2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修4-51.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理2.了解數(shù)學(xué)歸納法的使用范圍3.會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題1數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟：(1)證明當(dāng)nn0時命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN且kn0)時命題成立，證明當(dāng)nk1時命題也成立在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法2數(shù)學(xué)歸納法的步驟(1)(歸納奠基)驗證當(dāng)nn0(n0為命題成立的起始自然數(shù))時命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)nk(kN，且kn0)時命題成立，推導(dǎo)nk1時命題也成立(3)結(jié)論：由(1)(2)可知，命題對一切nn0的自然數(shù)都成立1判斷(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)歸納法的特點是由一般到特殊()(2)在運用數(shù)學(xué)歸納法時，要注意起點n一定取1.()(3)數(shù)學(xué)歸納法得出的結(jié)論都是正確的()(4)數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟，第一步是歸納基礎(chǔ)，第二步是歸納遞推，兩者缺一不可()(5)數(shù)學(xué)歸納法第二步不需要假設(shè)也可以得出結(jié)論()答案：(1)×(2)×(3)(4)(5)×2在用數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理時，第一步應(yīng)驗證()An1成立Bn2成立Cn3成立 Dn4成立答案：C3用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(n3)，當(dāng)n1時，左邊應(yīng)為_解析：因為當(dāng)n1時，n34.所以左邊應(yīng)為1234.答案：1234用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式學(xué)生用書P54用數(shù)學(xué)歸納法證明1(n1，nN)【證明】(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時等式成立，即1.當(dāng)nk1時，左邊1，即當(dāng)nk1時等式也成立由(1)和(2)知，等式對一切n1，nN均成立利用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的注意點利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時要注意兩點：一是要準確表達nn0時命題的形式，二是要準確把握由nk到nk1時，命題結(jié)構(gòu)的變化特點，并且一定要記?。涸谧C明nk1成立時，必須使用歸納假設(shè) 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：nN時，.證明：當(dāng)n1時，左邊，右邊，左邊右邊，所以等式成立假設(shè)nk(k1，kN)時，等式成立，即有，則當(dāng)nk1時，.所以nk1時，等式也成立由可知，對一切nN等式都成立2已知數(shù)列an滿足a11，an3n1an1(n2，nN)(1)求a2，a3；(2)求證：an.解：(1)由a11，得a2314，a332413.(2)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時，a11，所以等式成立假設(shè)nk(kN，k1)時等式成立，即ak，那么當(dāng)nk1時，ak1ak3k3k.即nk1時，等式也成立由知等式對nN都成立用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題學(xué)生用書P55用數(shù)學(xué)歸納法證明(x1)n1(x2)2n1(nN)能被x23x3整除【證明】當(dāng)n1時，(x1)11(x2)2×11x23x3能被x23x3整除，命題成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時，(x1)k1(x2)2k1能被x23x3整除，那么(x1)(k1)1(x2)2(k1)1(x1)(x1)k1(x2)2·(x2)2k1(x1)(x1)k1(x1)(x2)2k1(x1)·(x2)2k1(x2)2(x2)2k1(x1)(x1)k1(x2)2k1(x23x3)·(x2)2k1.因為(x1)k1(x2)2k1和x23x3都能被x23x3整除，所以上面的式子也能被x23x3整除這就是說，當(dāng)nk1時，(x1)(k1)1(x2)2(k1)1也能被x23x3整除根據(jù)可知，命題對任何nN都成立用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵點(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵是利用增項、減項、拆項、并項、因式分解等恒等變形的方法去湊假設(shè)、湊結(jié)論，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證(2)與n有關(guān)的整除問題一般都用數(shù)學(xué)歸納法證明，其中關(guān)鍵問題是從nk1時的表達式中分解出nk時的表達式與一個含除式的因式或幾個含除式的因式 用數(shù)學(xué)歸納法證明對于整數(shù)n0，An11n2122n1能被133整除證明：(1)當(dāng)n0時，A011212133能被133整除當(dāng)n1時，A1113123133×23，能被133整除(2)假設(shè)nk(k1，kN)時，Ak11k2122k1能被133整除當(dāng)nk1時，Ak111k3122k311·11k2122·122k111·11k211·122k1(12211)·122k111·(11k2122k1)133·122k1.所以nk1時，命題也成立根據(jù)(1)(2)，對于任意整數(shù)n0，命題都成立用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題學(xué)生用書P55平面上有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成了f(n)n2n2部分【證明】當(dāng)n1時，一個圓把平面分成兩部分，且f(1)1122，因此，n1時命題成立假設(shè)nk(k1，kN)時，命題成立，即k個圓把平面分成f(k)k2k2部分如果增加一個滿足條件的任一個圓，則這個圓必與前k個圓交于2k個點這2k個點把這個圓分成2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成為兩部分因此，這時平面被分割的總數(shù)在原來的基礎(chǔ)上又增加了2k部分，即有f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，即當(dāng)nk1時，f(n)n2n2也成立根據(jù)可知n個圓把平面分成了f(n)n2n2部分利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的技巧(1)幾何問題常常是先探索出滿足條件的公式，然后加以證明，探索的方法是由特殊n1，2，3，猜出一般結(jié)論(2)數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵在于分析清楚nk與nk1時二者的差異，這時常常借助于圖形的直觀性，然后用數(shù)學(xué)式子予以描述，建立起f(k)與f(k1)之間的遞推關(guān)系，實在分析不出的情況下，將nk1和nk分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可(3)利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題要注意利用數(shù)形結(jié)合尋找公式，還要注意結(jié)論要有必要的文字說明平面上有n(n2，且nN)條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條不過同一點求證：這n條直線共有f(n)個交點證明：當(dāng)n2時，兩直線只有1個交點，又f(2)×2×(21)1.所以當(dāng)n2時，命題成立假設(shè)當(dāng)nk(k2且kN)時命題成立，就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點個數(shù)為f(k)k(k1)，則當(dāng)nk1時，任取其中一條直線記為l，由歸納假設(shè)知，剩下的k條直線l1，l2，lk的交點個數(shù)為f(k).由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點，所以直線l與l1，l2，l3，lk的交點共有k個所以f(k1)f(k)kk.所以當(dāng)nk1時，命題成立由可知，命題對一切nN且n2均成立1數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù)有關(guān)的命題，但是，并不能簡單地說所有涉及正整數(shù)n的命題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明2數(shù)學(xué)歸納法中兩步的作用在數(shù)學(xué)歸納法中第一步“驗證nn0時命題成立”是奠基，是推理證明的基礎(chǔ)，第二步是假設(shè)與遞推，保證了推理的延續(xù)性3運用數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵運用歸納假設(shè)是關(guān)鍵，在使用歸納假設(shè)時，應(yīng)分析p(k)與p(k1)的差異與聯(lián)系，利用拆、添、并、放、縮等手段，或從歸納假設(shè)出發(fā)，從p(k1)中分離出p(k)再進行局部調(diào)整1求證：1(nN)證明：(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊1，所以左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時等式成立，即1.當(dāng)nk1時，1.這就是說，當(dāng)nk1時，等式也成立由(1)(2)可知，對任何nN，等式都成立2求證：Snn3(n1)3(n2)3(nN)能被9整除證明：(1)當(dāng)n1時，S118274×9，能被9整除(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，nN)時，Sn能被9整除，即Skk3(k1)3(k2)3能被9整除當(dāng)nk1時，Sk1(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)39k227k27Sk9(k23k3)因為Sk能被9整除，9(k23k3)能被9整除，所以Sk1能被9整除即當(dāng)nk1時，Sn能被9整除由(1)(2)知，對nN，Sn能被9整除 故由(1)和(2)得，對n2，nN，等式恒成立