2022-2023學年高中數學 第一章 三角函數 8 函數yAsin(x)的圖像與性質(二)學案 北師大版必修4學習目標1.會用“五點法”畫函數yAsin(x)的圖像.2.能根據yAsin(x)的部分圖像，確定其解析式.3.了解yAsin(x)的圖像的物理意義，能指出簡諧運動中的振幅、周期、相位、初相.知識點一“五點法”作函數yAsin(x)(A>0，>0)的圖像思考1用“五點法”作ysin x，x0，2時，五個關鍵點的橫坐標依次取哪幾個值？答案依次為0，2.思考2用“五點法”作yAsin(x)時，五個關鍵的橫坐標取哪幾個值？答案用“五點法”作函數yAsin(x)(xR)的簡圖，先令tx，再由t取0，2即可得到所取五個關鍵點的橫坐標依次為，.梳理用“五點法”作yAsin(x) 的圖像的步驟：第一步：列表：x02xy0A0A0第二步：在同一坐標系中描出各點.第三步：用光滑曲線連接這些點，形成圖像.知識點二函數yAsin(x)，A>0，>0的性質名稱性質定義域R值域A，A周期性T對稱性對稱中心(kZ)對稱軸x(kZ)奇偶性當k(kZ)時是奇函數；當k(kZ)時是偶函數單調性通過整體代換可求出其單調區(qū)間知識點三函數yAsin(x)，A0，0中參數的物理意義1.函數y2sin的振幅是2.(×)提示振幅是2.2.函數ysin的初相是.(×)提示初相是.3.函數ysin的圖像的對稱軸方程是xk，kZ.()提示令xk，kZ，解得xk，kZ，即f(x)的圖像的對稱軸方程是xk，kZ.類型一用“五點法”畫yAsin(x)的圖像例1利用五點法作出函數y3sin在一個周期內的圖像.考點用“五點法”作三角函數的簡圖題點用“五點法”作三角函數的簡圖解依次令0，2，列出下表：02xy03030描點，連線，如圖所示.反思與感悟(1)用“五點法”作圖時，五點的確定，應先令x分別為0，2，解出x，從而確定這五點.(2)作給定區(qū)間上yAsin(x)的圖像時，若xm，n，則應先求出x的相應范圍，在求出的范圍內確定關鍵點，再確定x，y的值，描點、連線并作出函數的圖像.跟蹤訓練1已知f(x)1sin，畫出f(x)在x上的圖像.考點用“五點法”作三角函數的簡圖題點用“五點法”作三角函數的簡圖解(1)x，2x.列表如下：x2x0f(x)211112(2)描點，連線，如圖所示.類型二由圖像求函數yAsin(x)的解析式例2如圖是函數yAsin(x)的圖像，求A，的值，并確定其函數解析式.考點由圖像求函數yAsin(x)的解析式題點由圖像求函數yAsin(x)的解析式解方法一(逐一定參法)由圖像知振幅A3，又T，2.由點可知，×20，得，y3sin.方法二(待定系數法)由圖像知A3，又圖像過點和，根據五點作圖法原理(以上兩點可判為“五點法”中的第三點和第五點)，有解得y3sin.方法三(圖像變換法)由T，點，A3可知，圖像是由y3sin 2x向左平移個單位長度而得到的，y3sin，即y3sin.反思與感悟若設所求解析式為yAsin(x)，則在觀察函數圖像的基礎上，可按以下規(guī)律來確定A，.(1)由函數圖像上的最大值、最小值來確定|A|.(2)由函數圖像與x軸的交點確定T，由T，確定.(3)確定函數yAsin(x)的初相的值的兩種方法代入法：把圖像上的一個最高點或最低點代入(此時A，已知)或代入圖像與x軸的交點求解.(此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)五點對應法：確定值時，往往以尋找“五點法”中的第一個零點作為突破口.“五點”的x的值具體如下：“第一點”(即圖像上升時與x軸的交點)為x0；“第二點”(即圖像的“峰點”)為x；“第三點”(即圖像下降時與x軸的交點)為x；“第四點”(即圖像的“谷點”)為x；“第五點”為x2.跟蹤訓練2(2017·貴州貴陽一中期末考試)已知函數f(x)sin(x)(>0)的部分圖像如圖所示，則 .考點求三角函數的解析式題點根據三角函數的圖像求解析式答案解析由圖，知，T，又T，.類型三函數yAsin(x)性質的應用例3已知曲線yAsin(x)上最高點為(2，)，該最高點與相鄰的最低點間的曲線與x軸交于點(6，0).(1)求函數的解析式；(2)求函數在x6，0上的值域.考點三角函數圖像的綜合應用題點三角函數圖像的綜合應用解(1)由題意可知A，624，T16，即16，ysin.又圖像過最高點(2，)，sin1，故2k，kZ，2k，kZ，由|，得，ysin.(2)6x0，x，sin1.即函數在x6，0上的值域為，1.跟蹤訓練3設函數f(x)sin(2x)(0)，函數yf(x)的圖像的一條對稱軸是直線x.(1)求的值；(2)求函數yf(x)的單調區(qū)間及最值.考點函數yAsin(x)的性質題點函數yAsin(x)性質的應用解(1)由2xk，kZ，得x，令，得k，kZ.0，.(2)由(1)知，f(x)sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，故函數的遞增區(qū)間是(kZ).同理可得函數的遞減區(qū)間是(kZ)當2x2k(kZ)，即xk(kZ)時，函數取得最大值1；當2x2k(kZ)，即xk(kZ)時，函數取得最小值1.1.函數yAsin(x)(A>0，0<<)的圖像的一段如圖所示，它的解析式可以是()A.ysinB.ysinC.ysinD.ysin考點由圖像求函數yAsin(x)的解析式題點由圖像求函數yAsin(x)的解析式答案A解析由圖像可得A，所以T，所以2，所以ysin(2x).將點的坐標代入ysin(2x)，得sin，則sin1，所以2k(kZ)，即2k(kZ).又0<<，令k0，則.所以解析式可以是ysin.2.函數yAsin(x)k的圖像如圖，則它的振幅A與最小正周期T分別是()A.A3，T B.A3，TC.A，T D.A，T考點三角函數圖像的綜合應用題點三角函數圖像的綜合應用答案D解析由題圖可知A×(30)，設周期為T，則T，得T.3.下列表示函數ysin在區(qū)間上的簡圖正確的是()考點用“五點法”作三角函數的簡圖題點用“五點法”作三角函數的簡圖答案A解析將ysin x的圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的，再將所有點向右平移個單位長度即可得到y(tǒng)sin的圖像，依據此變換過程可得到A中圖像是正確的.也可以分別令2x0，2得到五個關鍵點，描點連線即得函數ysin的圖像.4.已知函數f(x)sin(>0)的最小正周期為，則該函數的圖像()A.關于點對稱 B.關于直線x對稱C.關于點對稱 D.關于直線x對稱考點函數yAsin(x)的性質題點函數yAsin(x)性質的應用答案A解析2，所以f(x)sin.將x代入f(x)sin，得f 0，故選A.5.已知函數f(x)Asin(x)的部分圖像如圖所示.(1)求f(x)的解析式；(2)寫出f(x)的遞增區(qū)間.考點三角函數yAsin(x)的綜合問題題點三角函數yAsin(x)的綜合問題解(1)易知A，T4×2(2)16，f(x)sin，將點(2，0)代入得sin0，令0，f(x)sin.(2)由2kx2k，kZ，解得16k6x16k2，kZ，f(x)的遞增區(qū)間為16k6，16k2，kZ.1.利用“五點”法作函數yAsin(x)的圖像時，要先令“x”這一個整體依次取0，2，再求出x的值，這樣才能得到確定圖像的五個關鍵點，而不是先確定x的值，后求“x”的值.2.由函數yAsin(x)的部分圖像確定解析式關鍵在于確定參數A，的值.(1)一般可由圖像上的最大值、最小值來確定|A|.(2)因為T，所以往往通過求得周期T來確定，可通過已知曲線與x軸的交點從而確定T，即相鄰的最高點與最低點之間的距離為；相鄰的兩個最高點(或最低點)之間的距離為T.(3)從尋找“五點法”中的第一個零點(也叫初始點)作為突破口，以yAsin(x) (A>0，>0)為例，位于遞增區(qū)間上離y軸最近的那個零點最適合作為“五點”中的第一個點.3.在研究yAsin(x)(A>0，>0)的性質時，注意采用整體代換的思想，如函數在x2k(kZ)時取得最大值，在x2k(kZ)時取得最小值.一、選擇題1.若函數f(x)3sin(x)對任意x都有f f ，則有f 等于()A.3或0 B.3或0C.0 D.3或3考點函數yAsin(x)的性質題點函數yAsin(x)性質的應用答案D解析由f f 知，x是函數的對稱軸，解得f 3或3，故選D.2.如圖所示，函數的解析式為()A.ysin B.ysinC.ycos D.ycos考點由圖像求函數yAsin(x)的解析式題點由圖像求函數yAsin(x)的解析式答案D解析由圖知T4×，2.又當x時，y1，經驗證，可得D項解析式符合題目要求.3.函數f(x)Asin(x)的部分圖像如圖所示，為了得到g(x)sin 3x的圖像，則只要將f(x)的圖像()A.向右平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向左平移個單位長度考點三角函數圖像的綜合應用題點三角函數圖像的綜合應用答案B解析由圖像知，函數f(x)的周期T4×，所以3.因為函數f(x)的圖像過圖中最小值點，所以A1且sin1，又因為|<，所以，所以f(x)sin.因為g(x)sin 3x，所以g(x)f .為了得到g(x)sin 3x的圖像，只需將f(x)的圖像向右平移個單位長度，故選B.4.把函數f(x)2cos(x)(>0，0<<)的圖像上每一點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，然后再向左平移個單位，得到一個最小正周期為2的奇函數g(x)，則和的值分別為()A.1， B.2， C.， D.，考點函數yAcos(x)的性質題點函數yAcos(x)性質的應用答案B解析依題意得f(x)第一次變換得到的函數解析式為m(x)2cos，則函數g(x)2cos.因為函數g(x)的最小正周期為2，所以2，則g(x)2cos.又因為函數為奇函數，0<<，所以k(kZ)，則.5.函數f(x)cos(x)的部分圖像如圖所示，則f(x)的遞減區(qū)間為()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ考點函數yAcos(x)的性質題點函數yAcos(x)性質的應用答案D解析由圖像知，周期T2×2，2，.由×2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2k<x<2k，kZ，得2k<x<2k，kZ，f(x)的遞減區(qū)間為，kZ.故選D.6.已知函數f(x)Acos(x)(A>0，>0，0<<)為奇函數，該函數的部分圖像如圖所示，EFG是邊長為2的等邊三角形，則f(1)的值為()A. B.C. D.考點函數yAcos(x)的性質題點函數yAcos(x)性質的應用答案D解析由函數f(x)是奇函數，且0<<，可得.由圖像及已知可得函數的最小正周期為4，得.由EFG的邊FG上的高為，可得A，所以f(x)cos，所以f(1)cos .二、填空題7.把函數y2sin的圖像向左平移m個單位長度，所得的圖像關于y軸對稱，則m的最小正值是 .考點函數yAsin(x)的性質題點函數yAsin(x)性質的應用答案解析把y2sin的圖像向左平移m個單位長度，則y2sin，其圖像關于y軸對稱，mk，即mk，kZ.取k1，則m的最小正值為.8.已知函數ysin(x)(>0，<)的圖像如圖所示，則 .考點由圖像求函數yAsin(x)的解析式題點由圖像求函數yAsin(x)的解析式答案解析由圖像知函數ysin(x)的周期為2，.當x時，y有最小值1，×2k(kZ)，即2k(kZ).<，.9.已知函數f(x)Acos(x)的圖像如圖所示，f ，則f(0) .考點三角函數圖像的綜合應用題點三角函數圖像的綜合應用答案解析由題圖可知，T，f(0)f ，注意到，也即和關于對稱，于是f(0)f f .10.關于f(x)4sin(xR)，有下列命題：由f(x1)f(x2)0可得x1x2是的整數倍；yf(x)的表達式可改寫成y4cos；yf(x)圖像關于對稱；yf(x)圖像關于x對稱.其中正確命題的序號為 .考點函數yAsin(x)的性質題點函數yAsin(x)性質的應用答案解析對于，由f(x)0，可得2xk(kZ)，x(kZ)，x1x2是的整數倍，錯；對于，f(x)4sin利用公式，得f(x)4cos4cos，對；對于，f(x)4sin的對稱中心滿足2xk，kZ，x，kZ.是函數yf(x)的一個對稱中心，對；對于，函數yf(x)的對稱軸滿足2xk，kZ，x，kZ，錯.三、解答題11.已知曲線yAsin(x)(A>0，>0)上的一個最高點的坐標為，此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點，若.(1)試求這條曲線的函數表達式；(2)用“五點法”畫出(1)中函數在0，上的圖像.考點函數yAsin(x)的綜合問題題點函數yAsin(x)的綜合問題解(1)由題意知A，T4×，2，ysin(2x).又sin1，2k，kZ，2k，kZ.又，ysin.(2)列出x，y的對應值表：x02x2y1001描點，連線，如圖所示.12.已知函數f(x)2sin1(0<<，>0)為偶函數，且函數f(x)的圖像的兩相鄰對稱軸間的距離為.(1)求f 的值；(2)將函數f(x)的圖像向右平移個單位長度后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數g(x)的圖像，求函數g(x)的遞減區(qū)間.考點函數yAsin(x)的性質題點函數yAsin(x)性質的應用解(1)f(x)為偶函數，k(kZ)，k(kZ).又0<<，f(x)2sin12cos x1.又函數f(x)的圖像的兩相鄰對稱軸間的距離為，T2×，2，f(x)2cos 2x1，f 2cos11.(2)將f(x)的圖像向右平移個單位長度后，得到函數f 的圖像，再將所得圖像上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到f 的圖像.所以g(x)f 2cos 212cos1.當2k2k(kZ)，即4kx4k(kZ)時，g(x)是減函數.函數g(x)的遞減區(qū)間是(kZ).四、探究與拓展13.設函數f(x)Asin(x)的部分圖像如圖所示，若x1，x2，且f(x1)f(x2)，則f(x1x2)等于()A.1 B. C. D.考點函數yAsin(x)的性質題點函數yAsin(x)性質的應用答案D解析由圖像可得A1，解得2，f(x)sin(2x).點相當于ysin x中的(0，0)，令2×0，解得，滿足|<，符合題意，f(x)sin.sin1，圖中點B的坐標為.又x1，x2，且f(x1)f(x2)(x1x2)，x1x2×2，f(x1x2)sin，故選D.14.已知函數f(x)Asin(x)(A>0，>0，|<)，在同一周期內，當x時，f(x)取得最大值3；當x時，f(x)取得最小值3.(1)求函數f(x)的解析式；(2)求函數f(x)的遞減區(qū)間；(3)若x時，函數h(x)2f(x)1m有兩個零點，求實數m的取值范圍.考點三角函數圖像的綜合應用題點三角函數圖像的綜合應用解(1)由題意，易知A3，T2×，2，由2×2k，kZ，得2k，kZ.又|<，f(x)3sin.(2)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，函數f(x)的遞減區(qū)間為，kZ.(3)由題意知，方程sin在區(qū)間上有兩個實根.x，2x，sin，又方程有兩個實根，m13，7).