21.2演繹推理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解演繹推理的意義.2.掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系知識點一演繹推理思考分析下面幾個推理，找出它們的共同點(1)所有的金屬都能導(dǎo)電，鈾是金屬，所以鈾能夠?qū)щ姡?2)一切奇數(shù)都不能被2整除，(21001)是奇數(shù)，所以(21001)不能被2整除答案問題中的推理都是從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理叫演繹推理梳理演繹推理的概念定義從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理特點由一般到特殊的推理知識點二三段論思考所有的金屬都能導(dǎo)電，銅是金屬，所以銅能導(dǎo)電，這個推理可以分為幾段？每一段分別是什么？答案分為三段大前提：所有的金屬都能導(dǎo)電小前提：銅是金屬結(jié)論：銅能導(dǎo)電梳理三段論的基本模式一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情況S是M結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷S是P1演繹推理的結(jié)論一定正確(×)2在演繹推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情況，結(jié)論是根據(jù)一般性原理對特殊情況做出的判斷()3大前提和小前提都正確，推理形式也正確，則所得結(jié)論是正確的()類型一演繹推理與三段論例1將下列演繹推理寫成三段論的形式平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分；等腰三角形的兩底角相等，A，B是等腰三角形的兩底角，則AB；通項公式為an2n3的數(shù)列an為等差數(shù)列考點“三段論”及其應(yīng)用題點三段論的應(yīng)用解平行四邊形的對角線互相平分，大前提菱形是平行四邊形，小前提菱形的對角線互相平分結(jié)論等腰三角形的兩底角相等，大前提A，B是等腰三角形的兩底角，小前提AB.結(jié)論在數(shù)列an中，如果當(dāng)n2時，anan1為常數(shù)，則an為等差數(shù)列，大前提當(dāng)通項公式為an2n3時，若n2，則anan12n32(n1)32(常數(shù))，小前提通項公式為an2n3的數(shù)列an為等差數(shù)列結(jié)論反思與感悟用三段論寫推理過程時，關(guān)鍵是明確大、小前提，三段論中的大前提提供了一個一般性的原理，小前提指出了一種特殊情況，兩個命題結(jié)合起來，揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系有時可省略小前提，有時甚至也可把大前提與小前提都省略，在尋找大前提時，可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提跟蹤訓(xùn)練1下面四個推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是()A大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：是無理數(shù)；結(jié)論：是無限不循環(huán)小數(shù)B大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：是無限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：是無理數(shù)C大前提：是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；結(jié)論：是無理數(shù)D大前提：是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：是無理數(shù)；結(jié)論：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)考點“三段論”及其應(yīng)用題點三段論的結(jié)構(gòu)答案B解析對于A，小前提與大前提間邏輯錯誤，不符合演繹推理三段論形式；對于B，符合演繹推理三段論形式且推理正確；對于C，大小前提顛倒，不符合演繹推理三段論形式；對于D，大小前提及結(jié)論顛倒，不符合演繹推理三段論形式類型二演繹推理的應(yīng)用例2如圖，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點，BFDA，DEBA，求證：EDAF，寫出三段論形式的演繹推理考點演繹推理的綜合應(yīng)用題點演繹推理在其他方面的應(yīng)用證明因為同位角相等，兩直線平行，大前提BFD與A是同位角，且BFDA，小前提所以FDAE.結(jié)論因為兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，大前提DEBA，且FDAE，小前提所以四邊形AFDE為平行四邊形結(jié)論因為平行四邊形的對邊相等，大前提ED和AF為平行四邊形AFDE的對邊，小前提所以EDAF.結(jié)論反思與感悟(1)大前提的正確性：幾何證明往往采用演繹推理，它往往不是經(jīng)過一次推理就能完成的，常需要幾次使用演繹推理，每一個推理都暗含著大、小前提，前一個推理的結(jié)論往往是下一個推理的前提，在使用時不僅要推理的形式正確，還要前提正確，才能得到正確的結(jié)論(2)大前提可省略：在幾何證明問題中，每一步都包含著一般原理，都可以分析出大前提和小前提，將一般原理應(yīng)用于特殊情況，就能得出相應(yīng)結(jié)論跟蹤訓(xùn)練2已知：在空間四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，如圖所示，求證：EF平面BCD.考點演繹推理的綜合應(yīng)用題點演繹推理在其他方面的應(yīng)用證明因為三角形的中位線平行于底邊，大前提點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，小前提所以EFBD.結(jié)論若平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線，則直線與此平面平行，大前提EF平面BCD，BD平面BCD，EFBD，小前提所以EF平面BCD.結(jié)論例3設(shè)函數(shù)f(x)，其中a為實數(shù)，若f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍考點演繹推理的綜合應(yīng)用題點演繹推理在函數(shù)中的應(yīng)用解若函數(shù)對任意實數(shù)恒有意義，則函數(shù)定義域為R，大前提因為f(x)的定義域為R，小前提所以x2axa0恒成立結(jié)論所以a24a<0，所以0<a<4.即當(dāng)0<a<4時，f(x)的定義域為R.引申探究若本例的條件不變，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解f(x)，由f(x)0，得x0或x2a.0<a<4，當(dāng)0<a<2時，2a>0.在(，0)和(2a，)上，f(x)>0.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，(2a，)當(dāng)a2時，f(x)0恒成立，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)當(dāng)2<a<4時，2a<0，在(，2a)和(0，)上，f(x)>0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，2a)，(0，)綜上所述，當(dāng)0<a<2時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，(2a，)；當(dāng)a2時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)；當(dāng)2<a<4時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，2a)，(0，)反思與感悟應(yīng)用演繹推理解決的代數(shù)問題(1)函數(shù)類問題：比如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性等(2)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和最值，證明與函數(shù)有關(guān)的不等式等(3)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(4)數(shù)列的通項公式、遞推公式以及求和，數(shù)列的性質(zhì)(5)不等式的證明跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)ax(a>1)，證明：函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)考點演繹推理的綜合應(yīng)用題點演繹推理在函數(shù)中的應(yīng)用證明方法一(定義法)任取x1，x2(1，)，且x1<x2，f(x2)f(x1)-(1)(1).因為x2x1>0，且a>1，所以>1，而1<x1<x2，所以x11>0，x21>0，所以f(x2)f(x1)>0，所以f(x)在(1，)上為增函數(shù)方法二(導(dǎo)數(shù)法)f(x)axax1.所以f(x)axln a.因為x>1，所以(x1)2>0，所以>0.又因為a>1，所以ln a>0，ax>0，所以axln a>0，所以f(x)>0.所以f(x)ax在(1，)上是增函數(shù)1下面幾種推理過程是演繹推理的是()A兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，如果A與B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則AB180°B某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人數(shù)超過50人C由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四邊形的性質(zhì)D在數(shù)列an中，a11，an(n2)，由此歸納出an的通項公式考點演繹推理的含義與方法題點判斷推理是否為演繹推理答案A解析A是演繹推理，B，D是歸納推理，C是類比推理2指數(shù)函數(shù)yax(a>1)是R上的增函數(shù)，y2|x|是指數(shù)函數(shù)，所以y2|x|是R上的增函數(shù)以上推理()A大前提錯誤 B小前提錯誤C推理形式錯誤 D正確考點“三段論”及其應(yīng)用題點小前提或推理形式錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤答案B解析此推理形式正確，但是，函數(shù)y2|x|不是指數(shù)函數(shù)，所以小前提錯誤，故選B.3把“函數(shù)yx2x1的圖象是一條拋物線”恢復(fù)成三段論，則大前提：_；小前提：_；結(jié)論：_.考點“三段論”及其應(yīng)用題點三段論的結(jié)構(gòu)答案二次函數(shù)的圖象是一條拋物線函數(shù)yx2x1是二次函數(shù)函數(shù)yx2x1的圖象是一條拋物線4設(shè)m為實數(shù)，利用三段論證明方程x22mxm10有兩個相異實根考點演繹推理的綜合應(yīng)用題點演繹推理在其他方面中的應(yīng)用證明因為如果一元二次方程ax2bxc0(a0)的判別式b24ac>0，那么方程有兩個相異實根大前提方程x22mxm10的判別式4m24(m1)4m24m4(2m1)23>0，小前提所以方程x22mxm10有兩個相異實根結(jié)論1應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述的簡潔，如果前提是顯然的，則可以省略2合情推理是由部分到整體，由個別到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理3合情推理與演繹推理是相輔相成的，數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)主要靠合情推理；數(shù)學(xué)結(jié)論、猜想的正確性必須通過演繹推理來證明.一、選擇題1論語·學(xué)路篇中說：“名不正，則言不順；言不順，則事不成；事不成，則禮樂不興；禮樂不興，則刑罰不中；刑罰不中，則民無所措手足；所以，名不正，則民無所措手足”上述推理用的是()A類比推理 B歸納推理C演繹推理 D一次三段論考點演繹推理的含義與方法題點判斷推理是否為演繹推理答案C解析這是一個復(fù)合三段論，從“名不正”推出“民無所措手足”，連續(xù)運用五次三段論，屬演繹推理形式2對于三段論“因為對數(shù)函數(shù)yloga x是減函數(shù)(大前提)，又yln x是對數(shù)函數(shù)(小前提)，所以yln x是減函數(shù)(結(jié)論)”，下列說法正確的是()A大前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤B小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤C推理形式錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤D以上都不對考點“三段論”及其應(yīng)用題點大前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤答案A解析“yloga x是減函數(shù)”錯誤，故大前提錯誤3正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)sin(x21)是正弦函數(shù)，因此f(x)sin(x21)是奇函數(shù)以上推理()A結(jié)論正確 B大前提不正確C小前提不正確 D全不正確考點“三段論”及其應(yīng)用題點小前提或推理形式錯誤導(dǎo)致結(jié)構(gòu)錯誤答案C解析由于函數(shù)f(x)sin(x21)不是正弦函數(shù)故小前提不正確4在證明f(x)2x1為增函數(shù)的過程中，有下列四個命題：增函數(shù)的定義是大前提；增函數(shù)的定義是小前提；函數(shù)f(x)2x1滿足增函數(shù)的定義是大前提；函數(shù)f(x)2x1滿足增函數(shù)的定義是小前提其中正確的命題是()A BC D考點“三段論”及其應(yīng)用題點三段論的結(jié)構(gòu)答案A解析根據(jù)三段論特點，過程應(yīng)為：大前提是增函數(shù)的定義；小前提是f(x)2x1滿足增函數(shù)的定義；結(jié)論是f(x)2x1為增函數(shù)，故正確5推理過程“大前提：_，小前提：四邊形ABCD是矩形結(jié)論：四邊形ABCD的對角線相等”應(yīng)補充的大前提是()A正方形的對角線相等B矩形的對角線相等C等腰梯形的對角線相等D矩形的對邊平行且相等考點“三段論”及其應(yīng)用題點三段論的結(jié)構(gòu)答案B解析由三段論的一般模式知選B.6若a>0，b>c>0，則下列不等式中不成立的是()Aab>ac Babac>0C.> D.>考點演繹推理的綜合應(yīng)用題點演繹推理在其他方面的應(yīng)用答案C解析在A中，b>c兩邊同時加a，不等號方向不變，不等式成立；在B中，b>c兩邊同時乘a，因為a>0，所以不等號方向不變，不等式成立；在C中，若b2，c1，則<，不等式不成立；易知D中不等式成立7在R上定義運算：xyx(1y)若不等式(xa)(xa)<1對任意實數(shù)x都成立，則()A1<a<1 B0<a<2C<a< D<a<考點演繹推理的綜合應(yīng)用題點演繹推理在其他方面的應(yīng)用答案C解析由題意知，(xa)(xa)(xa)1(xa)x2xa2a，x2xa2a<1.即x2xa2a1>0對任意實數(shù)x都成立，則14(a2a1)<0，4a24a3<0，解得<a<.二、填空題8在求函數(shù)y的定義域時，第一步推理中大前提是當(dāng)有意義時，a0；小前提是有意義；結(jié)論是_考點“三段論”及其應(yīng)用題點三段論的結(jié)構(gòu)答案y的定義域是4，)解析由大前提知log2x20，解得x4.9有一段演繹推理：大前提：整數(shù)是自然數(shù)；小前提：3是整數(shù)；結(jié)論：3是自然數(shù)這個推理顯然錯誤，則錯誤的原因是_錯誤(填“大前提”“小前提”“結(jié)論”)考點“三段論”及其應(yīng)用題點大前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤答案大前提10以下推理過程省略的大前提為：_.因為a2b22ab，所以2(a2b2)a2b22ab.考點“三段論”及其應(yīng)用題點三段論的結(jié)構(gòu)答案若ab，則acbc解析由小前提和結(jié)論可知，是在小前提的兩邊同時加上了a2b2，故大前提為：若ab，則acbc.11已知在三邊不等的三角形中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，若想得到A為鈍角的結(jié)論，則三邊a，b，c應(yīng)滿足的條件是a2_b2c2.(填“>”“<”“”)考點演繹推理的綜合應(yīng)用題點演繹推理在其他方面的應(yīng)用答案>解析由cos A<0，知b2c2a2<0，故a2>b2c2.12若不等式ax22ax2<0的解集為，則實數(shù)a的取值范圍為_考點演繹推理的綜合應(yīng)用題點演繹推理在其他方面的應(yīng)用答案0,2解析不等式ax22ax2<0無解，則不等式ax22ax20的解集為R.當(dāng)a0時，20，顯然成立，當(dāng)a0時，解得0<a2.a的取值范圍為0,2三、解答題13下面給出判斷函數(shù)f(x)的奇偶性的解題過程：解由于xR，且·1.f(x)f(x)，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)試用三段論加以分析考點“三段論”及其應(yīng)用題點三段論的應(yīng)用解判斷奇偶性的大前提“若定義域關(guān)于原點對稱，且f(x)f(x)，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；若定義域關(guān)于原點對稱，且f(x)f(x)，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)”在解題過程中往往不用寫出來，上述證明過程就省略了大前提解答過程就是驗證小前提成立，即所給的具體函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)四、探究與拓展14.如圖，設(shè)平面EF，AB，CD，垂足分別是點B，D，如果增加一個條件，就能推出BDEF，這個條件不可能是下面四個選項中的()AACBACEFCAC與BD在內(nèi)的射影在同一條直線上DAC與，所成的角相等考點演繹推理的綜合應(yīng)用題點演繹推理在其他方面的應(yīng)用答案D解析只要能推出EFAC即可說明BDEF.當(dāng)AC與，所成的角相等時，推不出EFAC，故選D.15已知yf(x)在(0，)上有意義，單調(diào)遞增且滿足f(2)1，f(xy)f(x)f(y)(1)求證：f(x2)2f(x)；(2)求f(1)的值；(3)若f(x)f(x3)2，求x的取值范圍考點演繹推理的綜合應(yīng)用題點演繹推理在函數(shù)中的應(yīng)用(1)證明因為f(xy)f(x)f(y)，所以f(x2)f(x·x)f(x)f(x)2f(x)(2)解因為f(1)f(12)2f(1)，所以f(1)0.(3)解因為f(x)f(x3)f(x(x3)22f(2)f(4)，且函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以解得0<x1.所以x的取值范圍為(0,113