2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪（文） 第三章 3-6二倍角、簡單的三角變換教案1公式的常見變形(1)tan tan tan()(1tan tan )，tan tan tan()(1tan tan )(2)sin2，cos2，sin cos sin 2.(3)1cos 2cos2，1cos 2sin2，1sin (sincos)2，1sin (sincos)2.2輔助角公式asin xbcos xsin(x)，其中sin ，cos .【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)y3sin x4cos x的最大值是7.(×)(2)設(shè)(，2)，則 sin.(×)(3)在非直角三角形中有：tan Atan Btan Ctan Atan Btan C()(4)設(shè)<<3，且|cos |，那么sin的值為.(×)(5)公式asin xbcos xsin(x)中的取值與a，b的值無關(guān)(×)(6)函數(shù)f(x)cos2xsin xcos x在區(qū)間，上的最大值為.()1化簡： .答案sin 解析原式sin .2已知cos ，(，2)，則cos .答案解析(，)，cos.3如果(，)，且sin ，那么sin()cos() .答案解析由已知cos ，sin()cos()sin()cos .4(xx·上海)函數(shù)y12cos22x的最小正周期是 答案解析由題意ycos 4x，T.題型一三角函數(shù)式的化簡求值例1 (1)已知0<<，化簡： .(2)已知sin cos ，且(0，)，則的值為 答案(1)cos (2)解析(1)原式cos·.因為0<<，所以0<<，所以cos>0，所以原式cos .(2)方法一sin cos ，sin cos ，sin()，sin().又(0，)，(，)，cos()，cos 2sin2()2sin()cos()2××，.方法二sin cos ，sin cos ，(sin cos )212sin cos ，2sin cos ，(0，)，sin cos ，(sin cos ).思維升華(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則，一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征(2)三角函數(shù)式化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(1)若，則tan 2 .(2)設(shè)為銳角，若cos()，則sin(2)的值為 答案(1)(2)解析(1)，tan 2，tan 2.(2)為銳角，cos()，sin()，sin(2)2sin()cos()，cos(2)2cos2()1，sin(2)sin(2)sin(2)cos(2).題型二三角函數(shù)的求角問題例2(1)已知銳角，滿足sin ，cos ，則 .(2)已知函數(shù)f(x)tan(2x)，若(0，)且f()2cos 2，則 .答案(1)(2)解析(1)由sin ，cos 且，為銳角，可知cos ，sin ，故cos()cos cos sin sin ××，又0<<，故.(2)由f()2cos 2，得tan()2cos 2，2(cos2sin2)，整理得2(cos sin )(cos sin )(0，)，sin cos 0.(cos sin )2，即sin 2.由(0，)，得2(0，)，2，即.思維升華(1)由三角函數(shù)值求角，一定要考慮角的范圍；(2)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，遵照以下原則：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好(1)已知sin ，sin()，均為銳角，則角 .(2)在ABC中，tan Atan Btan A·tan B，則C .答案(1)(2)解析(1)、均為銳角，<<.又sin()，cos().又sin ，cos ，sin sin()sin cos()cos sin()××().(2)由已知可得tan Atan B(tan A·tan B1)，tan(AB)，又0<AB<，AB，C.題型三三角變換的應(yīng)用例3已知角的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點P(3，)(1)求sin 2tan 的值；(2)若函數(shù)f(x)cos(x)cos sin(x)sin ，求函數(shù)yf(2x)2f2(x)在區(qū)間0，上的取值范圍解(1)角終邊經(jīng)過點P(3，)，sin ，cos ，tan ，sin 2tan 2sin cos tan .(2)f(x)cos(x)cos sin(x)sin cos x，ycos(2x)2cos2xsin 2x1cos 2x2sin(2x)1，0x，02x，2x，sin(2x)1，22sin(2x)11，故函數(shù)yf(2x)2f2(x)在區(qū)間0，上的取值范圍是2,1思維升華三角變換和三角函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合是高考的一個熱點，解題時要注意觀察角、式子間的聯(lián)系，利用整體思想解題(1)函數(shù)f(x)sin xcos(x)的最大值為 (2)函數(shù)f(x)sin(2x)2sin2x的最小正周期是 答案(1)1(2)解析(1)f(x)sin xcos cos xsin sin xcos xsin xsin(x)f(x)max1.(2)f(x)sin 2xcos 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x)，T.二審結(jié)論會轉(zhuǎn)換典例：(xx·山東)設(shè)函數(shù)f(x)sin2xsin xcos x(>0)，且yf(x)圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為.(1)求的值；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值(1)求求f(x)的周期對稱中心與對稱軸的最近距離T求出1(2)求f(x)在，上的最值由(1)得f(x)sin(2x)求f(x)sin(2x)在，上的最值利用換元思想，將2x作為一個整體求2x的范圍由x2x結(jié)合正弦函數(shù)的圖象1f(x).規(guī)范解答解(1)f(x)sin2xsin xcos x×sin 2xcos 2xsin 2xsin.依題意知4×，>0，所以1.(2)由(1)知f(x)sin.當x時，2x.所以sin1.所以1f(x).故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為和1.溫馨提醒(1)討論三角函數(shù)性質(zhì)要先利用三角變換將函數(shù)化成yAsin(x)的形式；(2)解題中將2x視為一個整體，可以借助圖象求函數(shù)最值.方法與技巧1三角函數(shù)的求值與化簡要有聯(lián)系的觀點，注意觀察角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，然后進行變換2利用三角函數(shù)值求角要考慮角的范圍3與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)相結(jié)合的綜合問題借助三角恒等變換將已知條件中的函數(shù)解析式整理為f(x)Asin(x)的形式，然后借助三角函數(shù)圖象解決失誤與防范1利用輔助角公式，asin xbcos x轉(zhuǎn)化時一定要嚴格對照和差公式，防止搞錯輔助角2計算形如ysin(x), xa，b形式的函數(shù)最值時，不要將x的范圍和x的范圍混淆.A組專項基礎(chǔ)訓練(時間：40分鐘)1(xx·課標全國)已知sin 2，則cos2 .答案解析因為cos2，所以cos2.2若sin ，則sin()cos .答案解析sin()cos sin cos cos sincos ×.3在ABC中，tan B2，tan C，則A .答案解析tan Atan(BC)tan(BC)1.又A為ABC的內(nèi)角故A.4若tan ，(，)，則sin(2)的值為 答案解析由tan 得，sin 2.(，)，2(，)，cos 2.sin(2)sin 2cos cos 2sin ×().5已知cos 2，則sin4cos4的值為 答案解析sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos21sin221(1cos22).6已知sin(45°)，0°<<90°，則cos .答案解析0°<<90°，45°<45°<45°，cos(45°)，cos cos(45°)45°cos(45°)cos 45°sin(45°)sin 45°.7設(shè)x，則函數(shù)y的最小值為 答案解析ytan x.x(0，)，tan x>0.tan x2.(當tan x，即x時取等號)即函數(shù)的最小值為.8已知tan()3，則sin 22cos2的值為 答案解析tan()3，3，解得tan .sin 22cos2sin 2cos 21111.9已知tan ，cos ，(，)，(0，)，求tan()的值，并求出的值解由cos ，(0，)，得sin ，tan 2.tan()1.(，)，(0，)，<<，.10已知函數(shù)f(x)2sin(x)，xR.(1)求f()的值；(2)設(shè)，0，f(3)，f(32)，求cos()的值解(1)由題設(shè)知：f()2sin()2sin.(2)由題設(shè)知：f(3)2sin ，f(32)2sin()2cos ，即sin ，cos ，又，0，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin ××.B組專項能力提升(時間：25分鐘)1cos 20°cos 40°cos 60°·cos 80° .答案解析原式.2定義運算adbc，若cos ，0<<<，則 .答案解析依題意有sin cos cos sin sin()，又0<<<，0<<，故cos()，而cos ，sin ，于是sin sin()sin cos()cos sin()××，故.3sin()，則sin 2 .答案解析sin()sin cos ，sin cos ，(sin cos )2sin2cos22sin cos 1sin 2，故sin 2.4(xx·北京)已知函數(shù)f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若，且f()，求的值解(1)f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin，f(x)的最小正周期T，最大值為.(2)由f()，得sin1.，則<4<，所以4，故.5(xx·天津)已知函數(shù)f(x)cos xsin(x)cos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在閉區(qū)間，上的最大值和最小值解(1)由已知，有f(x)cos x·(sin xcos x)cos2xsin x·cos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x)所以f(x)的最小正周期T.(2)因為f(x)在區(qū)間，上是減函數(shù)，在區(qū)間，上是增函數(shù)，f()，f()，f()，所以，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間，上的最大值為，最小值為.