2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 2-3 第2課時(shí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（教案）【教學(xué)目標(biāo)】1.知識(shí)與技能： 進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式；了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會(huì)用它們解決一些相關(guān)問(wèn)題，會(huì)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式研究的最值.初步體驗(yàn)函數(shù)思想在解決數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用.2.過(guò)程與方法： 通過(guò)對(duì)公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀： 提高學(xué)生代數(shù)的思維能力，使學(xué)生獲得一定的成就感； 通過(guò)生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題、數(shù)學(xué)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣與欲望，樹(shù)立求真的勇氣與自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感.【教學(xué)重點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的掌握與應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】靈活應(yīng)用求和公式解決問(wèn)題.【教輔手段】多媒體投影儀、黑板【教學(xué)過(guò)程】I.情景設(shè)置溫故知新 首先，回顧上一節(jié)所學(xué)的內(nèi)容：（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1：（2）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2：.新知探究1. 等差數(shù)列的等價(jià)條件例1：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求（1）（2）求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.（3）這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是什么？分析：課本例題，題型比較簡(jiǎn)單，主要是靠引導(dǎo)學(xué)生.過(guò)程略.設(shè)計(jì)意圖本例題實(shí)際上給出了數(shù)列前項(xiàng)和公式判別是否是等差數(shù)列的依據(jù)，要讓學(xué)生們知道等差數(shù)列前項(xiàng)是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為0的關(guān)于的二次型函數(shù).接下來(lái)，我們來(lái)完成一探究題.如果一個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為.其中p、q、r 為常數(shù)，且 ，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？解：由 得又 時(shí) 此類(lèi)數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始為等差數(shù)列.歸納要使數(shù)列為等差數(shù)列，則即設(shè)計(jì)意圖本探究實(shí)際上是對(duì)例1的深化，目的是為了讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到，如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)公式是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為0的關(guān)于的二次型函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列，從而使學(xué)生從結(jié)構(gòu)上認(rèn)識(shí)數(shù)列.2.等差數(shù)列的最值問(wèn)題例2：已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得最大的序號(hào)n的值分析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可以寫(xiě)成 ，所以 可以看成函數(shù)，當(dāng)時(shí)的函數(shù)值.另一方面，容易知道 關(guān)于n的圖像是一條拋物線上的一些點(diǎn)，因此，我們可以利用二次函數(shù)來(lái)求n的值.解：由題意知，等差數(shù)列 的公差為 所以 當(dāng) n取與最接近的整數(shù)即為7或8時(shí)取最大值.設(shè)計(jì)意圖通過(guò)學(xué)習(xí)等差數(shù)列前項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)來(lái)用于實(shí)際題型中的應(yīng)用，加深對(duì)函數(shù)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)。例3：等差數(shù)列 中，求使得最小的序號(hào)的值？解法一（同例2的解法一樣，在此可以帶過(guò)即可）：由得 因此 則 則由以上條件知有最小值.又 ，則=10或11時(shí)取最小值，最小值為.即 解法二：由解法一知 而則數(shù)列為遞增數(shù)列.令 即數(shù)列的前10項(xiàng)均為負(fù)值, =0.從第12項(xiàng)開(kāi)始為正值.n=10或n=11時(shí)取最小值.解法三：即又則數(shù)列 為遞增數(shù)列.數(shù)列的前10項(xiàng)均為負(fù)值， =0.從第12項(xiàng)開(kāi)始為正值.當(dāng)n=10或11是取最小值.設(shè)計(jì)意圖本例是對(duì)例2 的深化，通過(guò)一般的求最值方法，引導(dǎo)學(xué)生思考用簡(jiǎn)單的方法來(lái)解決同樣的問(wèn)題，達(dá)到數(shù)學(xué)淺入深出的學(xué)習(xí)效果。3. 等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)例4：已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，求證也成等差數(shù)列，設(shè)成等差數(shù)列嗎？解法一：由 可得 解法二： 同理可得： （的情況也類(lèi)似，在此省略）設(shè)計(jì)意圖本例是要求學(xué)生通過(guò)自己做題來(lái)得出結(jié)論的，但是為了學(xué)生能更好的理解這個(gè)結(jié)論并且應(yīng)用這個(gè)結(jié)論，在本節(jié)課加了這個(gè)例題，希望可以減輕學(xué)生課后的負(fù)擔(dān)。例5：（備用例題，時(shí)間允許可在課堂上講解）若兩個(gè)數(shù)列和的前項(xiàng)和和滿足關(guān)系式求（分析：條件是前項(xiàng)和的比值，而結(jié)論是通項(xiàng)的比值，所以，需要將通項(xiàng)的比值轉(zhuǎn)化為前項(xiàng)和的比值，恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用等差公式可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.）解：由等差數(shù)列性質(zhì)：設(shè)計(jì)意圖本例題對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)解答比較困難，若果讓學(xué)生自行解答比較吃力，在這里加了講解，希望對(duì)學(xué)生有所幫助?！練w納提升】1.等差數(shù)列的等價(jià)條件 若一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，則 中的C必為0，A、B為任意常數(shù).反之也成立.2.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值有兩種方法第一種：根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來(lái)定若，則數(shù)列的所有正數(shù)項(xiàng)之和最大，若, 則數(shù)列的所有負(fù)數(shù)項(xiàng)之和最小.第二種：由二次函數(shù)的最大，小值知識(shí)及 知.當(dāng)n取接近于的正整數(shù)時(shí)，取最大值（或最小值）值得注意的是接近的正整數(shù)有時(shí)1個(gè)，有時(shí)2個(gè).3.等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，設(shè)也成等差數(shù)列.設(shè)計(jì)意圖總結(jié)是為了讓學(xué)生明白本節(jié)課的重難點(diǎn)在哪，同時(shí)使學(xué)生回顧本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)，達(dá)到復(fù)習(xí)加總結(jié)的效果。【即時(shí)體驗(yàn)】問(wèn)題1.等差數(shù)列中，求數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值.分析：利用歸納的2種解題方法進(jìn)行求解：將Sn表示成關(guān)于n的一元二次函數(shù)的最值求解.確定數(shù)列中負(fù)值的個(gè)數(shù)，由所有項(xiàng)之和最小求解.解答過(guò)程略.問(wèn)題2：已知等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100，前100項(xiàng)和為10，則前110項(xiàng)和為多少？解：成等差數(shù)列，設(shè)其公差為D，又首項(xiàng)為，前10項(xiàng)的和為又問(wèn)題3：若兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和之比是，試求它們的第11項(xiàng)之比.分析：同例3同題型，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的項(xiàng)之比，題目更簡(jiǎn)單化，解答過(guò)程在此處省略.設(shè)計(jì)意圖及時(shí)鞏固，讓學(xué)生活學(xué)活用，直接應(yīng)用本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。達(dá)到加深理解的學(xué)習(xí)效果。八、課后延續(xù)P46習(xí)題2.3.A組第3題；P47習(xí)題2.3.B組第4題設(shè)計(jì)意圖課后作業(yè)可以讓學(xué)生加深本節(jié)課的認(rèn)識(shí)，同時(shí)不忘記鞏固。九、板書(shū)設(shè)計(jì) 幕布課題一、復(fù)習(xí)二、探究題歸納總結(jié)三、最值問(wèn)題歸納四、等差數(shù)列性質(zhì)一 例1二 探究分析三 例2分析四 例3分析十、備用問(wèn)題（高考題）：【xx年高考福建卷·理3】設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=-11，a4+a6=-6，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于（）A、6 B、7 C、8 D、9考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和專題：常規(guī)題型分析：條件已提供了首項(xiàng)，故用“a1，d”法，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的二次函數(shù)解得解答： 解：設(shè)該數(shù)列的公差為d，則a4+a6=2a1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，所以 ，所以當(dāng)n=6時(shí)，Sn取最小值故選A.十一、教后反思