PF2成等比數(shù)列，則2，PF22PF1.又雙曲線的準線為x±，PF1|2x0a|，PF2|2x0a|.又點P是雙曲線左支上的點，PF12x0a，PF22x0a.代入得2x0a2(2x0a)，x0a.代入1得y0±a.存在點P使d、PF1、PF2成等比數(shù)列，P.