1.5.3定積分的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解定積分的概念，會用定義求定積分.2.理解定積分的幾何意義.3.掌握定積分的基本性質(zhì)知識點(diǎn)一定積分的概念思考分析求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動的路程，找一下它們的共同點(diǎn)答案兩個問題均可以通過“分割、近似代替、求和、取極限”解決，都可以歸結(jié)為一個特定形式和的極限梳理一般地，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0<x1<<xi1<xi<<xnb將區(qū)間a，b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi1，xi上任取一點(diǎn)i(i1,2，n)，作和式(i)xf(i)，當(dāng)n時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dxf(i)，這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式知識點(diǎn)二定積分的幾何意義思考1根據(jù)定積分的定義求得(x1)dx的值是多少？答案(x1)dx.思考2(x1)dx的值與直線x1，x2，y0，f(x)x1圍成的梯形面積有何關(guān)系？答案相等梳理從幾何上看，如果在區(qū)間a，b上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)0，那么定積分f(x)dx表示由直線xa，xb，y0和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積這就是定積分f(x)dx的幾何意義注意：f(x)<0(圖象在x軸的下方)時，f(x)dx<0，f(x)dx等于曲邊梯形的面積知識點(diǎn)三定積分的性質(zhì)思考你能根據(jù)定積分的幾何意義解釋f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b)嗎？答案直線xc把一個大的曲邊梯形分成了兩個小曲邊梯形，因此大曲邊梯形的面積S是兩個小曲邊梯形的面積S1，S2之和，即SS1S2.梳理(1)kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))(2)f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b)1f(x)dxf(t)dt.()2f(x)dx的值一定是一個正數(shù)(×)3dxx3dxxdx.()類型一利用定積分的定義求定積分例1利用定積分的定義，計(jì)算(3x2)dx的值考點(diǎn)定積分的概念題點(diǎn)定積分的概念解令f(x)3x2.(1)分割在區(qū)間1,2上等間隔地插入n1個分點(diǎn)，把區(qū)間1,2等分成n個小區(qū)間(i1,2，n)，每個小區(qū)間的長度為x.(2)近似代替、求和取i(i1,2，n)，則Sn ·x·012(n1)5×5.(3)取極限(3x2)dx Sn .反思與感悟利用定義求定積分的步驟跟蹤訓(xùn)練1利用定積分的定義計(jì)算(x2)dx.考點(diǎn)定積分的概念題點(diǎn)定積分的概念解令f(x)x2.將區(qū)間2,3平均分為n個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度為xi，xi1，xi，i1,2，n.取ixi2，則f(i)224.則f(i)xi · n·4.(x2)dx .類型二利用定積分的性質(zhì)求定積分例2已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，求下列各式的值(1)(3x3)dx；(2)(6x2)dx；(3)(3x22x3)dx.考點(diǎn)定積分性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)定積分性質(zhì)的應(yīng)用解(1)(3x3)dx3x3dx33×12.(2)(6x2)dx6x2dx66×126.(3)(3x22x3)dx(3x2)dx(2x3)dx3x2dx2x3dx3×2×.反思與感悟若函數(shù)f(x)的奇偶性已經(jīng)明確，且f(x)在a，a上連續(xù)，則(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(x)dx0.(2)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)dx2f(x)dx.跟蹤訓(xùn)練2若f(x)且(2x1)dx2，exdx1e1，求f(x)dx.考點(diǎn)定積分性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)定積分性質(zhì)的應(yīng)用解f(x)dxf(x)dxf(x)dx(2x1)dxexdx21e1(e11)類型三利用定積分的幾何意義求定積分例3用定積分的幾何意義求下列各式的值(1)dx；(2).考點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用解(1)由y得x2y24(y0)，其圖象如圖所示dx等于圓心角為60°的弓形CED的面積與矩形ABCD的面積之和，S弓形CED××22×2×，S矩形ABCDAB·BC2，dx2.(2)函數(shù)ysin x在x上是奇函數(shù)，0.跟蹤訓(xùn)練3求定積分：(x)dx.考點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用解dx表示圓心在(2,0)，半徑等于2的圓的面積的，即dx××22.xdx表示底和高都為2的直角三角形的面積，即xdx×222.原式dxxdx2.1下列結(jié)論中成立的個數(shù)是()x3dx·；x3dx·；x3dx ·.A0 B1 C2 D3考點(diǎn)定積分的概念題點(diǎn)定積分的概念答案C解析成立2關(guān)于定積分a(2)dx的敘述正確的是()A被積函數(shù)為y2，a6B被積函數(shù)為y2，a6C被積函數(shù)為y2，a6D被積函數(shù)為y2，a6考點(diǎn)定積分的幾何意義及性質(zhì)題點(diǎn)定積分的幾何意義答案C解析由定積分的概念可知，(2)dx中的被積函數(shù)為y2，由定積分的幾何意義知，(2)dx等于由直線x1，x2，y0，y2所圍成的圖形的面積的相反數(shù)，(2)dx2×36.3已知定積分f(x)dx8，且f(x)為偶函數(shù)，則f(x)dx等于()A0 B16C12 D8考點(diǎn)定積分的幾何意義及性質(zhì)題點(diǎn)定積分性質(zhì)答案B解析f(x)dx2f(x)dx16.4由函數(shù)yx的圖象，直線x1，x0，y0所圍成的圖形的面積可表示為()A(x)dx B|x|dxCxdx Dxdx考點(diǎn)定積分的幾何意義及性質(zhì)題點(diǎn)定積分的幾何意義答案B解析由定積分的幾何意義可知，所求圖形的面積為S|x|dx.5計(jì)算(x3)dx.考點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用解如圖所示，由定積分的幾何意義得dx，x3dx0，由定積分性質(zhì)得(x3)dxdxx3dx.1定積分f(x)dx是一個和式f(i)的極限，是一個常數(shù)2可以利用“分割、近似代替、求和、取極限”求定積分對于一些特殊函數(shù)，也可以利用幾何意義求定積分3定積分的幾何性質(zhì)可以幫助簡化定積分運(yùn)算一、選擇題1根據(jù)定積分的定義，x2dx等于()A.2· B 2·C.2· D 2·考點(diǎn)定積分的概念題點(diǎn)定積分的概念答案D解析根據(jù)定積分的定義，x2dx 2·.2下列定積分的值等于1的是()A1dx B(x1)dxCdx Dxdx考點(diǎn)定積分的幾何意義及性質(zhì)題點(diǎn)定積分性質(zhì)答案A解析D項(xiàng)，xdx，C項(xiàng)，dx，B項(xiàng)，(x1)dx，A項(xiàng)，1dx1，故選A.3下列命題不正確的是()A若f(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則f(x)dx0B若f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，則f(x)dx2f(x)dxC若f(x)在a，b上連續(xù)且恒正，則f(x)dx>0D若f(x)在a，b上連續(xù)且f(x)dx>0，則f(x)在a，b上恒正考點(diǎn)定積分的幾何意義及性質(zhì)題點(diǎn)定積分性質(zhì)答案D解析A項(xiàng)，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以x軸上方的面積和x軸下方的面積相等，故積分是0，所以A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，故y軸兩側(cè)的圖象都在x軸上方或下方且面積相等，故B項(xiàng)正確；由定積分的幾何意義知，C項(xiàng)顯然正確；D項(xiàng)，f(x)也可以小于0，但必須有大于0的部分，且f(x)>0的曲線圍成的面積比f(x)<0的曲線圍成的面積大4與定積分相等的是()A.B.Csin xdxD.考點(diǎn)定積分的幾何意義及性質(zhì)題點(diǎn)定積分性質(zhì)答案C解析當(dāng)x0，時，sin x0；當(dāng)x時，sin x<0.由定積分的性質(zhì)可得，|sin x|dxsin xdxsin xdx.5下列各陰影部分的面積S不可以用Sf(x)g(x)dx求出的是()考點(diǎn)定積分的幾何意義及性質(zhì)題點(diǎn)定積分的幾何意義答案B解析定積分Sf(x)g(x)dx的幾何意義是求函數(shù)f(x)與g(x)之間的陰影部分的面積，必須注意f(x)的圖象要在g(x)的圖象上方對照各選項(xiàng)可知，B項(xiàng)中f(x)的圖象不全在g(x)的圖象上方，故選B.6由直線yx，yx1及x軸圍成的平面圖形的面積為()A(1y)ydyBCDx(x1)dx考點(diǎn)定積分的幾何意義及性質(zhì)題點(diǎn)定積分的幾何意義答案C解析聯(lián)立解得故A.由圖知陰影部分的面積可表示為.7設(shè)adx，bx2dx，cx3dx，則a，b，c的大小關(guān)系是()Aa>b>c Ba>c>bCab>c Dc>a>b考點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用答案A解析根據(jù)定積分的幾何意義，易知x3dx<x2dx<dx，即a>b>c，故選A.8若|56x|dx2 016，則正數(shù)a的最大值為()A6 B56C36 D2 016考點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用答案A解析由|56x|dx56|x|dx2 016，得|x|dx36，|x|dxa2，a236，即0<a6.故正數(shù)a的最大值為6.二、填空題9若f(x)dx1，3f(x)dx2，則f(x)dx_.考點(diǎn)定積分性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)定積分性質(zhì)的應(yīng)用答案解析 f(x)dxf(x)dx1， f(x)dx2.又3f(x)dx3 f(x)dx2，f(x)dx. f(x)dx f(x)dx f(x)dx2.10如圖所示的陰影部分的面積用定積分表示為_考點(diǎn)定積分的幾何意義及性質(zhì)題點(diǎn)定積分的幾何意義答案dx11定積分(2)dx_.考點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用答案2解析原式2dxdx.因?yàn)?dx2，dx，所以(2)dx2.12已知f(x)是一次函數(shù)，其圖象過點(diǎn)(3,4)且f(x)dx1，則f(x)的解析式為_考點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用答案f(x)x解析設(shè)f(x)axb(a0)，f(x)圖象過(3,4)點(diǎn)，3ab4.又f(x)dx(axb)dxaxdxbdxab1.解方程組得f(x)x.三、解答題13已知f(x)求f(x)在區(qū)間0,5上的定積分考點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用解如圖畫出函數(shù)f(x)的圖象由定積分的幾何意義得xdx×2×22，(4x)dx×(12)×1，dx×2×11.所以f(x)dxxdx(4x)dxdx21.四、探究與拓展14若定積分dx，則m等于()A1 B0C1 D2考點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用答案A解析根據(jù)定積分的幾何意義知，定積分dx的值就是函數(shù)y的圖象與x軸及直線x2，xm所圍成的圖形的面積y是一個以(1,0)為圓心，1為半徑的半圓，其面積等于，而dx，所以m1.15.如圖所示，拋物線yx2將圓x2y28分成兩部分，現(xiàn)在向圓上均勻投點(diǎn)，這些點(diǎn)落在圓中陰影部分的概率為，求dx.考點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)定積分幾何意義的應(yīng)用解解方程組得x±2.陰影部分的面積為dx.圓的面積為8，由幾何概型可得陰影部分的面積是8·2.由定積分的幾何意義得，dxdx.13