2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 2-4-1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 教案（一）教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能：(1) 理解拋物線的定義明確焦點、焦距的概念。(2) 熟練掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會根據(jù)所給的條件畫出拋物線的草圖并確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。2.過程與方法：事例引入，動手操作理解拋物線的定義明確焦點、焦距的概念。通過學(xué)生動手推導(dǎo)、例題教學(xué)讓學(xué)生熟練掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會根據(jù)所給的條件畫出拋物線的草圖并確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。3.情感、態(tài)度與價值觀：(1) 學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨立思考，學(xué)會分析問題和創(chuàng)造地解決問題； (2) 培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力。 （二）教學(xué)重點與難點重點：拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程難點：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)（三）教學(xué)過程活動一：創(chuàng)設(shè)情景、引入課題 （5分鐘）回憶前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容，說一說橢圓與雙曲線的相關(guān)知識？問題1：橢圓的定義是什么？雙曲線的定義是什么？問題2：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？問題3：同學(xué)們對拋物線已有了哪些認(rèn)識？在物理中，拋物線被認(rèn)為是拋射物體的運行軌道；在數(shù)學(xué)中，拋物線是二次函數(shù)的圖象。問題4：在二次函數(shù)中研究的拋物線有什么特征？在二次函數(shù)中研究的拋物線，它的對稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩種情形引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：如果拋物線的對稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函數(shù)的圖象來研究了今天，我們突破函數(shù)研究中這個限制，從更一般意義上來研究拋物線.問題5：把一根直尺固定在圖板上直線L位置，把一塊三角板的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣,再把一條細(xì)繩的一端固定在三角板的另一條直角邊的一點A，取繩長等于點A到直角標(biāo)頂點C的長（即點A到直線L的距離），并且把繩子的另一端固定在圖板上的一點F 用鉛筆尖扣著繩子，使點A到筆尖的一段繩子緊靠著三角板，然后將三角板沿著直尺上下滑動，筆尖就在圖板上描出了一條曲線 點題：今天我們學(xué)習(xí)“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”活動二：師生交流、進(jìn)入新知，（20分鐘）問題6：實驗操作書本P64頁，幾何畫板上的畫圖，從實驗中，點M隨著H運動的過程中，與有什么關(guān)系？1、拋物線定義：把平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（不經(jīng)過點）距離相等的點的軌跡叫作拋物線，這個定點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。 即=；焦點：；準(zhǔn)線：直線 問題7：類似求橢圓或雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法來求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，你能利用上一節(jié)學(xué)過的坐標(biāo)法求出拋物線的方程嗎？如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)（）,那么焦點的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，設(shè)拋物線上的點，則有化簡方程得 方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程它表示的拋物線的焦點在軸的正半軸上，焦點坐標(biāo)是，它的準(zhǔn)線方程是 問題8：探究: 若拋物線的焦點分別為、，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么?2：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1), 焦點:，準(zhǔn)線：(2), 焦點:，準(zhǔn)線：(3), 焦點:，準(zhǔn)線：(4) , 焦點:，準(zhǔn)線：活動三：合作學(xué)習(xí)、探究新知（18分鐘）例 1:（1）已知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是，求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程 （2）已知拋物線的焦點坐標(biāo)是（0，2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程 分析：（1）在標(biāo)準(zhǔn)方程下焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程都是用的代數(shù)式表示的，所以只要求出即可；（2）求的是標(biāo)準(zhǔn)方程，因此所指拋物線應(yīng)過原點，結(jié)合焦點坐標(biāo)求出，問題易解。解析：（1），焦點坐標(biāo)是（，0）準(zhǔn)線方程是（2）焦點在軸負(fù)半軸上，2，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)議程是練習(xí)：書本P67：1例2 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（1），（2），求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程分析：這是關(guān)于拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本例題，關(guān)鍵是（1）根據(jù)示意圖確定屬于哪類標(biāo)準(zhǔn)形式，（2）求出參數(shù)的值解：（1），焦點坐標(biāo)是（3，0）準(zhǔn)線方程（2）先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點坐標(biāo)是（0，），準(zhǔn)線方程是.練習(xí)：書本P67頁練習(xí)2問題8：思考:你能說明二次函數(shù)的圖象為什么是拋物線嗎？指出它的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程。例3：點與點的距離比它到直線：的距離小1，求點的軌跡方程 解析：可知原條件點到和到距離相等，由拋物線的定義，點的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線 ，所求方程是。對定義的一種等價變形，看到定點和定直線就要想到拋物線的定義練習(xí)：已知拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸是軸，焦點為，（1）拋物線上的點到焦點的距離等于，求此拋物線的方程與的值；（2）拋物線上的一點的橫坐標(biāo)為，且，求此拋物線的方程。解析:（1）設(shè)拋物線的方程為，則 ， 所以拋物線的方程為 ，；（2）由已知條件知拋物線為，所以，不妨設(shè)，則，且 ，又，解之有拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。例4: (書本例2)一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示。衛(wèi)星撥束近似平行狀態(tài)社如軸截面為拋物線的接受天線，經(jīng)反射聚焦到焦點處。已知接收天線的口徑為4.8m深度為0.5m，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點坐標(biāo)。解；設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=2px (p>0)。有已知條件可得，點A的坐標(biāo)是（0.5，2.4）代入方程，得2.4=2p*0.5即=5.76所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=11.52x，焦點坐標(biāo)是（2.88，0）練習(xí)：書本P67頁練習(xí)3例 5：求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點坐標(biāo)是F（5，0）（2）經(jīng)過點A（2，3）分析：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中只有一個參數(shù)p，因此，只要確定了拋物線屬于哪類標(biāo)準(zhǔn)形式，再求出p值就可以寫出其方程，但要注意兩解的情況解：（1）焦點在x軸負(fù)半軸上，5，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)議程是（2）經(jīng)過點A（2，3）的拋物線可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：y22px或x22py點A（2，3）坐標(biāo)代入，即94p，得2p點A（2，3）坐標(biāo)代入x22py，即46p，得2p所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是或x2y例6：已知拋物線，是拋物線上一點。（1）設(shè)是焦點，一個定點為，求的最小值，并指出此時點的坐標(biāo)；（2）設(shè)點（），求|的最小值，并指出此時點的坐標(biāo)；分析：（1）一般我們用原理：三角形兩邊之和不小于第三邊，即，當(dāng)且僅當(dāng)點在線段上時求的最小值；但定點在拋物線含焦點部分，點在拋物線上，所以點不會再在線段上，所以需要利用拋物線的定義：拋物線上的點到焦點和到準(zhǔn)線的距離相等作一個轉(zhuǎn)化，從而實現(xiàn)上面的想法。（2）已知拋物線，是拋物線上一點，所以其坐標(biāo)滿足拋物線的方程：，而（），求|的最小值不妨直接用兩點間距離直接表示|，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。解析：（1）做垂直于準(zhǔn)線，其中為垂足，則| |=| |， 所以|+|=|+|，可知，當(dāng)垂直準(zhǔn)線時三點，共線，|+|=|+|取小值為，此時（2）設(shè)，因為（）， 所以，又，所以 當(dāng)時，在上是增函數(shù)， 所以當(dāng)時最小值為，此時；時，在上是減函數(shù)， 在上是增函數(shù)， 所以當(dāng)時最小值為，此時。小結(jié)：點在拋物線上首先點滿足拋物線的定義（到焦點和到準(zhǔn)線的距離相等）；其次是點的坐標(biāo)滿足拋物線的方程?；顒铀模簹w納整理、提高認(rèn)識（2分鐘）1 說說拋物線的定義？ 2 說說拋物線的各種形式？活動五：作業(yè)布置、提高鞏固1書面作業(yè)：書本P73 A組1、2