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1、高考數(shù)學 考點匯總 考點30 直接證明與間接證明（含解析）
一、選擇題
1.（xx·山東高考理科·Ｔ4）
用反證法證明命題：“已知為實數(shù)，則方程至少有一個實根”時，要做的假設是（ ）
A、方程沒有實根.
B、方程至多有一個實根.
C、方程至多有兩個實根.
D、方程恰好有兩個實根.
【解題指南】本題考查了反證法，從問題的反面出發(fā)進行假設.一元二次方程根的個數(shù)為0,1,2.因此至少有一個實根包含1根或兩根，它的反面為0根.
【解析】選A.“已知為實數(shù)，則方程至少有一個實根”的反面是“方程沒有實根.”故選A.
2.（xx·山東高考文科·Ｔ4）與（xx·山東高考理科·Ｔ4）相同
2、
用反證法證明命題：“已知為實數(shù)，則方程至少有一個實根”時，要做的假設是（ ）
A、方程沒有實根.
B、方程至多有一個實根.
C、方程至多有兩個實根.
D、方程恰好有兩個實根.
【解題指南】本題考查了反證法，從問題的反面出發(fā)進行假設.一元二次方程根的個數(shù)為0,1,2.因此至少有一個實根包含1根或兩根，它的反面為0根.
【解析】選A.“已知為實數(shù)，則方程至少有一個實根”的反面是“方程沒有實根.”故選A.
二、解答題
3.（xx·北京高考理科·Ｔ20）已知{an}是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為An，第n項之后各項，…的最小值記為Bn，dn=An－Bn．
3、
(1)若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個周期為4的數(shù)列(即對任意n∈N*，)，寫出d1，d2，d3，d4的值；
(2)設d為非負整數(shù)，證明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數(shù)列；
(3)證明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，則{an}的項只能是1或2，且有無窮多項為1
【解題指南】(1)根據(jù){dn}的定義求.
(2)充分性:先證明{an}是不減數(shù)列,再利用定義求dn;
必要性:先證明{an}是不減數(shù)列,再利用定義證明等差.
(3)可通過取特殊值和反證法進行證明.
【解析】（1），，
，。
（2） 充分性：
4、
若為公差為的等差數(shù)列，則.
因為是非負整數(shù)，所以是常數(shù)列或遞增數(shù)列.
，，
(n=1,2,3,…).
必要性：
若，假設是第一個使得的項，則
，，
，這與矛盾.
所以是不減數(shù)列.
，即，
是公差為的等差數(shù)列.
（3）①首先中的項不能是0，否則，與已知矛盾.
②中的項不能超過2，用反證法證明如下：
若中有超過2的項，設是第一個大于2的項，
中一定存在項為1，否則與矛盾.
當時，，否則與矛盾.
因此存在最大的i在2到k-1之間，使得，
此時，矛盾.
綜上中沒有超過2的項.
綜合①②，中的項只能是1或2.
下面證明1有無數(shù)個，用反證法證明如下：
若為最后一
5、個1，則，矛盾.
因此1有無數(shù)個.
4.（xx·北京高考文科·Ｔ20）給定數(shù)列a1，a2，…，an。對i=1，2，…n-l，該數(shù)列前i項的最大值記為Ai，后n-i項ai+1，ai+2，…，an的最小值記為Bi，di=Ai-Bi.
（1）設數(shù)列{an}為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值.
（2）設a1，a2，…，an（n≥4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0.證明：d1，d2，…dn-1是等比數(shù)列。
（3）設d1，d2，…dn-1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1＞0，證明：a1，a2，…，an-1是等差數(shù)列。
【解題指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值.
(
6、2)先求出{dn}的通項,再利用等比數(shù)列的定義證明{dn}是等比數(shù)列.
(3)先證明{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,再證明an是數(shù)列{an}的最小項,最后證明{an}是等差數(shù)列.
【解析】（1），，。
（2）由是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0，可得的通項為且為單調(diào)遞增數(shù)列。
于是當時，為定值。
因此d1，d2，…dn-1構成首項，公比的等比數(shù)列。
（3）若d1,d2,…,dn-1是公差大于0的等差數(shù)列,則00矛盾.
因而k≥2,此時考慮dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak<0,矛盾.
因此,an為數(shù)列{an}中的最小項.
綜上,dk=Ak-Bk=ak-an(k=1,2,…,n-1),于是ak=dk+an,
從而a1,a2,…,an-1是等差數(shù)列.
高考數(shù)學 考點匯總 考點30 直接證明與間接證明（含解析）
