2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1 命題學(xué)案 北師大版選修1 -1 命題的定義及形式觀察下列語句的特點(diǎn)：兩個(gè)全等三角形的面積相等；y2x是一個(gè)增函數(shù)；請(qǐng)把門關(guān)上！ytan x的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)嗎？若x>2 013，則x>2 014.問題1：上述哪幾個(gè)語句能判斷為真？提示：.問題2：上述哪幾個(gè)語句能判斷為假？提示：.問題3：上述哪幾個(gè)語句不是命題？你知道是什么原因嗎？提示：.因?yàn)樗鼈兌疾荒芘袛嗾婕賳栴}4：語句的條件和結(jié)論分別是什么？提示：條件為“x>2 013”，結(jié)論為“x>2 014”1命題(1)可以判斷真假、用文字或符號(hào)表述的語句叫作命題(2)判斷為真的語句叫作真命題；判斷為假的語句叫作假命題2命題的形式數(shù)學(xué)中，通常把命題表示成“若p，則q”的形式，其中，p是條件，q是結(jié)論.四種命題及其關(guān)系觀察下列四個(gè)命題：若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)；若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)；若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)問題1：命題與命題的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？提示：命題的條件是命題的結(jié)論，且命題的結(jié)論是命題的條件；對(duì)于命題，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定；對(duì)于命題，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定問題2：命題的真假性相同嗎？命題的真假性相同嗎？提示：命題同為真，命題同為假1四種命題(1)互逆命題：一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么把這樣的兩個(gè)命題叫作互逆命題其中一個(gè)命題叫作原命題，另一個(gè)命題叫作原命題的逆命題(2)互否命題：對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么把這樣的兩個(gè)命題叫作互否命題如果把其中的一個(gè)命題叫作原命題，那么另一個(gè)叫作原命題的否命題(3)互為逆否命題：對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，把這樣的兩個(gè)命題叫作互為逆否命題如果把其中的一個(gè)命題叫作原命題，那么另一個(gè)叫作原命題的逆否命題(4)四種命題的條件、結(jié)論之間的關(guān)系如表所示：命題條件結(jié)論原命題pq逆命題qp否命題p的否定q的否定逆否命題q的否定p的否定2四種命題間的關(guān)系原命題和其逆否命題為互為逆否命題，否命題與逆命題為互為逆否命題，互為逆否的兩個(gè)命題真假性相同1判斷一個(gè)語句是否為命題關(guān)鍵看它是否符合兩個(gè)條件：一是可以判斷真假，二是用文字或符號(hào)表述的語句祈使句、疑問句、感嘆句等都不是命題2寫四種命題時(shí)，一定要先找出原命題的條件和結(jié)論，根據(jù)條件和結(jié)論的變化分別得到逆命題、否命題、逆否命題3互為逆否命題的兩個(gè)命題真假性相同 命題的概念及真假判斷例1判斷下列語句是否為命題，若是，請(qǐng)判斷真假并改寫成“若p，則q”的形式(1)垂直于同一條直線的兩條直線平行嗎？(2)一個(gè)正整數(shù)不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù)；(3)三角形中，大角所對(duì)的邊大于小角所對(duì)的邊；(4)當(dāng)xy是有理數(shù)時(shí)，x，y都是有理數(shù)；(5)1232 014；(6)這盆花長得太好了！思路點(diǎn)撥根據(jù)命題的概念進(jìn)行判斷精解詳析(1)(5)(6)未涉及真假，都不是命題(2)是命題因?yàn)?既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)，故它是假命題此命題可寫成“若一個(gè)數(shù)為正整數(shù)，則它不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù)”(3)是真命題此命題可寫成“在三角形中，若一條邊所對(duì)的角大于另一邊所對(duì)的角，則這條邊大于另一邊”(4)是假命題此命題可寫成“若xy是有理數(shù)，則x，y都是有理數(shù)”一點(diǎn)通1判斷語句是否為命題的關(guān)鍵是看該語句是否能判斷真假2在說明一個(gè)命題是真命題時(shí)，應(yīng)進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明，而要說明命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可1“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思”這是唐代詩人王維的詩相思，在這四句詩中，可以作為命題的是()A紅豆生南國B春來發(fā)幾枝C愿君多采擷 D此物最相思解析：“紅豆生南國”是陳述句，所述事件在唐代是事實(shí)，所以本句是命題，且是真命題；“春來發(fā)幾枝”是疑問句，“愿君多采擷”是祈使句，“此物最相思”是感嘆句，都不能判斷真假，不是命題，故選A.答案：A2給定下列命題：若k0，則方程x22xk0有實(shí)數(shù)根；若ab0，cd0，則acbd；對(duì)角線相等的四邊形是矩形；若xy0，則x，y中至少有一個(gè)為0.其中是真命題的是()A BC D解析：中44(k)44k0，所以是真命題；由不等式的乘法性質(zhì)知命題正確，所以是真命題；如等腰梯形對(duì)角線相等，不是矩形，所以是假命題；由等式性質(zhì)知命題正確，所以是真命題，故選B.答案：B3將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷真假(1)偶數(shù)可被2整除；(2)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱解：(1)若一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則它可以被2整除真命題；(2)若一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)，則它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱真命題.四種命題及其關(guān)系例2分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假(1)若q<1，則方程x22xq0有實(shí)根；(2)若ab0，則a0；(3)若x2y20，則x，y全為零；(4)已知a，b，c為實(shí)數(shù)，若ab，則acbc.思路點(diǎn)撥找出命題的條件p和結(jié)論q.根據(jù)四種命題的條件和結(jié)論的關(guān)系寫出其余三種命題精解詳析(1)逆命題：若方程x22xq0有實(shí)根，則q<1.假命題否命題：若q1，則方程x22xq0無實(shí)根，假命題逆否命題：若方程x22xq0無實(shí)根則q1，真命題(2)逆命題：若a0，則ab0，真命題否命題：若ab0，則a0，真命題逆否命題：若a0，則ab0，假命題(3)逆命題：若x，y全為零，則x2y20，真命題否命題：若x2y20，則x，y不全為零，真命題逆否命題：若x，y不全為零，則x2y20，真命題(4)逆命題：已知a，b，c為實(shí)數(shù)，若acbc，則ab，假命題否命題：已知a，b，c為實(shí)數(shù)，若ab，則acbc，假命題逆否命題：已知a，b，c為實(shí)數(shù)，若acbc，則ab，真命題一點(diǎn)通1由原命題得到逆命題、否命題、逆否命題的方法：(1)交換原命題的條件和結(jié)論，得到逆命題；(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，得到否命題；(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，得到逆否命題2原命題與其逆否命題真假相同；逆命題與否命題真假相同4有下列四個(gè)命題，其中真命題是()“若xy1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；“正方形的四條邊相等”的逆命題；“若m2，則x2mx10有實(shí)根”的逆否命題；“若ABB，則AB”的逆否命題ABC D解析：逆命題：若x，y互為倒數(shù)，則xy1.真命題逆命題：四條邊相等的四邊形是正方形假命題逆否命題：若方程x2mx10無實(shí)根，則m<2.真命題原命題為假命題，逆否命題也為假命題答案：C5寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題：(1)若，則sin cos ；(2)a，b，c，dR，若ac，bd，則abcd.解：(1)逆命題：若sin cos ，則；否命題：若，則sin cos ；逆否命題：若sin cos ，則.(2)逆命題：a，b，c，dR，若abcd，則ac，bd；否命題：a，b，c，dR，若ac或bd，則abcd；逆否命題：a，b，c，dR，若abcd，則ac或bd.6將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它的逆命題、否命題和逆否命題(1)垂直于同一平面的兩條直線平行；(2)當(dāng)mn0時(shí)，方程mx2xn0有實(shí)數(shù)根解：(1)將命題寫成“若p，則q”的形式為：若兩條直線垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線平行它的逆命題、否命題和逆否命題如下：逆命題：若兩條直線平行，則這兩條直線垂直于同一個(gè)平面否命題：若兩條直線不垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線不平行逆否命題：若兩條直線不平行，則這兩條直線不垂直于同一個(gè)平面(2)將命題寫成“若p，則q”的形式為：若mn0，則方程mx2xn0有實(shí)數(shù)根它的逆命題、否命題和逆否命題如下：逆命題：若方程mx2xn0有實(shí)數(shù)根，則mn0.否命題：若mn0，則方程mx2xn0沒有實(shí)數(shù)根逆否命題：若方程mx2xn0沒有實(shí)數(shù)根，則mn0.逆否命題的應(yīng)用例3判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，則a1”的逆否命題的真假思路點(diǎn)撥本題可直接寫出其逆否命題判斷其真假，也可直接判斷原命題的真假來推斷其逆否命題的真假精解詳析法一：其逆否命題為：已知a，x為實(shí)數(shù)，如果a<1，則關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為空集判斷如下：拋物線yx2(2a1)xa22的開口向上，判別式(2a1)24(a22)4a7.因?yàn)閍<1，所以4a7<0，即<0.所以拋物線yx2(2a1)xa22與x軸無交點(diǎn)，所以關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為空集，故逆否命題為真命題法二：先判斷原命題的真假因?yàn)閍，x為實(shí)數(shù)，且關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，所以(2a1)24(a22)0，即4a70，解得a.>1，a1.原命題為真又因?yàn)樵}與其逆否命題真假相同，所以逆否命題為真一點(diǎn)通由于互為逆否命題的兩個(gè)命題有相同的真假性，當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)，可以通過判斷其逆否命題真假的方法來判斷該命題的真假7命題“若m>0，則x2xm0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題是_(填“真”或“假”)命題解析：當(dāng)m>0時(shí)，14m>0，x2xm0有實(shí)數(shù)根原命題為真，故其逆否命題為真答案：真8證明：若a24b22a10，則a2b1.證明：“若a24b22a10，則a2b1”的逆否命題為“若a2b1，則a24b22a10”a2b1時(shí)，a24b22a1(a1)2(2b)20.命題“若a2b1，則a24b22a10”為真命題由原命題與逆否命題具有相同的真假性可知原命題正確1互逆命題、互否命題、互為逆否命題都是說兩個(gè)命題的關(guān)系，是相對(duì)而言的，把其中一個(gè)命題叫作原命題時(shí)，另外三個(gè)命題分別是它的逆命題、否命題、逆否命題2寫四種命題時(shí)，大前提應(yīng)保持不變判斷四種命題的真假時(shí)，可以根據(jù)互為逆否命題的兩個(gè)命題的真假性相同來判斷 1命題“若x1，則x1”的否命題是()A若x1，則x1B若x1，則x1C若x1，則x1 D若x1，則x1解析：原命題的否命題是對(duì)條件“x1”和結(jié)論“x1”同時(shí)否定，即“若x1，則x1”，故選C.答案：C2給出下列三個(gè)命題：()“全等三角形的面積相等”的否命題；“若lg x20，則x1”的逆命題；“若xy，或xy，則|x|y|”的逆否命題其中真命題的個(gè)數(shù)是()A0B1C2D3解析：的否命題是“不全等的三角形面積不相等”，它是假命題；的逆命題是“若x1，則lg x20”，它是真命題；的逆否命題是“若|x|y|，則xy且xy”，它是假命題，故選B.答案：B3(湖南高考)命題“若，則tan 1”的逆否命題是()A若，則tan 1 B若，則tan 1C若tan 1，則 D若tan 1，則解析：以否定的結(jié)論作條件、否定的條件作結(jié)論得出的命題為逆否命題，即“若，則tan 1”的逆否命題是“若tan 1，則”答案：C4已知命題“若ab0，則a0或b0”，則下列結(jié)論正確的是()A真命題，否命題：“若ab0，則a0或b0”B真命題，否命題：“若ab0，則a0且b0”C假命題，否命題：“若ab0，則a0或b0”D假命題，否命題：“若ab0，則a0且b0”解析：逆否命題“若a0且b0，則ab0”，顯然為真命題，又原命題與逆否命題等價(jià)，故原命題為真命題否命題為“若ab0，則a0且b0”，故選B.答案：B5已知命題：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并平分弦所對(duì)的弧若把上述命題改為“若p，則q”的形式，則p是_，q是_答案：一條直線是弦的垂直平分線這條直線經(jīng)過圓心且平分弦所對(duì)的弧6命題“若x2<4，則2<x<2”的逆否命題為_，為_(填“真、假”)命題答案：若x2或x2，則x24真7把命題“兩條平行直線不相交”寫成“若p，則q”的形式，并寫出其逆命題、否命題、逆否命題解：原命題：若直線l1與l2平行，則l1與l2不相交；逆命題：若直線l1與l2不相交，則l1與l2平行；否命題：若直線l1與l2不平行， 則l1與l2相交；逆否命題：若直線l1與l2相交，則l1與l2不平行8證明：已知函數(shù)f(x)是(，)上的增函數(shù)，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，則ab0.證明：法一：原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(，)上的增函數(shù)，a，bR，若ab<0，則f(a)f(b)<f(a)f(b)”ab<0，a<b，b<a.又f(x)在(，)上是增函數(shù)，f(a)<f(b)，f(b)<f(a)f(a)f(b)<f(a)f(b)，即逆否命題為真命題原命題為真命題法二：假設(shè)ab<0，則a<b，b<a，又f(x)在(，)上是增函數(shù)，f(a)<f(b)，f(b)<f(a)f(a)f(b)<f(a)f(b)這與已知條件f(a)f(b)f(a)f(b)相矛盾因此假設(shè)不成立，故ab0.