2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.1.1 弧度制學案 新人教A版必修4學習目標1.結(jié)合實際問題，了解角的概念的推廣及其實際意義.2.掌握象限角的概念(重點).3.掌握終邊相同的角的表示(重、難點)知識點1任意角的概念1角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形2角的表示頂點：用O表示；始邊：用OA表示，用語言可表示為起始位置終邊：用OB表示，用語言可表示為終止位置3角的分類類型定義圖示正角按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負角按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個零角【預(yù)習評價】(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)經(jīng)過1小時，時針轉(zhuǎn)過30°.()(2)終邊與始邊重合的角是零角()(3)小于90°的角是銳角()提示(1)×，因為是順時針旋轉(zhuǎn)，所以時針轉(zhuǎn)過30°(2)×，終邊與始邊重合的角是k·360°(kZ)(3)×，銳角是指大于0°且小于90°的角知識點2象限角如果角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊(除端點外)在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限【預(yù)習評價】思考銳角屬于第幾象限角？鈍角又屬于第幾象限角？提示銳角屬于第一象限角，鈍角屬于第二象限角知識點3終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S|k·360°，kZ，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和【預(yù)習評價】與457°角的終邊相同的角的集合是()A|457°k·360°，kZB|97°k·360°，kZC|263°k·360°，kZD|263°k·360°，kZ解析由于457°1×360°97°2×360°263°，故與457°角的終邊相同的角的集合是|457°k·360°，kZ|263°k·360°，kZ答案C題型一與任意角有關(guān)的概念辨析【例1】(1)下列說法中，正確的是_(填序號)終邊落在第一象限的角為銳角；銳角是第一象限的角；第二象限的角為鈍角；小于90°的角一定為銳角；角與的終邊關(guān)于x軸對稱解析終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如400°的角是第一象限的角，但不是銳角，故的說法是錯誤的；同理第二象限的角也不一定是鈍角，故的說法也是錯誤的；小于90°的角不一定為銳角，比如負角，故的說法是錯誤的答案(2)如圖，射線OA先繞端點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°到OB處，再按順時針方向旋轉(zhuǎn)820°至OC處，則_解析AOC60°(820°)760°，(760°720°)40°答案40°規(guī)律方法判斷角的概念問題的關(guān)鍵與技巧(1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念(2)技巧：判斷一種說法正確需要證明，而判斷一種說法錯誤只要舉出反例即可【訓練1】寫出圖(1)，(2)中的角，的度數(shù)解題干圖(1)中，360°30°330°；題干圖(2)中，360°60°150°150°，360°60°()360°60°150°570°題型二終邊相同的角的表示及應(yīng)用【例2】寫出終邊落在直線yx上的角的集合S，并把S中適合不等式360°<720°的元素寫出來解直線yx與x軸的夾角是45°，在0°360°范圍內(nèi)，終邊在直線yx上的角有兩個：45°，225°.因此，終邊在直線yx上的角的集合：S|45°k·360°，kZ|225°k·360°，kZ|45°2k·180°，kZ|45°(2k1)·180°，kZ|45°n·180°，nZS中適合360°<720°的元素是：45°2×180°315°；45°1×180°135°；45°0×180°45°；45°1×180°225°；45°2×180°405°；45°3×180°585°規(guī)律方法解答本題關(guān)鍵是找到0°360°范圍內(nèi)，終邊落在直線yx的角：45°，225°，再利用終邊相同的角的關(guān)系寫出符合條件的所有角的集合，如果集合能化簡的還要化成最簡【訓練2】寫出終邊落在x軸上的角的集合S解S|k·360°，kZ|k·360°180°，kZ|2k·180°，kZ|(2k1)·180°，kZ|n·180°，nZ.典例遷移題型三象限角和區(qū)域角的表示【例3】(1)2 017°是第_象限角解析2 017°6×360°143°，143°是第二象限角，所以2017°為第二象限角答案二(2)已知，如圖所示分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合解終邊落在OA位置上的角的集合為|90°45°k·360°，kZ|135°k·360°，kZ，終邊落在OB位置上的角的集合為|30°k·360°，kZ由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于30°到135°之間的與之終邊相同的角組成的集合，故可表示為|30°k·360°135°k·360°，kZ【遷移1】若將例3(2)題改為如圖所示的圖形，那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示？解在0°360°范圍內(nèi)、陰影部分(包括邊界)表示的范圍是：150°225°，則滿足條件的角為|k·360°150°k·360°225°，kZ【遷移2】若將例3(2)題改為如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示？解由題干圖可知滿足題意的角的集合為|k·360°60°k·360°105°，kZk·360°240°k·360°285°，kZ|2k·180°60°2k·180°105°，kZ|(2k1)·180°60°(2k1)·180°105°，kZ|n·180°60°n·180°105°，nZ即所求的集合為|n·180°60°n·180°105°，nZ規(guī)律方法表示區(qū)域角的三個步驟第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應(yīng)的360°360°范圍內(nèi)的角和，寫出最簡區(qū)間x|<x<，其中<360°第三步：起始、終止邊界對應(yīng)角，再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合課堂達標1下列說法正確的是()A三角形的內(nèi)角一定是第一、二象限角B鈍角不一定是第二象限角C終邊相同的角之間相差180°的整數(shù)倍D鐘表的時針旋轉(zhuǎn)而成的角是負角解析A錯，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；B錯，鈍角在90°到180°之間，是第二象限角；C錯，終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍；D正確，鐘表的時針是順時針旋轉(zhuǎn)，故是負角答案D2378°是第_象限角()A一 B二 C三 D四解析378°360°18°，因為18°是第四象限角，所以378°是第四象限角答案D3把936°化為k·360°(0°<360°，kZ)的形式為_解析936°3×360°144°，故936°化為k·360°(0°<360°，kZ)的形式為144°(3)×360°答案144°(3)×360°4終邊在直線yx上的角的集合S_解析由于直線yx是第二、四象限的角平分線，在0°360°間所對應(yīng)的兩個角分別是135°和315°，從而S|k·360°135°，kZ|k·360°315°，kZ|2k·180°135°，kZ|(2k1)·180°135°，kZ|n·180°135°，nZ答案|n·180°135°，nZ5已知，如圖所示，(1)寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合；(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合解(1)終邊落在射線OA上的角的集合是|k·360°210°，kZ終邊落在射線OB上的角的集合是|k·360°300°，kZ(2)終邊落在陰影部分(含邊界)角的集合是|k·360°210°k·360°300°，kZ課堂小結(jié)1象限角的概念是以“角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸正半軸重合”為前提的，否則不能從終邊位置來判斷某角是第幾象限角2“銳角”，“0°90°的角”，“小于90°的角”，“第一象限角”這幾個概念注意區(qū)分：銳角是0°<<90°；0°90°的角是0°<90°；小于90°的角為<90°；第一象限的角是|k·360°<<90°k·360°，kZ3關(guān)于終邊相同角的認識一般地，所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S|k·360°，kZ，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和注意：(1)為任意角;(2)k·360°與之間是“”號，k·360°可理解為k·360°();(3)相等的角，終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360°的整數(shù)倍;(4)kZ這一條件不能少基礎(chǔ)過關(guān)1下列說法中，正確的是()A第二象限的角都是鈍角B第二象限角大于第一象限的角C若角與角不相等，則與的終邊不可能重合D若角與角的終邊在一條直線上，則k·180°(kZ)解析A錯，495°135°360°是第二象限的角，但不是鈍角；B錯，135°是第二象限角，360°45°是第一象限的角，但<；C錯，360°，720°，則，但二者終邊重合；D正確，與的終邊在一條直線上，則二者的終邊重合或相差180°的整數(shù)倍，故k·180°(kZ)答案D2在160°；480°；960°；1 530°這四個角中，屬于第二象限角的是()A B C D解析480°120°360°是第二象限的角；960°3×360°120°是第二象限的角；1 530°4×360°90°不是第二象限的角，故選C答案C3若是第四象限角，則180°是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析可以給賦一特殊值60°，則180°240°，故180°是第三象限角答案C4角，的終邊關(guān)于y軸對稱，若30°，則_解析30°與150°的終邊關(guān)于y軸對稱，的終邊與150°角的終邊相同150°k·360°，kZ答案150°k·360°，kZ512點過小時的時候，時鐘分針與時針的夾角是_解析時鐘上每個大刻度為30°，12點過小時，分針轉(zhuǎn)過90°，時針轉(zhuǎn)過7.5°，故時針與分針的夾角為82.5°答案82.5°6如圖所示，寫出終邊落在直線yx上的角的集合(用0°到360°間的角表示)解終邊落在yx(x0)上的角的集合是S1|60°k·360°，kZ，終邊落在yx(x0)上的角的集合是S|240°k·360°，kZ，于是終邊在yx上角的集合是S|60°k·360°，kZ|240°k·360°，kZ|60°2k·180°，kZ|60°(2k1)·180°，kZ|60°n·180°，nZ7已知角2 010°(1)把改寫成k·360°(kZ,0°<360°)的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求，使與終邊相同，且360°<720°解(1)由2 010°除以360°，得商為5，余數(shù)為210°取k5，210°，5×360°210°又210°是第三象限角，為第三象限角(2)與2 010°終邊相同的角為k·360°2 010°(kZ)令360°k·360°2 010°<720°(kZ)，解得6k<3(kZ)所以k6，5，4將k的值代入k·360°2 010°中，得角的值為150°，210°，570°能力提升8若A|k·360°，kZ，B|k·180°，kZ，C|k·90°，kZ，則下列關(guān)系中正確的是()AABC BABC CABC DABC解析由題意知集合A是終邊在x軸的非負半軸上的角的集合，集合B是終邊在x軸上的角的集合，集合C是終邊在坐標軸上的角的集合，故ABC答案D9角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，則與的關(guān)系為()Ak·360°，kZBk·360°180°，kZCk·360°180°，kZDk·360°，kZ解析方法一(特值法)：令30°，150°，則180°方法二(直接法)：因為角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，所以180°k·360°，kZ，即k·360°180°，kZ答案B10集合A|k·90°36°，kZ，B|180°<<180°，則AB_解析當k1時，126°；當k0時，36°；當k1時，54°；當k2時，144°AB126°，36°，54°，144°答案126°，36°，54°，144°11若角的終邊與60°角的終邊相同，則在0°360°內(nèi)終邊與角的終邊相同的角為_解析由題意設(shè)60°k·360°(kZ)，則20°k·120°(kZ)，則當k0,1,2時，20°，140°，260°答案20°，140°，260°12寫出如圖所示陰影部分的角的范圍解(1)因為與45°角終邊相同的角可寫成45°k·360°，kZ的形式，與180°30°150°角終邊相同的角可寫成150°k·360°，kZ的形式所以圖(1)陰影部分的角的范圍可表示為|150°k·360°<45°k·360°，kZ(2)同理可表示圖(2)中角的范圍為|45°k·360°300°k·360°，kZ13(選做題)如圖所示，半徑為1的圓的圓心位于坐標原點，點P從點A(1,0)出發(fā)，以逆時針方向等速沿單位圓周旋轉(zhuǎn)，已知P點在1 s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為 (0°<<180°)，經(jīng)過2 s達到第三象限，經(jīng)過14 s后又回到了出發(fā)點A處，求解0°<<180°，且k·360°180°<2<k·360°270°，kZ，則一定有k0，于是90°<<135°又14n·360°(nZ)，從而90°<<135°，<n<，n4或5當n4時，；當n5時，