第一單元 集合與常用邏輯用語第1課集_合過雙基1集合的含義及表示(1)集合的含義：研究對象叫做元素，一些元素組成的總體叫做集合集合中元素的性質：確定性、無序性、互異性(2)元素與集合的關系：屬于，記為；不屬于，記為.(3)集合的表示方法：列舉法、描述法和圖示法(4)常用數(shù)集的記法：自然數(shù)集，正整數(shù)集N*或N，整數(shù)集，有理數(shù)集，實數(shù)集.2集合間的基本關系表示關系文字語言符號語言記法基本關系子集集合A的元素都是集合B的元素xAxBAB或BA真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于AAB，且x0B，x0AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同AB，BAAB空集不含任何元素的集合空集是任何集合A的子集x，x，A3集合的基本運算 表示運算文字語言符號語言圖形語言記法交集屬于集合A屬于集合B的元素組成的集合x|xA，xBAB并集屬于集合A屬于集合B的元素組成的集合x|xA，xBAB補集全集U中屬于集合A的元素組成的集合x|xU，且xAUA4集合問題中的幾個基本結論(1)集合A是其本身的子集，即AA；(2)子集關系的傳遞性，即AB，BCAC；(3)AAAA，A，A，UU，U.1(2018·江西臨川一中期中)已知集合A2,0,1,8，Bk|kR，k22A，k2A，則集合B中所有的元素之和為()A2B2C0 D.解析：選B若k222，則k2或k2，當k2時，k20，不滿足條件，當k2時，k24，滿足條件；若k220，則k±，顯然滿足條件；若k221，則k±，顯然滿足條件；若k228，則k±，顯然滿足條件所以集合B中的元素為2，±，±，±，所以集合B中的元素之和為2，故選B.2(2018·河北武邑中學期中)集合Ax|x27x<0，xN*，則B中元素的個數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選DAx|x27x<0，xN*x|0<x<7，xN*1,2,3,4,5,6，B1,2,3,6，則B中元素的個數(shù)為4個3(2017·黃岡三模)設集合U1,2,3,4，集合AxN|x25x4<0，則UA等于()A1,2 B1,4C2,4 D1,3,4解析：選B因為集合U1,2,3,4，集合AxN|x25x4<0xN|1<x<42,3，所以UA1,44(2017·天津高考)設集合A1,2,6，B2,4，CxR|1x5，則(AB)C()A2 B1,2,4C1,2,4,6 DxR|1x5解析：選BAB1,2,4,6，又CxR|1x5，則(AB)C1,2,45(2017·衡水押題卷)已知集合Ax|x22x0，By|ylog2(x2)，xA，則AB為()A(0,1) B0,1C(1,2) D1,2解析：選D因為Ax|0x2，所以By|ylog2(x2)，xAy|1y2，所以ABx|1x2清易錯1在寫集合的子集時，易忽視空集2在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導致解題錯誤3在應用條件ABBABAAB時，易忽略A的情況1(2018·西安質檢)已知集合M1,2,3,4，則集合Px|xM，且2xM的子集的個數(shù)為()A8B4C3D2解析：選B由題意，得P3,4，所以集合P的子集有224個，故選B.2已知全集U2,3，a22a3，A|a1|,2，UAa3，則實數(shù)a的值為_解析：UAa3，a32且a3|a1|且a3U，由題意，得a33或a3a22a3，解得a0或a2或a3，又|a1|2且AU，a0且a3，a2.答案：23設集合Ax|x25x60，集合Bx|mx10，若ABB，則實數(shù)m組成的集合是_解析：由題意知A2,3，又ABB，所以BA.當m0時，B，顯然成立；當m0時，B2,3，所以2或3，即m或.故m組成的集合是.答案：全國卷5年命題分析考點考查頻度考查角度集合的基本概念5年5考集合的表示、集合元素的性質集合間的基本關系5年2考子集概念集合的基本運算5年12考交、并、補運算，多與不等式相結合集合的基本概念典例(1)設集合A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，則M中的元素個數(shù)為()A3B4C5 D6(2)(2018·廈門模擬)已知Px|2<x<k，xN，若集合P中恰有3個元素，則k的取值范圍為_解析(1)aA，bB，xab為145,15246,25347,358，共4個元素(2)因為P中恰有3個元素，所以P3,4,5，故k的取值范圍為5<k6.答案(1)B(2)(5,6方法技巧與集合中的元素有關問題的求解策略(1)確定集合的元素是什么，即集合是數(shù)集還是點集(2)看這些元素滿足什么限制條件(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，但要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性即時演練1(2018·萊州一中模擬)已知集合AxN|x22x30，BC|CA，則集合B中元素的個數(shù)為()A2 B3C4 D5解析：選CAxN|(x3)(x1)0xN|3x10,1，共有224個子集，因此集合B中元素的個數(shù)為4，選C.2已知集合Am2,2m2m，若3A，則m的值為_解析：由題意得m23或2m2m3，則m1或m，當m1時，m23且2m2m3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；當m時，m2，而2m2m3，故m.答案：集合間的基本關系典例(1)已知集合Ax|0<x<3，Cx|a<x<a1，若CA，則實數(shù)a的取值范圍為()A(，0)(2，) B(，03，)C0,2 D0,3(2)已知集合Ax|1x5，Bx|a<xa3，若B(AB)，則實數(shù)a的取值范圍為_解析(1)CA，解得0a2，故實數(shù)a的取值范圍為0,2(2)因為B(AB)，所以BA.當B時，滿足BA，此時aa3，即a；當B時，要使BA，則解得<a1.由可知，實數(shù)a的取值范圍為(，1答案(1)C(2)(，1方法技巧已知兩集合的關系求參數(shù)時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系，進而轉化為參數(shù)滿足的關系，解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析即時演練1設UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0，若BA，則m_.解析：由已知得Ax|x2或x1，Bx|x1或xm因為BA，當m1，即m1時，滿足題意；當m2，即m2時，滿足題意，故m1或2.答案：1或22已知集合Ax|log2x2，B(，a)，若AB，實數(shù)a的取值范圍是(c，)，則c_.解析：由log2x2，得0<x4，即Ax|0<x4，而B(，a)，由于AB，如圖所示，則a>4，即c4.答案：4集合的基本運算集合運算多與解簡單的不等式、函數(shù)的定義域、值域相聯(lián)系，考查對集合的理解及不等式的有關知識；有些集合題為抽象集合題或新定義型集合題，考查學生的靈活處理問題的能力.常見的命題角度有：(1)求交集或并集；(2)交、并、補的混合運算；(3)集合運算中的參數(shù)范圍；(4)集合的新定義問題.角度一：求交集或并集1(2017·山東高考)設函數(shù)y的定義域為A，函數(shù)yln(1x)的定義域為B，則AB()A(1,2) B(1,2C(2,1) D2,1)解析：選D由題意可知Ax|2x2，Bx|x<1，故ABx|2x<12(2017·浙江高考)已知集合Px|1<x<1，Qx|0<x<2，那么PQ()A(1,2) B(0,1)C(1,0) D(1,2)解析：選A根據(jù)集合的并集的定義，得PQ(1,2)角度二：交、并、補的混合運算3設全集UR，集合Ax|x>0，Bx|x2x2<0，則A(UB)()A(0,2 B(1,2C1,2 D2，)解析：選D因為Ax|x>0，Bx|1<x<2，所以UBx|x1或x2，所以A(UB)x|x24若全集UR，集合Ax|1<2x<4，Bx|x10，則A(UB)_.解析：Ax|0<x<2，Bx|x1，則UBx|x<1，所以A(UB)x|x<2答案：x|x<2角度三：集合運算中的參數(shù)范圍5(2017·上海高考)設集合Ax|x2|3，Bx|x<t，若AB，則實數(shù)t的取值范圍是_解析：因為集合Ax|1x5，Bx|x<t，且AB，所以t1，即實數(shù)t的取值范圍是(，1答案：(，1角度四：集合的新定義問題6設M，P是兩個非空集合，定義M與P的差集為：MPx|xM，且xP，則M(MP)()AP BMPCMP DM解析：選B設全集U，由題意可得MPM(UP)，所以M(MP)MP.7對于集合M，定義函數(shù)fM(x)對于兩個集合A，B，定義集合ABx|fA(x)·fB(x)1已知A2,4,6,8,10，B1,2,4,8,12，則用列舉法寫出集合AB的結果為_解析：由題意知當xA且xB或xB且xA時，有fA(x)·fB(x)1成立，所以AB1,6,10,12答案：1,6,10,12方法技巧解集合運算問題4個注意點(1)看元素構成集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的關鍵(2)對集合化簡有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了、易于解決(3)應用數(shù)形常用的數(shù)形結合形式有數(shù)軸和Venn圖(4)創(chuàng)新性問題以集合為依托，對集合的定義、運算、性質進行創(chuàng)新考查，但最終化為原來的集合知識和相應數(shù)學知識來解決1(2017·全國卷)已知集合Ax|x<1，Bx|3x<1，則()AABx|x<0 BABRCABx|x>1 DAB解析：選A集合Ax|x<1，Bx|x<0，ABx|x<0，ABx|x<1，故選A.2(2016·全國卷)已知集合A1,2,3，Bx|(x1)(x2)<0，xZ，則AB()A1 B1,2C0,1,2,3 D1,0,1,2,3解析：選C因為Bx|(x1)(x2)<0，xZx|1<x<2，xZ0,1，A1,2,3，所以AB0,1,2,33(2015·全國卷)已知集合Ax|1<x<2，Bx|0<x<3，則AB()A(1,3) B(1,0)C(0,2) D(2,3)解析：選A將集合A與集合B在數(shù)軸上畫出(如圖)由圖可知AB(1,3)，故選A.4(2014·全國卷)已知集合A2,0,2，B x|x2 x20，則AB()A B2C0 D2 解析：選B因為Bx|x2x201,2，A2,0,2，所以AB2，故選B.5(2013·全國卷)已知集合Ax|x22x0，Bx|x，則()AAB BABR CBA D.AB解析：選B因為集合Ax|x2或x0，所以ABx|x2或x0x|xR，故選B.一、選擇題1(2017·北京高考)若集合Ax|2<x<1，Bx|x<1或x>3，則AB()Ax|2<x<1Bx|2<x<3Cx|1<x<1 Dx|1<x<3解析：選A由集合交集的定義可得ABx|2<x<12設集合Ax|x29<0，Bx|2xN，則AB中元素的個數(shù)為()A3 B4C5 D6解析：選D因為Ax|3<x<3，Bx|2xN，所以由2xN可得AB，其元素的個數(shù)是6.3(2017·全國卷)已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，則AB中元素的個數(shù)為()A3 B2C1 D0解析：選B因為A表示圓x2y21上的點的集合，B表示直線yx上的點的集合，直線yx與圓x2y21有兩個交點，所以AB中元素的個數(shù)為2.4設集合Ax|x22x3<0，Bx|x>0，則AB()A(1，) B(，3)C(0,3) D(1,3)解析：選A因為集合Ax|x22x3<0x|1<x<3，Bx|x>0，所以ABx|x>15(2017·全國卷)設集合A1,2,4，Bx|x24xm0若AB1，則B()A1，3 B1,0C1,3 D1,5解析：選C因為AB1，所以1B，所以1是方程x24xm0的根，所以14m0，m3，方程為x24x30，解得x1或x3，所以B1,36設集合A1,0,1，集合B0,1,2,3，定義A*B(x，y)|xAB，yAB，則A*B中元素的個數(shù)是()A7 B10C25 D52解析：選B因為A1,0,1，B0,1,2,3，所以AB0,1，AB1,0,1,2,3由xAB，可知x可取0,1；由yAB，可知y可取1,0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有結果如下表所示： y101230(0，1)(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)1(1，1)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)所以A*B中的元素共有10個7(2017·吉林一模)設集合A0,1，集合Bx|x>a，若AB中只有一個元素，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，1) B0,1)C1，) D(，1解析：選B由題意知，集合A0,1，集合Bx|x>a，畫出數(shù)軸(如圖所示)若AB中只有一個元素，則0a<1，故選B.8設P和Q是兩個集合，定義集合PQx|xP，且xQ，如果Px|log2x<1，Qx|x2|<1，那么PQ()Ax|0<x<1 Bx|0<x1Cx|1x<2 Dx|2x<3解析：選B由log2x<1，得0<x<2，所以Px|0<x<2由|x2|<1，得1<x<3，所以Qx|1<x<3由題意，得PQx|0<x1二、填空題9(2018·遼寧師大附中調(diào)研)若集合Ax|(a1)x23x20有且僅有兩個子集，則實數(shù)a的值為_解析：由題意知，集合A有且僅有兩個子集，則集合A中只有一個元素當a10，即a1時，A，滿足題意；當a10，即a1時，要使集合A中只有一個元素，需98(a1)0，解得a.綜上可知，實數(shù)a的值為1或.答案：1或10已知集合Ax|1x3，Bx|1若AB是集合x|xa的子集，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：由1，得x2，Bx|x2Ax|1x3，ABx|2x3若集合ABx|2x3是集合x|xa的子集，則a2.答案：(，211(2018·貴陽監(jiān)測)已知全集Ua1，a2，a3，a4，集合A是全集U的恰有兩個元素的子集，且滿足下列三個條件：若a1A，則a2A；若a3A，則a2A；若a3A，則a4A.則集合A_.(用列舉法表示)解析：假設a1A，則a2A，由若a3A，則a2A可知，a3A，故假設不成立；假設a4A，則a3A，a2A，a1A，故假設不成立故集合Aa2，a3答案：a2，a312(2016·北京高考)某網(wǎng)店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種則該網(wǎng)店第一天售出但第二天未售出的商品有_種；這三天售出的商品最少有_種解析：設三天都售出的商品有x種，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y種，則三天售出商品的種類關系如圖所示由圖可知：第一天售出但第二天未售出的商品有19(3x)x16(種)這三天售出的商品有(16y)yx(3x)(6x)(4x)(14y)43y(種)由于所以0y14.所以(43y)min431429.答案：1629三、解答題13已知Ax|1<x3，Bx|mx<13m(1)當m1時，求AB；(2)若BRA，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)因為m1時，Bx|1x<4，所以ABx|1<x<4(2)RAx|x1或x>3當B時，則m13m，得m，滿足BRA，當B時，要使BRA，須滿足或解得m>3.綜上所述，m的取值范圍是(3，)14記函數(shù)f(x) 的定義域為A，g(x)lg(xa1)(2ax)(a<1)的定義域為B.(1)求A；(2)若BA，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)由20，得0，解得x<1或x1，即A(，1)1，)(2)由(xa1)(2ax)>0，得(xa1)(x2a)<0，a<1，a1>2a，B(2a，a1)，BA，2a1或a11，即a或a2，a<1，a<1或a2，實數(shù)a的取值范圍是(，2.1已知定義域均為x|0x2的函數(shù)f(x)與g(x)ax33a(a>0)，設函數(shù)f(x)與g(x)的值域分別為A與B，若AB，則a的取值范圍是()A2，) B1,2C0,2 D1，)解析：選B因為f(x)，所以f(x)在0,1)上是增函數(shù)，在(1,2上是減函數(shù)，又因為f(1)1，f(0)0，f(2)，所以Ax|0x1；由題意易得B33a,3a，因為0,133a,3a，所以33a0且3a1，解得1a2.2設集合A(x1，x2，x3，x4)|xi1,0,1，i1,2,3,4，那么集合A中滿足條件“xxxx4”的元素個數(shù)為()A60 B65C80 D81解析：選D由題意知，每一個元素都有3種取法，所以元素的個數(shù)為3481.第2課命題及其關系_充分條件與必要條件過雙基1命題概念使用語言、符號或者式子表達的，可以判斷真假的陳述句特點(1)能判斷真假；(2)陳述句分類命題、命題2四種命題及其相互關系(1)四種命題間的相互關系：(2)四種命題中真假性的等價關系：原命題等價于逆否命題，原命題的否命題等價于逆命題在四種形式的命題中真命題的個數(shù)只能是0,2,4.3充要條件若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p成立的對象的集合為A，q成立的對象的集合為Bp是q的充分不必要條件pq且qpA是B的真子集集合與充要條件p是q的必要不充分條件pq且qpB是A的真子集p是q的充要條件pqABp是q的既不充分也不必要條件pq且qpA，B互不包含1命題“若a>b，則ac>bc”的逆否命題是()A若a>b，則acbcB若acbc，則abC若ac>bc，則a>b D若ab，則acbc解析：選B由逆否命題的定義可知，答案為B.2已知命題p：對于xR，恒有2x2x2成立；命題q：奇函數(shù)f(x)的圖象必過原點，則下列結論正確的是()Apq為真 B(綈p)q為真Cp(綈q)為真 D(綈p)q為真解析：選C由指數(shù)函數(shù)與基本不等式可知，命題p是真命題；當函數(shù)f(x)時，是奇函數(shù)但不過原點，則可知命題q是假命題，所以p(綈q)是真命題，故選C.3已知p：x>1或x<3，q：x>a，若q是p的充分不必要條件，則a的取值范圍是()A1，) B(，1C3，) D(，3)解析：選A法一：設Px|x>1或x<3，Qx|x>a，因為q是p的充分不必要條件，所以QP，因此a1.法二：令a3，則q：x>3，則由命題q推不出命題p，此時q不是p的充分條件，排除B、C；同理，取a4，排除D，選A.4已知命題p：x2k，kZ；命題q：sin x，則p是q的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B令x，則sin x，即p/ q；當sin x時，x2k或2k，kZ，即qp，因此p是q的必要不充分條件清易錯1易混淆否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結論，而命題的否定是只否定命題的結論2易忽視A是B的充分不必要條件(AB且BA)與A的充分不必要條件是B(BA且AB)兩者的不同1“若x，yR且x2y20，則x，y全為0”的否命題是()A若x，yR且x2y20，則x，y全不為0B若x，yR且x2y20，則x，y不全為0C若x，yR且x，y全為0，則x2y20D若x，yR且xy0，則x2y20解析：選B原命題的條件：x，yR且x2y20，結論：x，y全為0.否命題是否定條件和結論即否命題：“若x，yR且x2y20，則x，y不全為0”2設a，bR，函數(shù)f(x)axb(0x1)，則f(x)>0恒成立是a2b>0成立的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A充分性：因為f(x)>0恒成立，所以則a2b>0，即充分性成立；必要性：令a3，b2，則a2b>0成立，但是，f(1)ab>0不成立，即f(x)>0不恒成立，則必要性不成立所以答案為A.全國卷5年命題分析考點考查頻度考查角度四種命題的相互關系及真假判斷5年1考與復數(shù)有關的命題的真假判斷充分條件、必要條件未考查命題的相互關系及真假性典例(1)(2018·西安八校聯(lián)考)已知命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”，命題q：“若a不是正數(shù)，則它的平方等于0”，則q是p的()A逆命題B否命題C逆否命題 D否定(2)原命題為“若<an，nN*，則an為遞減數(shù)列”，關于其逆命題、否命題、逆否命題真假性的依次判斷正確的是()A真，真，真 B假，假，真C真，真，假 D假，假，假解析(1)命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”可寫成“若a是正數(shù)，則它的平方不等于0”，從而q是p的否命題(2)原命題是：“若an1<an，nN*，則an為遞減數(shù)列”為真命題，則其逆否命題為真，逆命題是：“若an為遞減數(shù)列，nN*，則an1<an”為真命題，所以否命題也為真命題答案(1)B(2)A方法技巧命題的關系及真假判斷(1)在判斷命題之間的關系時，首先要分清命題的條件與結論，再分析每個命題的條件與結論之間的關系，要注意四種命題關系的相對性(2)判斷命題真假的方法：一是聯(lián)系已有的數(shù)學公式、定理、結論進行正面直接判斷；二是利用原命題和其逆否命題的等價關系進行判斷 即時演練1已知命題：如果x<3，那么x<5；命題：如果x3，那么x5；命題：如果x5，那么x3.關于這三個命題之間的關系，下列三種說法正確的是()命題是命題的否命題，且命題是命題的逆命題；命題是命題的逆命題，且命題是命題的否命題；命題是命題的否命題，且命題是命題的逆否命題A B CD解析：選A命題的四種形式，逆命題是把原命題中的條件和結論互換，否命題是把原命題的條件和結論都加以否定，逆否命題是把原命題中的條件與結論先都否定，然后交換條件與結論所得，因此正確，錯誤，正確2給出命題：若函數(shù)yf(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖象不過第四象限在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是()A3B2C1D0解析：選C易知原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題，而逆命題、否命題是假命題，故它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題只有一個充分、必要條件的判定典例(1)(2017·浙江高考)已知等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4S6>2S5”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件(2)設：1x3，：m1x2m4，mR，若是的充分條件，則m的取值范圍是_解析(1)因為an為等差數(shù)列，所以S4S64a16d6a115d10a121d,2S510a120d，S4S62S5d，所以d>0S4S6>2S5.(2)若是的充分條件，則對應的集合是對應集合的子集，則解得m0.答案(1)C(2)方法技巧充要條件的3種判斷方法定義法直接判斷若p則q，若q則p的真假等價法即利用AB與綈B綈A；BA與綈A綈B；AB與綈B綈A的等價關系，對于條件或結論是否定形式的命題，一般運用等價法集合法即設Ax|p(x)，Bx|q(x)：若AB，則p是q的充分條件或q是p的必要條件；若AB，則p是q的充分不必要條件，若AB，則p是q的充要條件即時演練1(2016·四川高考)設p：實數(shù)x，y滿足x>1且y>1，q：實數(shù)x，y滿足xy>2，則p是q的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選Axy>2，即pq.而當x0，y3時，有xy3>2，但不滿足x>1且y>1，即q / p故p是q的充分不必要條件2已知m，nR，則“mn <0”是“拋物線mx2ny0的焦點在y軸正半軸上”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選C若“mn<0”，則x2y中的>0，所以“拋物線mx2ny0的焦點在y軸正半軸上”成立，是充分條件；反之，若“拋物線mx2ny0的焦點在y軸正半軸上”，則x2y中的>0，即mn <0，則“mn <0”成立，故是充要條件.根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的范圍根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的范圍是對充分條件、必要條件與集合之間關系的深層次考查此類題的解決方法一般有兩種：(1)直接法：先求出p，q為真命題時所對應的條件，然后表示出綈p與綈q，把綈p與綈q所對應的關系轉化為綈p與綈q所對應集合之間的關系，列出參數(shù)所滿足的條件求解；(2)等價轉化法，把綈p，綈q的關系轉化為p，q的關系典例(2018·安徽黃山調(diào)研)已知條件p：2x23x10，條件q：x2(2a1)xa(a1)0.若綈p是綈q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是_解析由2x23x10，得x1，條件p對應的集合P.由x2(2a1)xa(a1)0，得axa1，條件q對應的集合為Qx|axa1法一：用“直接法”解題綈p對應的集合A，綈q對應的集合Bx|x>a1或x<a綈p是綈q的必要不充分條件，即BA，或0a.即實數(shù)a的取值范圍是.法二：用“等價轉化法”解題綈p是綈q的必要不充分條件，根據(jù)原命題與逆否命題等價，得p是q的充分不必要條件pq，即PQ或解得0a.即實數(shù)a的取值范圍是.答案方法技巧根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍的2個注意點(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間關系列出關于參數(shù)的不等式(組)求解(2)求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象即時演練1(2018·安陽調(diào)研)已知p：xAx|x22x30，xR，q：xBx|x22mxm240，xR，mR若p是綈q的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：Ax|1x3，Bx|m2xm2，RBx|x<m2或x>m2p是綈q的充分條件，ARB，m2>3或m2<1，m>5或m<3.答案：(，3)(5，)2若“x2>1”是“x<a”的必要不充分條件，則a的最大值為_解析：由x2>1，得x<1，或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分條件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a1，即a的最大值為1.答案：11(2014·全國卷)函數(shù)f(x)在xx0處導數(shù)存在若p：f(x0)0；q：xx0是f(x)的極值點，則()Ap是q的充分必要條件Bp是q的充分條件，但不是q的必要條件Cp是q的必要條件，但不是q的充分條件Dp既不是q的充分條件，也不是q的必要條件解析：選C當f(x0)0時，xx0不一定是f(x)的極值點，比如，yx3在x0時，f(0)0，但在x0的左右兩側f(x)的符號相同，因而x0不是yx3的極值點由極值的定義知，xx0是f(x)的極值點必有f(x0)0.綜上知，p是q的必要條件，但不是充分條件2(2017·天津高考)設R，則“<”是“sin <”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A法一：由<，得0<<，故sin <.由sin <，得2k<<2k，kZ，推不出“<”故“<”是“sin <”的充分而不必要條件法二：<0<<sin <，而當sin <時，取，>.故“<”是“sin <”的充分而不必要條件3(2016·北京高考)設a，b是向量，則“| a |b|”是“|ab |ab|”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：選D若|a|b|成立，則以a，b為鄰邊的平行四邊形為菱形ab，ab表示的是該菱形的對角線，而菱形的兩條對角線長度不一定相等，所以|ab|ab|不一定成立，從而不是充分條件；反之，若|ab|ab|成立，則以a，b為鄰邊的平行四邊形為矩形，而矩形的鄰邊長度不一定相等，所以|a|b|不一定成立，從而不是必要條件故“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要條件4(2015·陜西高考)“sin cos ”是“cos 20”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：選Acos 20等價于cos2sin20，即cos ±sin .由cos sin 可得到cos 20，反之不成立，故選A.5(2015·重慶高考)“x1”是“l(fā)og (x2)0”的()A充要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件解析：選Bx1log (x2)0，log (x2)0x21x1，“x1”是“l(fā)og (x2)0”的充分而不必要條件一、選擇題1命題“若，則tan 1”的逆否命題是()A若，則tan 1B若，則tan 1C若tan 1，則 D若tan 1，則解析：選D逆否命題是將原命題中的條件與結論都否定后再交換位置即可所以逆否命題為：若tan 1，則.2在命題“若拋物線yax2bxc的開口向下，則x|ax2bxc<0”的逆命題、否命題、逆否命題中結論成立的是()A都真 B都假C否命題真 D逆否命題真解析：選D對于原命題：“若拋物線yax2bxc的開口向下，則x|ax2bxc<0”，這是一個真命題，所以其逆否命題也為真命題；但其逆命題：“若x|ax2bxc<0，則拋物線yax2bxc的開口向下”是一個假命題，因為當不等式ax2bxc<0的解集非空時，可以有a>0，即拋物線的開口可以向上，因此否命題也是假命題故選D.3“直線yxb與圓x2y21相交”是“0<b<1”的()A充要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件解析：選C由直線yxb與圓x2y21相交可得<1，所以<b<，因此，“直線yxb與圓x2y21相交”/ “0<b<1”，但“0<b<1”“直線yxb與圓x2y21相交”故選C.4命題p：“x>e，aln x<0”為真命題的一個充分不必要條件是()Aa1 Ba<1Ca1 Da>1解析：選B由題意知x>e，a<ln x恒成立，因為ln x>1，所以a1，故答案為B.5a2b21是asin bcos 1恒成立的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A因為a2b21，所以設acos ，bsin ，則asin bcos sin()1恒成立；當asin bcos 1恒成立時，只需asin bcos sin()1即可，所以a2b21，故不滿足必要性6若向量a(x1，x)，b(x2，x4)，則“ab”是“x2”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B若“ab”，則a·b(x1，x)·(x2，x4)(x1)(x2)x(x4)2x23x20，則x2或x；若“x2”，則a·b0，即“ab”，所以“ab”是“x2”的必要不充分條件7在ABC中，“sin Asin Bcos Bcos A”是“AB”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B在ABC中，當AB時，sin Asin Bcos Bcos A顯然成立，即必要性成立；當sin Asin Bcos Bcos A時，則sin Acos Asin Bcos B，兩邊平方可得sin 2Asin 2B，則AB或AB，即充分性不成立則在ABC中，“sin Asin Bcos Bcos A”是“AB”的必要不充分條件8設m，n是兩條直線，是兩個平面，則下列命題中不正確的是()A當n時，“n”是“”的充要條件B當m時，“m”是“”的充分不必要條件C當m時，“n”是“mn”的必要不充分條件D當m時，“n”是“mn”的充分不必要條件解析：選C由垂直于同一條直線的兩個平面平行可知，A正確；顯然，當m時，“m”“”；當m時，“”/ “m”，故B正確；當m時，“mn”/ “n”， n也可能在平面內(nèi)，故C錯誤；當m時，“n”“mn”，反之不成立，故D正確二、填空題9“若ab，則ac2bc2”，則命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個數(shù)是_解析：其中原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題答案：210下列命題正確的序號是_命題“若a>b，則2a>2b”的否命題是真命題；命題“a，b都是偶數(shù)，則ab是偶數(shù)”的逆否命題是真命題；若p是q的充分不必要條件，則綈p是綈q的必要不充分條件；方程ax2xa0有唯一解的充要條件是a±.解析：否命題“若2a2b，則ab”，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，該命題正確；由互為逆否命題真假相同可知，該命題為真命題；由互為逆否命題可知，是真命題；方程ax2xa0有唯一解，則a0或求解可得a0或a±，故是假命題答案：11已知集合A，Bx|1<x<m1，xR，若xB成立的一個充分不必要的條件是xA，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：Ax|1<x<3，xB成立的一個充分不必要條件是xA，AB，m1>3，即m>2.答案：(2，)12給出下列四個結論：若am2<bm2，則a<b；已知變量x和y滿足關系y0.1x1，若變量y與z正相關，則x與z負相關；“已知直線m，n和平面，若mn，m，n，則”為真命題；m3是直線(m3)xmy20與直線mx6y50互相垂直的充分不必要條件其中正確的結論是_(填序號)解析：由不等式的性質可知，正確；由變量間相關關系可知，當變量y和z是正相關時，x與z負相關，故正確；由已知條件，不能判斷與的位置關系，故錯誤；當m3時，直線(m3)xmy20與直線mx6y50互相垂直；當直線(m3)xmy20與直線mx6y50互相垂直時，(m3)m6m0，則m3或m0，即m3是直線(m3)xmy20與直線mx6y50互相垂直的充分不必要條件，則正確答案：三、解答題13寫出命題“已知a，bR，若關于x的不等式x2axb0有非空解集，則a24b”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假解：(1)逆命題：已知a，bR，若a24b，則關于x的不等式x2axb0有非空解集，為真命題(2)否命題：已知a，bR，若關于x的不等式x2axb0沒有非空解集，則a2<4b，為真命題(3)逆否命題：已知a，bR，若a2<4b，則關于x的不等式x2axb0沒有非空解集，為真命題14已知集合A，Bx|xm21若“xA”是“xB”的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍解：yx2x12，x，y2，A.由xm21，得x1m2，Bx|x1m2“xA”是“xB”的充分條件，AB，1m2，解得m或m，故實數(shù)m的取值范圍是.1下列四個命題中，命題“若x23x40，則x4”的逆否命題為“若x4，則x23x40”；“x4”是“x23x40”的充分條件；命題“若m>0，則方程x2xm0有實根”的逆命題為真命題；命題“若m2n 20，則m0且n0”的否命題是“若m2n20，則m0且n0”；對空間任意一點O，若滿足，則P，A，B，C四點一定共面其中真命題的為_(填序號)解析：命題“若x23x40，則x4”的逆否命題為“若x4，則x23x40”，故正確；x4x23x40；由x23x40，解得x1或x4.“x4”是“x23x40”的充分不必要條件，故正確；命題“若m>0，則方程x2xm0有實根”的逆命題為“若方程x2xm0有實根，則m>0”，是假命題，如m0時，方程x2xm0有實根，故錯誤；命題“若m2n20，則m0且n0”的否命題是“若m2n20，則m0或n0”，故錯誤；1，對空間任意一點O，若滿足，則P，A，B，C四點一定共面，故正確答案：2已知p：x24x120，q：x22x1m20(m>0)(1)若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為_；(2)若“綈p”是“綈q”的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為_解析：由題知，p為真時，2x6，q為真時，1mx1m，令Px|2x6，Qx|1mx1m(1)p是q的充分不必要條件，PQ，或解得m5，實數(shù)m的取值范圍是5，)(2)“綈p”是“綈q”的充分條件，“p”是“q”的必要條件，QP，解得0<m3，實數(shù)m的取值范圍是(0,3答案：(1)5，)(2)(0,3第3課簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞過雙基1命題pq，pq，綈p的真假判斷pqpqpq綈p真真真真假假假真假假假假2全稱量詞與存在量詞量詞名稱常見量詞符號表示全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個等存在量詞存在一個、至少一個、有些、某些等3全稱命題和特稱命題名稱形式全稱命題特稱命題結構對M中的任意一個x，有p(x)成立存在M中的一個x0，使p(x0)成立簡記xM，p(x)x0M，p(x0)否定x0M，綈p(x0)xM，綈p(x)1已知命題p：若x>y，則x<y；命題q：若x>y，則x2>y2.在命題pq；pq；p(綈q)；(綈p)q中，真命題的是()ABC D解析：選C當x>y時，x<y，故命題p為真命題，從而綈p為假命題當x>y時，x2>y2不一定成立，故命題q為假命題，從而綈q為真命題故pq為假命題；pq為真命題；p(綈q)為真命題；(綈p)q為假命題2若命題p：對任意xR，總有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件，則在