21.1合情推理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.2.了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用知識(shí)點(diǎn)一歸納推理思考(1)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜想：一切金屬都能導(dǎo)電(2)統(tǒng)計(jì)學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計(jì)總體以上屬于什么推理？答案屬于歸納推理梳理(1)定義：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納)(2)特征：由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理知識(shí)點(diǎn)二類比推理思考科學(xué)家對(duì)火星進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征：(1)火星也是繞太陽公轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)的行星；(2)有大氣層，在一年中也有季節(jié)更替；(3)火星上大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存，等等由此，科學(xué)家猜想：火星上也可能有生命存在他們使用了什么樣的推理？答案類比推理梳理(1)定義：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理(2)特征：由特殊到特殊的推理知識(shí)點(diǎn)三合情推理思考?xì)w納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系？答案區(qū)別：歸納推理是由特殊到一般的推理；而類比推理是由個(gè)別到個(gè)別的推理或是由特殊到特殊的推理聯(lián)系：在前提為真時(shí)，歸納推理與類比推理的結(jié)論都可真可假梳理(1)定義：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理通俗地說，合情推理就是合乎情理的推理(2)推理的過程1類比推理得到的結(jié)論可作為定理應(yīng)用(×)2由個(gè)別到一般的推理為歸納推理()3在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適(×)類型一歸納推理例1(1)觀察下列等式：112×1，(21)(22)22×1×3，(31)(32)(33)23×1×3×5，照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(2)已知f(x)，設(shè)f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n>1，且nN*)，則f3(x)的表達(dá)式為_，猜想fn(x)(nN*)的表達(dá)式為_考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案(1)(n1)(n2)(nn)2n×1×3××(2n1)(2)解析(1)觀察規(guī)律可知，左邊為n項(xiàng)的積，最小項(xiàng)和最大項(xiàng)依次為(n1)，(nn)，右邊為連續(xù)奇數(shù)之積乘以2n，則第n個(gè)等式為(n1)(n2)(nn)2n×1×3××(2n1)(2)f(x)，f1(x).又fn(x)fn1(fn1(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，f4(x)f3(f3(x)，f5(x)f4(f4(x)，根據(jù)前幾項(xiàng)可以猜想fn(x).引申探究在本例(2)中，若把“fn(x)fn1(fn1(x)”改為“fn(x)f(fn1(x)”，其他條件不變，試猜想fn(x) (nN*)的表達(dá)式解f(x)，f1(x).又fn(x)f(fn1(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x).因此，可以猜想fn(x).反思與感悟(1)已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律；要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形成的特征；提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)；運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論(2)數(shù)列中的歸納推理：在數(shù)列問題中，常常用到歸納推理猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和通過已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和；根據(jù)數(shù)列中的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和與對(duì)應(yīng)序號(hào)之間的關(guān)系求解；運(yùn)用歸納推理寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a13，滿足Sn62an1(nN*)(1)求a2，a3，a4的值；(2)猜想an的表達(dá)式考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用解(1)因?yàn)閍13，且Sn62an1(nN*)，所以S162a2a13，解得a2，又S262a3a1a23，解得a3，又S362a4a1a2a33，解得a4.(2)由(1)知a13，a2，a3，a4，猜想an(nN*)例2有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是()A26 B31 C32 D36考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案B解析有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)如下表：圖案123個(gè)數(shù)61116由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是65×(61)31.故選B.反思與感悟歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略跟蹤訓(xùn)練2用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()A6n2 B8n2C6n2 D8n2考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案C解析歸納“金魚”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項(xiàng)為8，公差是6的等差數(shù)列，所以第n個(gè)“金魚”圖需要的火柴棒的根數(shù)為an8(n1)×66n2.類型二類比推理例3設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列，類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，_，_，成等比數(shù)列考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比答案解析由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，因此當(dāng)?shù)炔顢?shù)列依次每4項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列時(shí)，類比等比數(shù)列為依次每4項(xiàng)的積成等比數(shù)列下面證明該結(jié)論的正確性：設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，首項(xiàng)為b1，則T4bq6，T8bq127bq28，T12bq1211bq66，T16bq1215bq120，bq22，bq38，bq54，即2·T4，2·，故T4，成等比數(shù)列反思與感悟已知等差數(shù)列與等比數(shù)列有類似的性質(zhì)，在類比過程中也有一些規(guī)律，如下表所示的部分結(jié)論(其中d，q分別是公差和公比)：等差數(shù)列等比數(shù)列定義anan1d(n2)an÷an1q(n2)通項(xiàng)公式ana1(n1)dana1qn1性質(zhì)若mnpq，則amanapaq若mnpq，則am·anap·aq跟蹤訓(xùn)練3若數(shù)列an(nN*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn(nN*)也是等差數(shù)列；類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列cn是等比數(shù)列，且cn>0，則有數(shù)列dn_(nN*)也是等比數(shù)列考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比答案解析數(shù)列an(nN*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn(nN*)也是等差數(shù)列類比猜想：若數(shù)列cn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)dn時(shí)，數(shù)列dn也是等比數(shù)列例4如圖，在RtABC中，C90°.設(shè)a，b，c分別表示三條邊的長(zhǎng)度，由勾股定理，得c2a2b2.類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比解如題圖，在RtABC中，C90°.設(shè)a，b，c分別表示3條邊的長(zhǎng)度，由勾股定理，得c2a2b2.類似地，如圖所示，在四面體PDEF中，PDFPDEEDF90°.設(shè)S1，S2，S3和S分別表示PDF，PDE，EDF和PEF的面積，相對(duì)于直角三角形的兩條直角邊a，b和1條斜邊c，圖中的四面體有3個(gè)“直角面”S1，S2，S3和1個(gè)“斜面”S.于是類比勾股定理的結(jié)構(gòu)，我們猜想S2SSS成立反思與感悟(1)類比推理的一般步驟(2)中學(xué)階段常見的類比知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列，向量與實(shí)數(shù)，空間與平面，圓與球等等，比如平面幾何的相關(guān)結(jié)論類比到立體幾何的相關(guān)類比點(diǎn)如下平面圖形空間圖形點(diǎn)直線直線平面邊長(zhǎng)面積面積體積三角形四面體線線角面面角跟蹤訓(xùn)練4在長(zhǎng)方形ABCD中，對(duì)角線AC與兩鄰邊所成的角分別為，cos2cos21，則在立體幾何中，給出類比猜想并證明考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比解在長(zhǎng)方形ABCD中，cos2cos2221.于是類比到長(zhǎng)方體中，猜想其體對(duì)角線與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則cos2cos2cos21.證明如下：cos2cos2cos22221.1已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S，可推知扇形面積公式S扇等于()A. B.C. D不可類比考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面曲線的類比答案C解析扇形的弧類比三角形的底邊，扇形的半徑類比三角形的高，則S扇.2如圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子的顏色為()A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案A解析由題圖知，三白二黑周而復(fù)始相繼排列，根據(jù)36÷57余1，可得第36顆應(yīng)與第1顆珠子的顏色相同，即白色3觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于()A28 B76C123 D199考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案C解析利用歸納法：ab1，a2b23，a3b3314，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123，規(guī)律為從第三組開始，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和4在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為12，則它們的面積比為14，類似地，在空間上，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為12，則它們的體積比為_考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案18解析設(shè)兩個(gè)正四面體的體積分別為V1，V2，則V1V2S1h1S2h2S1h1S2h218.5按照?qǐng)D1、圖2、圖3的規(guī)律，第10個(gè)圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案40解析圖1中的點(diǎn)數(shù)為41×4，圖2中的點(diǎn)數(shù)為82×4，圖3中的點(diǎn)數(shù)為123×4，所以圖10中的點(diǎn)數(shù)為10×440.1合情推理主要包括歸納推理和類比推理數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向2合情推理的過程概括為一、選擇題1下面使用類比推理，得出的結(jié)論正確的是()A若“a·3b·3，則ab”類比出“若a·0b·0，則ab”B“若(ab)cacbc”類比出“(a·b)cac·bc”C“若(ab)cacbc”類比出“(c0)”D“(ab)nanbn”類比出“(ab)nanbn”考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)類比推理的方法、形式和結(jié)論答案C解析顯然A，B，D不正確，只有C正確2.觀察圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為()A. BC. D考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案A解析觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每行、每列中，方、圓、三角三種形狀均各出現(xiàn)一次，每行、每列有兩陰影一空白，即得結(jié)果3根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)123 456×97等于()1×921112×93111123×941 1111 234×9511 11112 345×96111 111A1 111 110 B1 111 111C1 111 112 D1 111 113考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案B解析由數(shù)塔猜測(cè)應(yīng)是各位都是1的七位數(shù)，即1 111 111.4類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出下列空間結(jié)論：垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行則其中正確的結(jié)論是()A BC D考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案B解析根據(jù)立體幾何中線面之間的位置關(guān)系及有關(guān)定理知，是正確的結(jié)論5觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(x)等于()Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案D解析由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(x)g(x)6觀察下列式子：1<，1<，1<，根據(jù)以上式子可以猜想：1小于()A. B.C. D.考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案C解析觀察可以發(fā)現(xiàn)，第n(n2)個(gè)不等式左端有n1項(xiàng)，分子為1，分母依次為12,22,32，(n1)2；右端分母為n1，分子成等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2，因此第n個(gè)不等式為1<，所以當(dāng)n2 016時(shí)不等式為1<.7設(shè)ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r，類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體ABCD的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球半徑為R，四面體ABCD的體積為V，則R等于()A. B.C. D.考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案C解析設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個(gè)面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和則四面體的體積為V(S1S2S3S4)R，R.8如圖，第n個(gè)圖形是由正n2邊形“擴(kuò)展”而來(n1,2,3，)，則第n個(gè)圖形中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A(n1)(n2) B(n2)(n3)Cn2 Dn考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案B解析由已知中的圖形我們可以得到：當(dāng)n1時(shí)，頂點(diǎn)共有123×4(個(gè))，當(dāng)n2時(shí)，頂點(diǎn)共有204×5(個(gè))，當(dāng)n3時(shí)，頂點(diǎn)共有305×6(個(gè))，當(dāng)n4時(shí)，頂點(diǎn)共有426×7(個(gè))，則第n個(gè)圖形共有頂點(diǎn)(n2)(n3)個(gè)，故選B.二、填空題9觀察下列等式：121；12223；1222326；1222324210；照此規(guī)律，第n個(gè)等式為_考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案12223242(1)n1n2(1)n1解析121，1222(12)，122232123，12223242(1234)，12223242(1)n1n2(1)n1(123n)(1)n1.10我們知道：周長(zhǎng)一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長(zhǎng)一定的所有矩形與圓中，圓的面積最大，將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是_考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案表面積一定的所有長(zhǎng)方體中，正方體的體積最大；表面積一定的所有長(zhǎng)方體和球中，球的體積最大解析平面圖形與立體圖形的類比：周長(zhǎng)表面積，正方形正方體，面積體積，矩形長(zhǎng)方體，圓球11二維空間中圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l2r，二維測(cè)度(面積)Sr2；三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)S4r2，三維測(cè)度(體積)Vr3；四維空間中“超球”的三維測(cè)度V8r3，則猜想其四維測(cè)度W_.考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案2r4解析二維空間中圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l2r，二維測(cè)度(面積)Sr2，觀察發(fā)現(xiàn)Sl.三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)S4r2，三維測(cè)度(體積)Vr3，觀察發(fā)現(xiàn)VS.四維空間中“超球”的三維測(cè)度V8r3，猜想其四維測(cè)度W，則WV8r3，W2r4.12如圖(甲)是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME7)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖(乙)的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把圖(乙)中的直角三角形依此規(guī)律繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，OAn，的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列an，則此數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an_.考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案解析根據(jù)OA1A1A2A2A3A7A81和圖(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1OA11，a2OA2，a3OA3，故可歸納推測(cè)出an.13圓(xa)2(yb)2r2(r>0)在點(diǎn)P(x0，y0)處切線的方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2，由此類比，橢圓1(a>b>0)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為_考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面曲線之間的類比答案1解析類比過圓上一點(diǎn)的切線方程，可合情推理：橢圓1(a>b>0)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為1.三、探究與拓展14正整數(shù)按下表的規(guī)律排列，則上起第2 017行，左起第2 018列的數(shù)應(yīng)為()A2 016×2 017 B2 017×2 018C2 018×2 019 D2 019×2 020考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)陣(表)中的應(yīng)用答案B解析由給出的排列規(guī)律可知，第一列的每個(gè)數(shù)為所在行數(shù)的平方，而第一行的數(shù)則滿足列數(shù)減1的平方再加1，根據(jù)題意，左起第2 018列的第一個(gè)數(shù)為2 01721，由連線規(guī)律可知，上起第2 017行，左起第2 018列的數(shù)應(yīng)為2 01722 0172 017×2 018.15已知在RtABC中，ABAC，ADBC于D，有成立那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，說明猜想是否正確，并給出理由考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比解類比ABAC，ADBC，可以猜想在四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE平面BCD，則.猜想正確理由如下：如圖所示，連接BE，并延長(zhǎng)交CD于F，連接AF.ABAC，ABAD，ACADA，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.，故猜想正確17