第1課時幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)定義求函數(shù)yc，yx，yx2，y，y的導(dǎo)數(shù).2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識點一幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)cf(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)f(x)f(x)f(x)知識點二基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)axf(x)axln a(a>0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a>0且a1)f(x)ln xf(x)1若y，則y×21.(×)2若f(x)sin x，則f(x)cos x(×)3f(x)，則f(x).()類型一利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)ysin ；(2)yx；(3)ylg x；(4)y；(5)y2cos21.考點常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解(1)y0.(2)yxlnxln 2.(3)y.(4)y，y().(5)y2cos21cos x，y(cos x)sin x.反思與感悟(1)若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求解(2)若給出的函數(shù)解析式不符合基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，則通過恒等變換對解析式進(jìn)行化簡或變形后求導(dǎo)，如根式要化成指數(shù)冪的形式求導(dǎo)如y可以寫成yx4，y可以寫成y等，這樣就可以直接使用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)，以免在求導(dǎo)過程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的運算失誤跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)，則f(3)等于()A81 B243C243 D(2)已知f(x)ln x且f(x0)，則x0 .考點常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案(1)D(2)1解析(1)因為f(x)x3，所以f(x)3x4，所以f(3).(2)因為f(x)ln x(x>0)，所以f(x)，所以f(x0)，所以x01.類型二利用導(dǎo)數(shù)公式研究切線問題例2已知曲線yf(x)，yg(x)，過兩條曲線交點作兩條曲線的切線，求兩切線與x軸所圍成的三角形面積考點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用解由得得兩曲線的交點坐標(biāo)為(1,1)兩條曲線切線的斜率分別為f(1)，g(1)1.易得兩切線方程分別為y1(x1)，y1(x1)，即yx與yx2.其與x軸的交點坐標(biāo)分別為(1,0)，(2,0)，所以兩切線與x軸所圍成的三角形面積為×1×|2(1)|.反思與感悟解決切線問題，關(guān)鍵是確定切點，要充分利用切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率、切點在切線上及切點在曲線上這三個條件聯(lián)立方程解決跟蹤訓(xùn)練2已知ykx是曲線yln x的一條切線，則k .考點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用答案解析設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，由題意得k，又y0kx0，而且y0ln x0，由可得x0e，y01，則k.例3求拋物線yx2上的點到直線xy20的最短距離考點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用解設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，x)，依題意知與直線xy20平行的拋物線yx2的切線的切點到直線xy20的距離最短y(x2)2x，2x01，x0，切點坐標(biāo)為，所求的最短距離d.反思與感悟利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，可求其圖象在某一點P(x0，y0)處的切線方程，可以解決一些與距離、面積相關(guān)的幾何的最值問題，一般都與函數(shù)圖象的切線有關(guān)解題時可先利用圖象分析取最值時的位置情況，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義準(zhǔn)確計算跟蹤訓(xùn)練3已知直線l: 2xy40與拋物線yx2相交于A，B兩點，O是坐標(biāo)原點，試求與直線l平行的拋物線的切線方程，并在弧上求一點P，使ABP的面積最大考點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用解由于直線l: 2xy40與拋物線yx2相交于A，B兩點，|AB|為定值，要使ABP的面積最大，只要點P到AB的距離最大，設(shè)P(x0，y0)為切點，過點P與AB平行的直線斜率ky2x0，k2x02，x01，y0 1.故可得P(1,1)，切線方程為2xy10.故P(1,1)點即為所求弧上的點，使ABP的面積最大.1下列函數(shù)求導(dǎo)運算正確的個數(shù)為()(3x)3xlog3e；(log2x)；x；若y，則.A1 B2 C3 D4考點常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案C解析中(3x)3xln 3，均正確2函數(shù)f(x)x3的斜率等于1的切線有()A1條 B2條C3條 D不確定考點常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點常數(shù)、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案B解析設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，f(x0)3x1，x0±.故斜率等于1的切線有2條3已知f(x)x2，g(x)ln x，若f(x)g(x)1，則x .考點常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案1解析f(x)2x，g(x)，f(x)g(x)1，即2x1，解得x1或.因為x>0，所以x1.4過原點作曲線yex的切線，則切點的坐標(biāo)為 ，切線的斜率為 考點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用答案(1，e)e解析設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，切線的斜率為，則，又y0，由可得x01，切點坐標(biāo)為(1，e)，切線的斜率為e.5求過曲線ysin x上一點P且與在該點處的切線垂直的直線方程考點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用解曲線ysin x在點P處切線的斜率kcos ，則與切線垂直的直線的斜率為，所求直線方程為y，即12x18y290.1利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡捷地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運用好導(dǎo)數(shù)公式解題時，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸2有些函數(shù)可先化簡再應(yīng)用公式求導(dǎo)如求y12sin2的導(dǎo)數(shù)因為y12sin2cos x，所以y(cos x)sin x.3對于正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)名稱的變化，二是注意函數(shù)符號的變化.一、選擇題1下列各式中正確的個數(shù)是()(x7)7x6；(x1)x2；x；()x；(cos x)sin x；(cos 2)sin 2.A3 B4 C5 D6考點常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案B解析(x1)x2；(cos 2)0.不正確，故選B.2已知函數(shù)f(x)xa，若f(1)4，則a的值等于()A4 B4C5 D5考點常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點常數(shù)、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案A解析f(x)axa1，f(1)a(1)a14，a4.3質(zhì)點沿直線運動的路程s與時間t的關(guān)系是s，則質(zhì)點在t4時的速度為()A. B.C. D.考點常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點常數(shù)、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案B解析st.當(dāng)t4時，s· .4正弦曲線ysin x上切線的斜率等于的點為()A.B.或C.(kZ)D.或(kZ)考點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用答案D解析設(shè)斜率等于的切線與曲線的切點為P(x0，y0)，cos x0，x02k或2k，y0或.5直線yxb是曲線yln x(x>0)的一條切線，則實數(shù)b的值為()A2 Bln 21Cln 21 Dln 2考點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用答案C解析yln x的導(dǎo)數(shù)y，令，得x2，切點坐標(biāo)為(2，ln 2)代入直線yxb，得bln 21.6下列曲線的所有切線中，存在無數(shù)對互相垂直的切線的曲線是()Af(x)ex Bf(x)x3Cf(x)ln x Df(x)sin x考點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用答案D解析若直線垂直且斜率存在，則其斜率之積為1.因為A項中，(ex)ex>0，B項中，(x3)3x20，C項中，x>0，即(ln x)>0，所以不會使切線斜率之積為1，故選D.7設(shè)曲線yxn1(nN*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為xn，則x1·x2··xn的值為()A. B.C. D1考點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用答案B解析對yxn1(nN*)求導(dǎo)得y(n1)·xn.令x1，得在點(1,1)處的切線的斜率kn1，在點(1,1)處的切線方程為y1(n1)(xn1)令y0，得xn，x1·x2··xn×××××，故選B.二、填空題8若曲線y在點(a，)處的切線與兩個坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a .考點幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點幾個常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案64解析y，y，曲線在點(a，)處的切線斜率k，切線方程為y(xa)令x0，得y；令y0，得x3a，該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S·3a·18，a64.9設(shè)曲線yex在點(0,1)處的切線與曲線y(x>0)在點P處的切線垂直，則點P的坐標(biāo)為 考點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用答案(1,1)解析yex的導(dǎo)數(shù)為yex，曲線yex在點(0,1)處的切線的斜率為k1e01.設(shè)P(m，n)，y(x>0)的導(dǎo)數(shù)為y (x>0)，曲線y (x>0)在點P處的切線的斜率為k2 (m>0)因為兩切線垂直，所以k1k21，所以m1，n1，則點P的坐標(biāo)為(1,1)10若曲線y在點P(a，)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則實數(shù)a的值是 考點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用答案4解析y，切線方程為y(xa)，令x0，得y，令y0，得xa，由題意知··a2，a4.11設(shè)f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，則f2 017(x) .考點正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點正弦、余弦函數(shù)的運算法則答案cos x解析由已知f1(x)cos x，f2(x)sin x，f3(x)cos x，f4(x)sin x，f5(x)cos x，依次類推可得，f2 017(x)f1(x)cos x.12設(shè)正弦曲線ysin x上一點P，以點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的取值范圍是 考點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用答案解析(sin x)cos x，klcos x，1kl1，.三、解答題13點P是曲線yex上任意一點，求點P到直線yx的最小距離考點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用解如圖，當(dāng)曲線yex在點P(x0，y0)處的切線與直線yx平行時，點P到直線yx的距離最近則曲線yex在點P(x0，y0)處的切線斜率為1，又y(ex)ex，所以1，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)利用點到直線的距離公式得最小距離為.四、探究與拓展14函數(shù)yx2(x>0)的圖象在點(ak，a)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為ak1，其中kN*，若a116，則a1a3a5的值是 考點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用答案21解析y2x，yx2(x>0)的圖象在點(ak，a)處的切線方程為ya2ak(xak)又該切線與x軸的交點坐標(biāo)為(ak1,0)，ak1ak，即數(shù)列ak是首項為a116，公比為q的等比數(shù)列，a34，a51，a1a3a521.15求證：雙曲線xya2(a0)上任意一點處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于常數(shù)考點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用證明設(shè)P(x0，y0)為雙曲線xya2上任一點y.過點P的切線方程為yy0(xx0)令x0，得y；令y0，得x2x0.則切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S··|2x0|2a2.即雙曲線xya2上任意一點處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為常數(shù)2a2.13