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1、2022年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類(lèi)自測(cè) 雙曲線(xiàn) 理 一、選擇題 1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示雙曲線(xiàn)”的 (　　) A．必要但不充分條件　　　　 B．充分但不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 2．已知雙曲線(xiàn)－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線(xiàn)方程為y＝±x，若頂點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為1，則雙曲線(xiàn)的方程為 (　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 3．設(shè)直線(xiàn)l過(guò)雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)

2、，且與C的一條對(duì)稱(chēng)軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為 (　　) A. B. C． 2 D．3 4．已知雙曲線(xiàn)x2－＝1的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，P為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，則 · 的最小值為 (　　) A．－2 B．－C．1 D．0 5．設(shè)橢圓＋＝1和雙曲線(xiàn)－x2＝1的公共焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為這兩條曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，則cos∠F1PF2的值為

3、 (　　) A. B. C. D．－ 6．已知雙曲線(xiàn)mx2－y2＝1(m>0)的右頂點(diǎn)為A，若該雙曲線(xiàn)右支上存在兩點(diǎn)B、C使得△ABC為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)m的值可能為 (　　) A. B．1 C．2 D． 3 二、填空題 7．已知點(diǎn)(2,3)在雙曲線(xiàn)C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距為4，則它的離心率為_(kāi)_______． 8．已知雙曲線(xiàn)kx2－y2＝1(k>0)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)2x＋y＋1＝0垂直，那么雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______；漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_______

4、____． 9．P為雙曲線(xiàn)x2－＝1右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|－|PN|的最大值為_(kāi)_______． 三、解答題 10．已知雙曲線(xiàn)關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)，且與圓x2＋y2＝10相交于點(diǎn)P(3，－1)，若此圓過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行，求此雙曲線(xiàn)的方程． 11．雙曲線(xiàn)－＝1(a＞1，b＞0)的焦距為2c，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(a,0)和(0，b)，且點(diǎn)(1,0)到直線(xiàn)l的距離與點(diǎn)(－1,0)到直線(xiàn)l的距離之和s≥c，求雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍． 12．P(x0，y0)(x0≠±a

5、)是雙曲線(xiàn)E：－＝1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，M、N分別是雙曲線(xiàn)E的左、右頂點(diǎn)，直線(xiàn)PM，PN的斜率之積為. (1)求雙曲線(xiàn)的離心率； (2)過(guò)雙曲線(xiàn)E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，滿(mǎn)足 ＝λ ＋ ，求λ的值． 一、選擇題1．解析：若ax2＋by2＝c表示雙曲線(xiàn)，即＋＝1表示雙曲線(xiàn)，則<0，這就是說(shuō)“ab<0”是必要條件，然而若ab<0，c可以等于0，即“ab<0”不是充分條件． 答案：A 2．解析：不妨設(shè)頂點(diǎn)(a,0)到直線(xiàn)x－3y＝0的距離為1，即＝1，解得a＝2.又＝，所以b＝，所以雙曲線(xiàn)的方程為－

6、＝1. 答案：A 3．解析：設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為－＝1，焦點(diǎn)F(－c,0)，將x＝－c代入－＝1可得y2＝，所以|AB|＝2×＝2×2a.∴b2＝2a2.c2＝a2＋b2＝3a2.∴e＝＝. 答案：B 4．解析：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，其中x≥1.依題意得A1(－1,0)、F2(2,0)，則有＝x2－1，y2＝3(x2－1)， · ＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4(x－)2－，其中x≥1.因此，當(dāng)x＝1時(shí)， · 取得最小值－2. 答案：A 5．解析：由題意可知m－2＝3＋1，解得m＝6. 法一：由橢圓與雙

7、曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)P為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，F(xiàn)1(0，－2)，F(xiàn)2(0,2)，聯(lián)立＋＝1與－x2＝1組成方程組，解得P(，)．所以由兩點(diǎn)距離公式計(jì)算得|PF1|＝＋，|PF2|＝－. 又|F1F2|＝4，所以由余弦定理得 cos∠F1PF2＝＝. 法二：由橢圓與雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)P為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，F(xiàn)1(0，－2)．F2(0,2)，由題意得|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2，|F1F2|＝4，解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，同上由余弦定理可得cos∠F1PF2＝. 答案：B 6．解析：由題意可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，0)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝tan 45°(

8、x－)，即x＝y(tǒng)＋，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立可得，，則(m－1)y2＋2y＝0，解得y＝0或y＝.由題意知y＝為B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，且滿(mǎn)足>0，即0

9、 e＝＝，漸近線(xiàn)方程為x±y＝0. 答案：　x±y＝0 9．解析：雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－4,0)、F2(4,0)，為兩個(gè)圓的圓心，半徑分別為r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2， |PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值為(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5. 答案：5 三、解答題 10．解：切點(diǎn)為P(3，－1)的圓x2＋y2＝10的切線(xiàn)方程是3x－y＝10. ∵雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與此切線(xiàn)平行，且雙曲線(xiàn)關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)，∴兩漸近線(xiàn)方程為3x±y＝0. 設(shè)所求雙曲線(xiàn)方程為9x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵點(diǎn)P(

10、3，－1)在雙曲線(xiàn)上，代入上式可得λ＝80， ∴所求的雙曲線(xiàn)方程為－＝1. 11．解：直線(xiàn)l的方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0. 由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，且a＞1，得到點(diǎn)(1,0)到直線(xiàn)l的距離d1＝， 同理得到點(diǎn)(－1,0)到直線(xiàn)l的距離d2＝. ∴s＝d1＋d2＝＝. 由s≥c，得≥c，即5a≥2c2. 于是得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0. 解不等式，得≤e2≤5. 由于e＞1，∴e的取值范圍是[，]． 12．解：(1)點(diǎn)P(x0，y0)(x≠±a)在雙曲線(xiàn)－＝1上， 有－＝1. 由題意又有·＝， 可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2， 則e

11、＝＝. (2)聯(lián)立，得4x2－10cx＋35b2＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則① 設(shè) ＝(x3，y3)， ＝λ＋ ，即 又C為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，即x－5y＝5b2， 有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2. 化簡(jiǎn)得：λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2， 又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線(xiàn)上，所以x－5y＝5b2， x－5y＝5b2. 由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝ －4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2， 得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.