2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第1章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.1 四種命題講義（含解析）蘇教版選修2-1命題的概念(1)這幅畫真漂亮！(2)求證是無理數(shù)；(3)菱形是平行四邊形嗎？(4)等腰三角形的兩底角相等；(5)x>2 012；(6)若x22 0122，則x2 012.問題：在這些語句中哪些能判斷出真假，哪些不能判斷出真假提示：(1)(2)(3)(5)不能判斷真假；(4)(6)能判斷真假1能夠判斷真假的語句叫做命題2命題四種命題及其關(guān)系觀察下列四個命題：(1)若兩個三角形全等，則這兩個三角形相似；(2)若兩個三角形相似，則這兩個三角形全等；(3)若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不相似；(4)若兩個三角形不相似，則這兩個三角形不全等問題：命題(1)與命題(2)、(3)、(4)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？提示：命題(1)的條件是命題(2)的結(jié)論，且命題(1)的結(jié)論是命題(2)的條件對于命題(1)和(3)其中一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定；對于命題(1)和(4)其中一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定1四種命題的概念(1)如果一個命題的條件和結(jié)論是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題叫做互逆命題(2)如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題(3)如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，那么這兩個命題叫做互為逆否命題2命題的四種形式原命題：若p，則q；逆命題：若q，則p；否命題：若非p，則非q；逆否命題：若非q，則非p.3四種命題之間的關(guān)系四種命題真假之間的關(guān)系觀察下列命題，回答后面的問題：(1)如果兩個三角形全等，那么它們的面積相等；(2)如果兩個三角形的面積相等，那么它們?nèi)龋?3)如果兩個三角形不全等，那么它們的面積不相等；(4)如果兩個三角形面積不相等，那么它們不全等問題1：若把命題(1)看作原命題，這四個命題之間有什么關(guān)系？提示：(1)與(2)、(3)與(4)為互逆關(guān)系；(1)與(3)、(2)與(4)為互否關(guān)系；(1)與(4)、(2)與(3)為互為逆否關(guān)系問題2：判斷四個命題的真假提示：命題(1)(4)是真命題；命題(2)(3)是假命題1四種命題的真假性原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假2四種命題的真假性之間的關(guān)系(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性(2)兩個命題互為逆命題或否命題，它們的真假性沒有關(guān)系1原命題是相對其他三種命題而言的事實上，可以把任意一個命題看成原命題，來研究它的其他形式的命題2當一個命題有大前提而要寫出其他三種命題時，大前提仍作大前提3若兩個命題互為逆否命題，則它們有相同的真假性，即它們同真同假所以，當一個命題的真假不易判斷時，可以通過對其逆否命題的真假的判斷來判斷原命題的真假命題的概念及其判斷例1判斷下列語句是否為命題？若是命題，則判斷其真假：(1)是無限循環(huán)小數(shù)；(2)x23x20；(3)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？(4)一個等比數(shù)列的公比大于1時，該數(shù)列為遞增數(shù)列；(5)當x4時，2x1>0；(6)把門關(guān)上思路點撥首先判斷是不是命題，如果是，然后再判斷它是真命題還是假命題精解詳析(1)能判斷真假，是命題，是假命題(2)不是命題，因為語句中含有變量x，在沒給變量x賦值前，無法判斷語句的真假(這種語句叫“開語句”)(3)不能判斷真假，不是命題(4)是命題，當?shù)缺葦?shù)列的首項a1<0，公比q>1時，該數(shù)列是遞減數(shù)列，因此是一個假命題(5)能判斷真假，是命題，是真命題(6)因為沒有作出判斷，所以不是命題一點通1判斷一個語句是不是命題，關(guān)鍵是看能不能判斷真假2判定一個命題是真命題時，一般需要經(jīng)過嚴格的推理論證，論證要有推理依據(jù)，有時應(yīng)綜合各種情況作出正確的判斷；而判定一個命題為假命題時，只需舉出一個反例即可1下列語句：(1)22 是有理數(shù)；(2)11>2；(3)2100是個大數(shù)；(4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎樣傳播的？其中是命題的是_解析：(1)能判斷真假，是命題，是假命題；(2)能判斷真假，是命題，是假命題；(3)不能判斷真假，不是命題；(4)是命題，是真命題；(5)不能判斷真假，不是命題答案：(1)、(2)、(4)2判斷下列命題的真假：(1)函數(shù)ysin4xcos4x的最小正周期是；(2)斜率相等的兩條直線平行；(3)不等式|3x2|>4的解集是(，)(2，)；(4)平行于同一平面的兩條直線平行解：(1)ysin4xcos4xsin2xcos2xcos 2x，顯然其最小正周期為，故(1)為真命題(2)斜率相等的兩條直線有可能平行，也有可能重合，故(2)是假命題(3)由|3x2|>4得，3x2>4或3x2<4，x>2或x<，|3x2|>4的解集是(，)(2，)故(3)為真命題(4)平行于同一平面的兩條直線可能平行，可能相交，可能異面，故(4)為假命題.四種命題及其真假判斷例2分別寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假：(1)若實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則b2ac；(2)函數(shù)ylogax(a>0且a1)在(0，)上是減函數(shù)時，loga2<0.思路點撥先分清所給命題的條件和結(jié)論，再按要求寫出逆命題、否命題和逆否命題，并做出真假判斷精解詳析(1)原命題可以寫成：若實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則b2ac，為真命題逆命題：若實數(shù)a，b，c滿足b2ac，則a，b，c成等比數(shù)列，為假命題否命題：若實數(shù)a，b，c不成等比數(shù)列，則b2ac，為假命題逆否命題：若實數(shù)a，b，c，滿足b2ac，則a，b，c不成等比數(shù)列，為真命題(2)原命題可以寫成：若函數(shù)ylogax(a>0且a1)在(0，)上是減函數(shù)，則loga2<0，為真命題逆命題：若loga2<0，則函數(shù)ylogax(a>0且a1)在(0，)上是減函數(shù)，為真命題否命題：若函數(shù)ylogax(a>0且a1)在(0，)上不是減函數(shù)，則loga20，為真命題逆否命題：若loga20，則函數(shù)ylogax(a>0且a1)在(0，)上不是減函數(shù)，為真命題一點通1四種命題進行轉(zhuǎn)化時應(yīng)首先找出原命題的條件和結(jié)論，然后利用四種命題的概念直接轉(zhuǎn)化即可2對于命題的真假判斷，當直接判斷有難度時，可以通過判斷它的逆否命題的真假來判斷3把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假：(1)等腰三角形的兩個底角相等；(2)當x2或x4時，x26x80；(3)已知x、y為正整數(shù)，當yx1時，y3，x2.解：(1)原命題可改寫成：若一個三角形是等腰三角形，則兩個底角相等，真命題(2)原命題可改寫成：若x2或x4，則x26x80，真命題(3)原命題可改寫成：已知x、y為正整數(shù)，若yx1，則y3，x2.假命題4寫出下列原命題的其他三種命題，并分別判斷其真假：(1)在ABC中，若a>b，則A>B；(2)正偶數(shù)不是質(zhì)數(shù)；(3)若xA則x(AB)解：(1)原命題：在ABC中，若a>b，則A>B，真命題；逆命題：在ABC中，若A>B，則a>b，真命題；否命題：在ABC中，若ab，則AB，真命題；逆否命題：在ABC中，若AB，則ab，真命題(2)原命題：若一個數(shù)是正偶數(shù)，則它一定不是質(zhì)數(shù)，假命題，例如2；逆命題：若一個數(shù)不是質(zhì)數(shù)，則它一定是正偶數(shù)，假命題，例如9；否命題：若一個數(shù)不是正偶數(shù)，則它一定是質(zhì)數(shù)，假命題，例如9；逆否命題：若一個數(shù)是質(zhì)數(shù)，則它一定不是正偶數(shù)，假命題，例如2.(3)原命題：若xA，則x(AB)，真命題；逆命題：若x(AB)，則xA，假命題；否命題：若xA，則x(AB)，假命題；逆否命題：若x(AB)，則xA，真命題.四種命題的綜合應(yīng)用例3證明：已知函數(shù)f(x)是(，)上的增函數(shù)，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，則ab0.思路點撥根據(jù)原命題與逆否命題的等價性，先證逆否命題即可精解詳析法一：原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(，)上的增函數(shù)，a，bR，若ab<0，則f(a)f(b)<f(a)f(b)”證明如下：若ab<0，則a<b，b<a.又f(x)在(，)上是增函數(shù)，f(a)<f(b)，f(b)<f(a)，f(a)f(b)<f(a)f(b)即原命題的逆否命題為真命題原命題為真命題法二：假設(shè)ab<0，則a<b，b<a.又f(x)在(，)上是增函數(shù)，f(a)<f(b)，f(b)<f(a)f(a)f(b)<f(a)f(b)這與已知條件f(a)f(b)f(a)f(b)相矛盾因此假設(shè)不成立，故ab0.一點通由于原命題與它的逆否命題具有相同的真假性，所以在直接證明某一個命題為真命題有困難時，可以通過證明它的逆否命題為真命題來間接地證明原命題為真命題5已知c>0，設(shè)p：函數(shù)ycx在R上單調(diào)遞減，q：不等式x|x2c|>1的解集為R，如果p和q有且僅有一個正確，求c的取值范圍解：函數(shù)ycx在R上單調(diào)遞減0<c<1.記Pc|0<c<1不等式x|x2c|>1的解集為R函數(shù)yx|x2c|在R上恒大于1.x|x2c|函數(shù)yx|x2c|在R上的最小值為2c.不等式x|x2c|>1的解集為R2c>1c>.記Q.如果p正確，且q不正確，借助數(shù)軸得0<c.如果p不正確，且q正確，借助數(shù)軸得c1.c的取值范圍為1，)6證明：若a24b22a10，則a2b1.證明：“若a24b22a10，則a2b1”的逆否命題為“若a2b1，則a24b22a10”a2b1，a24b22a1(2b1)24b22(2b1)14b214b4b24b210.命題“若a2b1，則a24b22a10”為真命題由原命題與逆否命題具有相同的真假性可知，結(jié)論正確1寫四種命題時，可以按下列步驟進行：(1)找出原命題的條件p和結(jié)論q；(2)寫出條件p的否定非p和結(jié)論q的否定非q；(3)按照四種命題的概念寫出所有命題2判斷命題的真假時，可以根據(jù)互為逆否的命題的真假性相同來判斷，這也是反證法的理論基礎(chǔ)對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(一) 1給出下列語句：空集是任何集合的真子集；三角函數(shù)是周期函數(shù)嗎？一個數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)；老師寫的粉筆字真漂亮！若xR，則x24x5>0.其中為命題的序號是_，為真命題的序號是_解析：是命題，且是假命題，因為空集是任何非空集合的真子集；該語句是疑問句，不是命題；是命題，且是假命題，因為數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)；該語句是感嘆句，不是命題；是命題，因為x24x5(x2)21>0恒成立，所以是真命題答案：2設(shè)a，b是向量，命題“若ab，則|a|b|”的逆命題是_答案：若|a|b|，則ab3命題“對于正數(shù)a，若a>1，則lg a>0”及其逆命題、否命題、逆否命題四個命題中真命題的個數(shù)為_解析：逆命題：對于正數(shù)a，若lg a>0，則a>1.否命題：對于正數(shù)a，若a1，則lg a0.逆否命題：對于正數(shù)a，若lg a0，則a1.根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可知都是真命題答案：44命題“若，則tan 1”的逆否命題是_解析：將條件與結(jié)論分別否定，再交換即可答案：若tan 1，則5給出下列命題：“若x2y20，則x，y不全為零”的否命題；“若an既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則anan1(nN*)”的逆命題；“若m>1，則不等式x22xm>0的解集為R”的逆否命題其中所有真命題的序號是_解析：的否命題為“若x2y20，則x，y全為零”是真命題；的逆命題為“數(shù)列an中，若anan1(nN*)，則數(shù)列an既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列”是假命題，如0,0,0；對于當m>1時，44m<0恒成立，x22xm>0的解集為R是真命題因此逆否命題是真命題答案：6把下列命題寫成“若p，則q”的形式，并判斷真假(1)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；(2)當x22x30時，x3或x1；(3)a<0時，函數(shù)yaxb的值隨x值的增大而增大解：(1)若一個函數(shù)是奇函數(shù)，則它的圖像關(guān)于原點對稱，是真命題(2)若x22x30，則x3或x1，是假命題(3)若a<0，則函數(shù)yaxb的值隨著x值的增大而增大，是假命題7證明：若m2n22，則mn2.證明：將“若m2n22，則mn2”視為原命題，則它的逆否命題為“若mn>2，則m2n22”由于mn>2，則m2n2(mn)2>×222，所以m2n22.故原命題的逆否命題為真命題，從而原命題也為真命題8判斷下列命題的真假，并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假(1)若四邊形的對角互補，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形；(2)若在二次函數(shù)yax2bxc中，b24ac<0，則該函數(shù)圖像與x軸有交點解：(1)該命題為真逆命題：若四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對角互補，為真否命題：若四邊形的對角不互補，則該四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，為真逆否命題：若四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對角不互補，為真(2)該命題為假逆命題：若二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸有交點，則b24ac<0，為假否命題：若二次函數(shù)yax2bxc中b24ac0，則函數(shù)圖像與x軸無交點，為假逆否命題：若二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸無交點，則b24ac0，為假