2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 三角函數(shù)章末復(fù)習(xí)提升學(xué)案 湘教版必修21三角函數(shù)的概念重點(diǎn)掌握以下兩方面內(nèi)容：理解任意角的概念和弧度的意義，能正確迅速進(jìn)行弧度與角度的換算掌握任意的角的正弦、余弦和正切的定義，能正確快速利用三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)解題，能求三角函數(shù)的定義域和一些簡(jiǎn)單三角函數(shù)的值域2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式能用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值和三角恒等式的證明；能逆用公式sin2cos21巧妙解題3誘導(dǎo)公式能用公式一至公式四將任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，利用“奇變偶不變，符號(hào)看象限”牢記所有誘導(dǎo)公式善于將同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式結(jié)合起來使用，通過這些公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值，達(dá)到培養(yǎng)推理運(yùn)算能力和邏輯思維能力提高的目的4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)ysinxycosxytanx圖象定義域RR，(kZ)值域1,11,1(，)最值x2k(kZ)時(shí)，ymax1；x2k(kZ)時(shí)，ymin1x2k(kZ)時(shí)，ymax1；x2k(kZ)時(shí)，ymin1無最大、最小值周期性周期T2k2 (kZ)周期T2k2(kZ)周期Tk(kZ)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在2k，2k(kZ)上都是增函數(shù)；在2k，2k(kZ)上都是減函數(shù)在2k，2k(kZ)上都是增函數(shù)；在2k，2k(kZ)上都是減函數(shù)在每個(gè)區(qū)間(k，k)(kZ)上都是增函數(shù)對(duì)稱性軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸方程是xk，kZ；中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心(k，0)kZ軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸方程是xk，kZ；中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心kZ中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心(kZ)5.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用(1)重點(diǎn)掌握“五點(diǎn)法”，會(huì)進(jìn)行三角函數(shù)圖象的變換，能從圖象中獲取盡可能多的信息，如周期、半個(gè)周期、四分之一個(gè)周期等，如軸對(duì)稱、中心對(duì)稱等，如最高點(diǎn)、最低點(diǎn)與對(duì)稱中心之間位置關(guān)系等能從三角函數(shù)的圖象歸納出函數(shù)的性質(zhì)(2)牢固掌握三角函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性和對(duì)稱性在運(yùn)用三角函數(shù)性質(zhì)解題時(shí)，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想將綜合性較強(qiáng)的試題完整準(zhǔn)確地進(jìn)行解答.題型一任意角的三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)線掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義及三角函數(shù)線，能夠利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值，利用三角函數(shù)線判斷三角函數(shù)的符號(hào)，借助三角函數(shù)線求三角函數(shù)的定義域例1求函數(shù)y的定義域解由題意知即如圖，結(jié)合三角函數(shù)線知：解得2kx2k(kZ)，函數(shù)的定義域?yàn)?跟蹤演練1設(shè)f(x).(1)求f(x)的定義域；(2)求f(x)的值域及取最大值時(shí)x的值解(1)由12sinx0，根據(jù)正弦函數(shù)圖象知：定義域?yàn)閤|2kx2k，kZ(2)1sinx1，112sinx3，12sinx0，012sinx3，f(x)的值域?yàn)?，當(dāng)x2k，kZ時(shí)，f(x)取得最大值題型二同角三角函數(shù)的關(guān)系式及誘導(dǎo)公式(1)牢記兩個(gè)基本關(guān)系式sin2cos21及tan，并能應(yīng)用兩個(gè)關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明在應(yīng)用中，要注意掌握解題的技巧，同時(shí)要體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用(2)誘導(dǎo)公式可概括為k·±(kZ)的各三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)公式記憶規(guī)律是：奇變偶不變，符號(hào)看象限其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍或偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化若是奇數(shù)倍，則函數(shù)名稱變?yōu)橄鄳?yīng)的異名函數(shù)(即正余互變)；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱不變符號(hào)看象限是指把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)作為結(jié)果的符號(hào)例2已知4，求(sin3cos)·(cossin)的值解方法一由已知4，2tan4(1tan)，解得tan2.(sin3cos)(cossin)4sincossin23cos2.方法二由已知4，解得tan2.即2，sin2cos.(sin3cos)(cossin)(2cos3cos)(cos2cos)cos2.跟蹤演練2已知是三角形的內(nèi)角，且sincos.(1)求tan的值；(2)把用tan表示出來，并求其值解(1)方法一聯(lián)立方程由得cossin，將其代入，整理得25sin25sin120.是三角形內(nèi)角，sin0，tan.方法二sincos，(sincos)22，即12sincos，2sincos，(sincos)212sincos1.sincos0且0，sin0，cos0，sincos0，sincos，由得tan.(2)，tan，.題型三三角函數(shù)的圖象及變換三角函數(shù)的圖象是研究三角函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，又是三角函數(shù)性質(zhì)的具體體現(xiàn)在平時(shí)的考查中，主要體現(xiàn)在三角函數(shù)圖象的變換和解析式的確定，以及通過對(duì)圖象的描繪、觀察來討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)具體要求：(1)用“五點(diǎn)法”作yAsin (x)的圖象時(shí)，確定五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的方法是分別令x0，2.(2)對(duì)于yAsin (x)b的圖象變換，應(yīng)注意先“平移”后“伸縮”與先“伸縮”后“平移”的區(qū)別(3)由已知函數(shù)圖象求函數(shù)yAsin (x)(A>0，>0)的解析式時(shí)，常用的解題方法是待定系數(shù)法，由圖中的最大值或最小值確定A，由周期確定，由適合解析式的點(diǎn)的坐標(biāo)來確定，但由圖象求得的yAsin (x)(A>0，>0)的解析式一般不是唯一的，只有限定的取值范圍，才能得出唯一的解，否則的值不確定，解析式也就不唯一例3函數(shù)f(x)Asin1(A>0，>0)的最大值為3，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)設(shè)，f2，求的值解(1)函數(shù)f(x)的最大值為3，A13，即A2，函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，最小正周期T，2，故函數(shù)f(x)的解析式為y2sin1.(2)f2sin12，即sin，0<<，<<，故.跟蹤演練3已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能為()Af(x)2sinBf(x)cosCf(x)2cosDf(x)2sin答案C解析由圖象知周期T4，則，排除B、D；由f(0)1，可排除A.題型四三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)應(yīng)掌握ysinx，ycosx，ytanx的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等有關(guān)性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上掌握函數(shù)yAsin(x)，yAcos(x)及yAtan(x)的相關(guān)性質(zhì)在研究其相關(guān)性質(zhì)時(shí)，將x看成一個(gè)整體，利用整體代換思想解題是常見的技巧例4f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿足f(x2)f(x)，且f(x)在3，2上單調(diào)遞減，而，是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，求證：f(sin)>f(cos)證明f(x2)f(x)，yf(x)的周期為2.f(x)在1,0與3，2上的單調(diào)性相同f(x)在1,0上單調(diào)遞減f(x)是偶函數(shù)，f(x)在0,1上的單調(diào)性與1,0上的單調(diào)性相反f(x)在0,1上單調(diào)遞增，是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，>，>，且，.又ysinx在上單調(diào)遞增，sin>sincos，即sin>cos.由，得f(sin)>f(cos)跟蹤演練4已知a0，函數(shù)f(x)2asin2ab，當(dāng)x時(shí)，5f(x)1.(1)求常數(shù)a，b的值；(2)設(shè)g(x)f且lgg(x)0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間解(1)x，2x.sin，2asin2a，af(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得a2，b5，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lgg(x)0得g(x)1，4sin11，sin，2k2x2k，kZ，其中當(dāng)2k2x2k，kZ時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，即kxk，kZ，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ.又當(dāng)2k2x2k，kZ時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，即kxk，kZ.g(x)的單調(diào)減區(qū)間為，kZ.三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)，要充分利用數(shù)形結(jié)合思想把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來，即利用圖象的直觀性得到函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓中三角函數(shù)線表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)也能利用函數(shù)的性質(zhì)來描述函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法