2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末優(yōu)化總結(jié)優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修2-2一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1曲線yxex1在點(diǎn)(1,1) 處切線的斜率等于()A2eBeC2 D1解析：由yxex1得yex1xex1，所以曲線在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率ky|x1e111×e112.故選C.答案：C2二次函數(shù)yf(x)的圖象過原點(diǎn)且它的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象是如圖所示的一條直線，yf(x)的圖象的頂點(diǎn)在()A第象限 B第象限C第象限 D第象限解析：設(shè)f(x)ax2bxc，二次函數(shù)yf(x)的圖象過原點(diǎn)，c0，f(x)2axb，由yf(x)的圖象可知，2a<0，b>0，a<0，b>0，>0，>0，故選A.答案：A3設(shè)函數(shù)f(x)ax3，若f(1)3，則a等于()A2 B2C3 D3解析：f(x)li li a，f(1)a3.答案：C4若f(x)x22x4ln x，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(1,0) B(1,0)(2，)C(2，) D(0，)解析：f(x)2x2，由f(x)0得x2. 答案：C5已知f(x)2x36x2m(m為常數(shù))在2,2上有最大值3，那么此函數(shù)在2,2上的最小值為()A37 B29C5 D11解析：由f(x)6x212x6x(x2)0，解得x0或x2，又f(0)m，f(2)m8，f(2)m40，所以f(x)maxm3，f(x)minm4034037.答案：A6已知f(x)2cos2x1，x(0，)，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B.C. D.解析：f(x)2cos2x12cos 2x，x(0，)，f(x)2sin 2x.令f(x)>0，則sin 2x<0.又x(0，)，0<2x<2.<2x<2，即<x<.答案：C7.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)y(1x)f(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)C函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)解析：由圖可知，當(dāng)x<2時(shí)，f(x)>0；當(dāng)2<x<1時(shí)，f(x)<0；當(dāng)1<x<2時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0.由此可以得到函數(shù)在x2處取得極大值，在x2處取得極小值，選D.答案：D8由yx2與直線y2x3圍成的圖形的面積是()A. B.C. D9解析：解得交點(diǎn)A(3，9)，B(1，1)如圖，由yx2與直線y2x3圍成的圖形的面積S3(x2)dx3(2x3)dxx3(x23x).答案：B9下列函數(shù)中，x0是其極值點(diǎn)的函數(shù)是()Af(x)x3 Bf(x)cos xCf(x)sin xx Df(x)解析：對(duì)于A，f(x)3x20恒成立，在R上單調(diào)遞減，沒有極值點(diǎn)；對(duì)于B，f(x)sin x，當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>0，故f(x)cos x在x0的左側(cè)區(qū)間(，0)內(nèi)單調(diào)遞減，在其右側(cè)區(qū)間(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，所以x0是f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)；對(duì)于C，f(x)cos x10恒成立，在R上單調(diào)遞減，沒有極值點(diǎn)；對(duì)于D，f(x)在x0沒有定義，所以x0不可能成為極值點(diǎn)，綜上可知，答案選B.答案：B10已知函數(shù)f(x)asin xbcos x在x時(shí)取得極值，則函數(shù)yf(x)是()A偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱B偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱C奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱D奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱解析：f(x)的圖象關(guān)于x對(duì)稱，f(0)f()，ba，f(x)asin xbcos xasin xacos xasin(x)，f(x)asin(x)asin(x)asin x.顯然f(x)是奇函數(shù)且關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱，故選D.答案：D11已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)2，且f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)在R上恒有f(x)1(xR)，則不等式f(x)x1的解集為()A(1，)B(，1)C(1,1)D(，1)(1，)解析：不等式f(x)x1可化為f(x)x1，設(shè)g(x)f(x)x，由題意g(x)f(x)10，g(1)f(1)11，故原不等式g(x)g(1)，故x1.答案：A12函數(shù)f(x)(1cos x)sin x在，的圖象大致為()解析：在，上，f(x)1cos(x)sin(x)(1cos x)(sin x)(1cos x)sin xf(x)，f(x)是奇函數(shù)，f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B.取x，則f()(1cos)sin10，排除A.f(x)(1cos x)sin x，f(x)sin x·sin x(1cos x)cos x1cos2xcos xcos2x2cos2xcos x1.令f(x)0，則cos x1或cos x.結(jié)合x，求得f(x)在(0，上的極大值點(diǎn)為，靠近，選C.答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上)13設(shè)函數(shù)f(x)在(0，)內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)xex，則f(1)_.解析：令ext，則xln t，所以f(x)ln xx，即f(x)1，則f(1)112.答案：214曲線ye5x2在點(diǎn)(0,3)處的切線方程為_解析：因?yàn)閥e5x2，所以y5e5x，所求切線的斜率為ky|x05e05，故所求切線的方程為y35(x0)，即y5x3或5xy30.答案：y5x3或5xy3015若函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,2m1)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：f(x)，令f(x)> 0，得1<x<1，即函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(1,1)又f(x)在(m,2m1)上單調(diào)遞增，所以解得1<m0.答案：(1,016周長(zhǎng)為20 cm的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱，則圓柱體積的最大值為_解析：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x，則寬為10x(0<x<10)，由題意可知所求圓柱的體積Vx2(10x)10x2x3，V(x)20x3x2.由V(x)0得x0(舍去)，x，且當(dāng)x(0，)時(shí)，V(x)>0，當(dāng)x(，10)時(shí)，V(x)<0，當(dāng)x時(shí)，V(x)取得最大值為 cm3.答案： cm3三、解答題(本大題共有6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分12分)求曲線yx3在點(diǎn)(3,27)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積解析：因?yàn)閒(3)li 27，所以在點(diǎn)(3,27)處的切線方程為y2727(x3)，即y27x54.此切線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為(2,0)，(0，54)所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為×2×5454.18(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)ex(axb)x24x，曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為y4x4.(1)求a，b的值；(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值解析：(1)f (x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4.故b4，ab8.從而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2)(ex)令f(x)0，得xln 2或x2.從而當(dāng)x(，2)(ln 2，)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(2，ln 2)時(shí)，f(x)0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上單調(diào)遞增，在(2，ln 2)上單調(diào)遞減當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(2)4(1e2)19. (本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)x3ax2bx在區(qū)間(2,1)內(nèi)x1時(shí)取極小值，x時(shí)取極大值(1)求函數(shù)yf(x)在x2時(shí)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線方程；(2)求函數(shù)yf(x)在2,1上的最大值與最小值解析：(1)f(x)3x22axb.又x1，x分別對(duì)應(yīng)函數(shù)取得極小值、極大值，所以1，為方程3x22axb0的兩個(gè)根所以a1，(1)×.于是a，b2，則f(x)x3x22x.當(dāng)x2時(shí)，f(2)2，即(2,2)在曲線上又切線斜率為kf(2)8，所求切線方程為y28(x2)，即為8xy140.(2)當(dāng)x變化時(shí)，f(x)及f(x)的變化情況如下表：x2(2，1)1(1，)(，1)1f(x)00f(x)2則f(x)在2,1上的最大值為2，最小值為.20(本小題滿分12分)已知二次函數(shù)f(x)3x23x，直線l1：x2和l2：y3tx(其中t為常數(shù)，且0<t<1)，直線l2與函數(shù)f(x)的圖象以及直線l1、l2與函數(shù)f(x)的圖象所圍成的封閉圖形如圖所示，設(shè)這兩個(gè)陰影區(qū)域的面積之和為S(t)(1)求函數(shù)S(t)的解析式；(2)定義函數(shù)h(x)S(x)，xR.若過點(diǎn)A(1，m)(m4)可作曲線yh(x)(xR)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解析：(1)由得x2(t1)x0，所以x10，x2t1.所以直線l2與f(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0，t1.因?yàn)?<t<1，所以1<t1<2.所以S(t)3tx(3x23x)dx(3x23x)3txdx(t1)36t2.(2)依據(jù)定義，h(x)(x1)36x2，xR，則h(x)3(x1)26.因?yàn)閙4，則點(diǎn)A(1，m)不在曲線yh(x)上過點(diǎn)A作曲線yh(x)的切線，設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則切線方程為：yy03(x01)26(xx0)，所以消去y0，化簡(jiǎn)整理得2x6x0m0，其有三個(gè)不等實(shí)根設(shè)g(x0)2x6x0m，則g(x0)6x6.由g(x0)>0，得x0>1或x0<1；由g(x0)<0，得1<x0<1，所以g(x0)在區(qū)間(，1)，(1，)上單調(diào)遞增，在(1,1)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x01時(shí)，函數(shù)g(x0)取極大值；當(dāng)x01時(shí)，函數(shù)g(x0)取極小值因此，關(guān)于x0的方程2x6x0m0有三個(gè)不等實(shí)根的充要條件是即即4<m<4.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4,4)21(本小題滿分13分)(2014·高考北京卷)已知函數(shù)f(x)xcos xsin x，x0，(1)求證：f(x)0；(2)若a<<b對(duì)x(0，)恒成立，求a的最大值與b的最小值證明：(1)由f(x)xcos xsin x得f(x)cos xxsin xcos xxsin x.因?yàn)樵趨^(qū)間(0，)上f(x)xsin x<0，所以f(x)在區(qū)間0，上單調(diào)遞減從而f(x)f(0)0.(2)當(dāng)x>0時(shí)，“>a”等價(jià)于“sin xax>0”；“<b”等價(jià)于“sin xbx<0”令g(x)sin xcx，則g(x)cos xc.當(dāng)c0時(shí)，g(x)>0對(duì)任意x(0，)恒成立當(dāng)c1時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意x(0，)，g(x)cos xc<0，所以g(x)在區(qū)間0，上單調(diào)遞減從而對(duì)g(x)<g(0)0對(duì)任意x(0，)恒成立當(dāng)0<c<1時(shí)，存在唯一的x0(0，)使得g(x0)cos x0c0.g(x)與g(x)在區(qū)間(0，)上的情況如下：x(0，x0)x0(x0，)g(x)0g(x)因?yàn)間(x)在區(qū)間0，x0上是增函數(shù)，所以g(x0)>g(0)0.進(jìn)一步，“g(x)>0對(duì)任意x(0，)恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)g()1c0，即0<c.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)c時(shí)，g(x)>0對(duì)任意x(0，)恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)c1時(shí)，g(x)<0對(duì)任意x(0，)恒成立所以，若a<<b對(duì)任意x(0，)恒成立，則a的最大值為，b的最小值為1.22(本小題滿分13分)(2014·高考北京卷)已知函數(shù)f(x)2x33x.(1)求f(x)在區(qū)間2,1上的最大值；(2)若過點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線yf(x)相切，求t的取值范圍；(3)問過點(diǎn)A(1,2)，B(2,10)，C(0,2)分別存在幾條直線與曲線yf(x)相切？(只需寫出結(jié)論)解析：(1)由f(x)2x33x得f(x)6x23.令f(x)0，得x或x.因?yàn)閒(2)10，f，f，f(1)1，所以f(x)在區(qū)間2,1上的最大值為f.(2)設(shè)過點(diǎn)P(1，t)的直線與曲線yf(x)相切于點(diǎn)(x0，y0)，則y02x3x0，且切線斜率為k6x3，所以切線方程為yy0(6x3)(xx0)，因此ty0(6x3)(1x0)，整理得4x6xt30.設(shè)g(x)4x36x2t3，則“過點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線yf(x)相切”等價(jià)于“g(x)有3個(gè)不同零點(diǎn)”g(x)12x212x12x(x1)g(x)與g(x)的情況如下：x(，0)0(0,1)1(1，)g(x)00g(x)t3t1所以，g(0)t3是g(x)的極大值，g(1)t1是g(x)的極小值當(dāng)g(0)t30，即t3時(shí)，此時(shí)g(x)在區(qū)間(，1和(1，)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn)當(dāng)g(1)t10，即t1時(shí)，此時(shí)g(x)在區(qū)間(，0)和0，)上分別至多1個(gè)零點(diǎn)，所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn)當(dāng)g(0)>0且g(1)<0，即3<t<1時(shí)，因?yàn)間(1)t7<0，g(2)t11>0，所以g(x)分別在區(qū)間1,0)，0,1)和1,2)上恰有1個(gè)零點(diǎn)由于g(x)在區(qū)間(，0)和(1，)上單調(diào)，所以g(x)分別在區(qū)間(，0)和1，)上恰有1個(gè)零點(diǎn)綜上可知，當(dāng)過點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線yf(x)相切時(shí)，t的取值范圍是(3，1)(3)過點(diǎn)A(1,2)存在3條直線與曲線yf(x)相切；過點(diǎn)B(2,10)存在2條直線與曲線yf(x)相切；過點(diǎn)C(0,2)存在1條直線與曲線yf(x)相切