2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步單元測(cè)試 蘇教版必修2一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)把答案填在題中橫線上)1有下列四個(gè)結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為_互相垂直的兩直線，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；垂直于同一條直線的兩條直線平行；兩平行線之一垂直于一條直線，則另一條也垂直于此直線解析：錯(cuò)誤，異面直線也可能垂直錯(cuò)誤，應(yīng)有無數(shù)條錯(cuò)誤，可能平行，相交或異面正確答案：12給出下列命題，其中正確的命題的序號(hào)是_直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則此直線與平面平行；直線m平面，直線nm，則n；a、b是異面直線，則存在惟一的平面，使它與a、b都平行且與a、b距離相等解析：錯(cuò)誤，如果這兩點(diǎn)在該平面的異側(cè)，則直線與平面相交；錯(cuò)誤，直線n可能在平面內(nèi)；正確，如圖，設(shè)AB是異面直線a、b的公垂線段，E為AB的中點(diǎn)，過E作aa，bb，則a、b確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面，并且它是惟一確定的答案：3P為ABC所在平面外一點(diǎn)，ACa，連結(jié)PA、PB、PC，得PAB和PBC都是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，則平面ABC和平面PAC的位置關(guān)系為_解析：如圖所示，由題意知，PAPBPCABBCa，取AC中點(diǎn)D，連結(jié)PD、BD，則PDAC，BDAC，則BDP為二面角P-AC-B的平面角，又ACa，PDBDa，在PBD中，PB2BD2PD2，PDB90°.答案：垂直4如圖甲，在正方形SG1G2G3中，E、F分別是邊G1G2、G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)幾何體(圖乙)，使G1、G2、G3三點(diǎn)重合于點(diǎn)G，這樣，下面結(jié)論成立的是_SG平面EFG；SD平面EFG；GF平面SEF；GD平面SEF.解析：在圖甲中，SG1G1E，SG3G3F；在圖乙中，SGGE，SGGF，SG平面EFG.答案：5如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，三棱錐D1AB1C的表面積與正方體的表面積的比為_解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則S正方體6a2，正四面體D1AB1C的棱長(zhǎng)為a，S正四面體4××(a)22a2，所以 .答案：6如果底面直徑和高相等的圓柱的側(cè)面積是S，那么圓柱的體積等于_解析：設(shè)底面半徑為r，則2r·2rS，故r，所以Vr2·2r.答案：7.圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8 cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是_ cm.解析：設(shè)球的半徑為r cm，則r2×8r3×3r2×6r，解得r4.答案：48在空間四邊形ABCD中，ADBC2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF，則異面直線AD與BC所成角的大小為_解析：取AC中點(diǎn)M，連結(jié)EM，F(xiàn)M，F(xiàn)為DC中點(diǎn)，M為AC中點(diǎn)，F(xiàn)MAD，且FMAD1，同理EMBC，且EMBC1.EMF中作MNEF于N.RtMNE中，EM1，EN，sinEMN，EMN60°，EMF120°，AD與BC所成角為60°.答案：60°9.降水量是指水平地面上單位面積降雨的深度，用上口直徑為38 cm，底面直徑為24 cm，深度為35 cm的圓臺(tái)形水桶(軸截面如圖所示)來測(cè)量降水量，如果在一次降雨過程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的，則本次降雨的降水量是_(精確到1 mm)解析：桶內(nèi)水的深度為×355(cm)，設(shè)水面半徑為x cm，則有，解得x13.V水·5(12212×13132).設(shè)單位面積雨水深度為h，則V水·192·h，·192·h，h2.2 cm22 mm.答案：22 mm10在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離為_解析：利用三棱錐A1AB1D1的體積變換：VA1AB1D1VAA1B1D1，則×2×4×6×h，h.答案：11在空間四邊形ABCD中，平面ABD平面BCD，且DA平面ABC，則ABC的形狀是_解析：如圖，在ABD內(nèi)，作AHBD于H，平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，AH平面BCD.又BC平面BCD.BCAH.又DA平面ABC，BC平面ABC，DABC.又AHDAA，BC平面ABD，BCAB，故ABC是以B為90°角的直角三角形答案：直角三角形12如圖(1)所示，一個(gè)裝了水的密封瓶子，其內(nèi)部可以看成是由半徑為1 cm和半徑為3 cm的兩個(gè)圓柱組成的簡(jiǎn)單幾何體當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(2)水平放置時(shí)，液面高度為20 cm；當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(3)水平放置時(shí)，液面高度為28 cm，則這個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的總高度為_解析：設(shè)上、下圓柱的半徑分別是r、R，高分別是h，H.由水的體積不變得R2Hr2(20H)r2hR2·(28h)，又r1，R3，故Hh29.則這個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的總高度為29 cm.答案：2913在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，若二面角CABC1的大小為60°，則點(diǎn)C到平面ABC1的距離為_解析：如圖，取AB中點(diǎn)為O，連結(jié)C1O和CO.三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，COAB.AC1BC1，C1OAB，則C1OC即為二面角CABC1的平面角又AB1，CO，C1C，OC1.下面用等體積法求距離VC1ABCVCABC1，SABC·CC1SABC1·d，即××1××d.d.答案：14已知RtABC的斜邊在平面內(nèi)，直角頂點(diǎn)C是外一點(diǎn)，AC、BC與所成角分別為30°和45°，則平面ABC與所成銳角為_解析：如圖所示，過點(diǎn)C作垂直于的直線CO，交于點(diǎn)O.CAO30°，CBO45°.設(shè)COa，RtACO中，AC2a，在RtBCO中，BCa.過C點(diǎn)在平面ABC內(nèi)作CDAB，連結(jié)OD，則CDO為平面ABC與所成的銳角，ABa，CDa，在RtCDO中，sinCDO，CDO60°.答案：60° 二、解答題(本大題共6小題，共90分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分14分)(2014·淄博高一檢測(cè))直三棱柱的高為6 cm，底面三角形的邊長(zhǎng)分別為3 cm，4 cm，5 cm，將棱柱削成圓柱，求削去部分體積的最小值解：如圖所示，只有當(dāng)圓柱的底面圓為直三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓時(shí)，圓柱的體積最大，削去部分體積才能最小，設(shè)此時(shí)圓柱的底面半徑為R，圓柱的高即為直三棱柱的高6 cm.在ABC中，AB3 cm，BC4 cm，AC5 cm，ABC為直角三角形根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得72R5，R1 cm，V圓柱R2·h6 cm3.而三棱柱的體積為V三棱柱×3×4×636(cm3)，削去部分的體積為3666(6)(cm3)16(本小題滿分14分)底面是平行四邊形的四棱錐PABCD，點(diǎn)E在PD上，且PEED21.問：在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF平面AEC?證明你的結(jié)論解：如圖所示，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，過點(diǎn)B作OE的平行線交PD于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GFCE交PC于點(diǎn)F，連接BF.BGOE，BG平面AEC，OE平面AEC，BG平面AEC. 同理GF平面AEC，又BGGFG，平面BFG平面AEC，BF平面BFG.BF平面AEC.下面求點(diǎn)F在PC上的具體位置：BGOE，O是BD的中點(diǎn)，E是GD的中點(diǎn)又PEED21，G是PE的中點(diǎn)而GFCE.F為PC的中點(diǎn)綜上可知，存在點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)F是PC的中點(diǎn)時(shí)，BF平面AEC.17(本小題滿分14分)如圖，已知平面平面AB，PC，PD，垂足分別是C，D.(1)求證：AB平面PCD；(2)若PCPD1，CD，試判斷平面與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：(1)證明：因?yàn)镻C，AB，所以PCAB.同理PDAB.又PCPDP，故AB平面PCD.(2)設(shè)AB與平面PCD的交點(diǎn)為H，連結(jié)CH，DH.因?yàn)?AB平面PCD，所以ABCH，ABDH，所以CHD是二面角CABD的平面角又PCPD1，CD，所以CD2PC2PD22，即CPD90°.在平面四邊形PCHD中，PCHPDHCPD90°，所以CHD90°，故平面平面.18(本小題滿分16分)養(yǎng)路處建造圓錐形倉(cāng)庫(kù)用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用)，已建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑為12 m，高4 m養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉(cāng)庫(kù)，以存放更多食鹽現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑比原來大4 m(高不變)；二是高度增加4 m(底面直徑不變)(1)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的體積；(2)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的表面積；(3)哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些？解：(1)如果按方案一，倉(cāng)庫(kù)的底面直徑變成16 m，則倉(cāng)庫(kù)的體積V1Sh×82×4(m3)；如果按方案二，倉(cāng)庫(kù)的高變成8 m，則倉(cāng)庫(kù)的體積V2Sh××62×8(m3)(2)如果按方案一，倉(cāng)庫(kù)的底面直徑變成16 m，半徑為8 m棱錐的母線長(zhǎng)為l4(m)，則倉(cāng)庫(kù)的表面積S1×8×432(m2)；如果按方案二，倉(cāng)庫(kù)的高變成8 m.棱錐的母線長(zhǎng)為l10(m)，則倉(cāng)庫(kù)的表面積S2×6×1060(m2)(3)V2V1，S2S1，所以方案二比方案一經(jīng)濟(jì)19(本小題滿分16分)已知側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且ADAA1，點(diǎn)F為棱BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AC1的中點(diǎn)(1)求證：MF平面ABCD；(2)求證：平面AFC1平面ACC1A1.證明：(1)如圖，延長(zhǎng)C1F交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連結(jié)AN.F是BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)為C1N的中點(diǎn)，B為CN的中點(diǎn)又M是線段AC1的中點(diǎn)，MFAN.又MF平面ABCD，AN平面ABCD，MF平面ABCD，(2)連結(jié)BD，由題意知A1A平面ABCD，又BD平面ABCD，A1ABD.四邊形ABCD為菱形，ACBD.又ACA1AA，AC平面ACC1A1，A1A平面ACC1A1，BD平面ACC1A1.在四邊形DANB中，DABN，且DABN，四邊形DANB為平行四邊形NABD，NA平面ACC1A1.又NA平面AFC1，平面AFC1平面ACC1A1.20(本小題滿分16分)在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中點(diǎn)，過E作EFPB于點(diǎn)F.(1)求證：PA平面EDB；(2)求證：PB平面EFD；(3)求二面角CPBD的大小解：(1)證明：連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)EO.底面ABCD是正方形，O是AC的中點(diǎn)，在PAC中，EO是中位線，PAEO.又EO平面EDB，PA平面EDB，PA平面EDB.(2)證明：PD底面ABCD，且DC底面ABCD，PDDC.PDDC，PDC是等腰直角三角形又DE是斜邊PC的中線，DEPC.PD底面ABCD，PDBC.底面ABCD是正方形，DCBC，BC平面PDC.又DE平面PDC，BCDE.DE平面PBC.又PB平面PBC，DEPB.又EFPB，且DEEFE，PB平面EFD.(3)由(2)知，PBDF，EFPB，EFD是二面角CPBD的平面角由(2)知DEEF，PDDB.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則PDDCa，BDa，PBa，PCa，在RtPDB中，DFa.又DEPCa，在RtEFD中，sinEFD，EFD60°.二面角CPBD的大小是60°.