2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-2 參數(shù)方程教案1參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線(xiàn)的參數(shù)方程和普通方程是曲線(xiàn)方程的不同形式一般地，可以通過(guò)消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程(2)如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系yg(t)，那么就是曲線(xiàn)的參數(shù)方程2常見(jiàn)曲線(xiàn)的參數(shù)方程和普通方程點(diǎn)的軌跡普通方程參數(shù)方程直線(xiàn)yy0tan (xx0)(t為參數(shù))圓x2y2r2(為參數(shù))橢圓1(a>b>0)(為參數(shù))雙曲線(xiàn)1 ，(a>0，b>0)(為參數(shù))拋物線(xiàn)y22px (p>0)(t為參數(shù))1直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，求直線(xiàn)l的斜率解將直線(xiàn)l的參數(shù)方程化為普通方程為y23(x1)，因此直線(xiàn)l的斜率為3.2已知直線(xiàn)l1：(t為參數(shù))與直線(xiàn)l2：(s為參數(shù))垂直，求k的值解直線(xiàn)l1的方程為yx，斜率為；直線(xiàn)l2的方程為y2x1，斜率為2.l1與l2垂直，()×(2)1k1.3已知點(diǎn)P(3，m)在以點(diǎn)F為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)(t為參數(shù))上，求PF的值解將拋物線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程為y24x，則焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x1，又P(3，m)在拋物線(xiàn)上，由拋物線(xiàn)的定義知PF3(1)4.4已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是1，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，求直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交所截的弦長(zhǎng)解曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為x2y21，直線(xiàn)l的普通方程為3x4y30.圓心到直線(xiàn)的距離d.直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交所截的弦長(zhǎng)為2.題型一參數(shù)方程與普通方程的互化例1(1)如圖，以過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)的傾斜角為參數(shù)，求圓x2y2x0的參數(shù)方程(2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(s為參數(shù))，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若l與C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)解(1)圓的半徑為，記圓心為C(，0)，連結(jié)CP，則PCx2，故xPcos 2cos2，yPsin 2sin cos (為參數(shù))所以圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)直線(xiàn)l的普通方程為xy2，曲線(xiàn)C的普通方程為y(x2)2(y0)，聯(lián)立兩方程得x23x20，求得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，(2,0)，所以AB.思維升華消去參數(shù)的方法一般有三種：(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式，然后代入消去參數(shù)；(2)利用三角恒等式消去參數(shù)；(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，靈活的選用一些方法從整體上消去參數(shù)將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍(1)求直線(xiàn)(t為參數(shù))與曲線(xiàn)(為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線(xiàn)l：(t為參數(shù))過(guò)橢圓C：(為參數(shù))的右頂點(diǎn)，求常數(shù)a的值解(1)將消去參數(shù)t得直線(xiàn)xy10；將消去參數(shù)得圓x2y29.又圓心(0,0)到直線(xiàn)xy10的距離d<3.因此直線(xiàn)與圓相交，故直線(xiàn)與曲線(xiàn)有2個(gè)交點(diǎn)(2)直線(xiàn)l的普通方程為xya0，橢圓C的普通方程為1，橢圓C的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，若直線(xiàn)l過(guò)(3,0)，則3a0，a3.題型二參數(shù)方程的應(yīng)用例2已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求直線(xiàn)l和圓C的普通方程；(2)若直線(xiàn)l與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)直線(xiàn)l的普通方程為2xy2a0，圓C的普通方程為x2y216.(2)因?yàn)橹本€(xiàn)l與圓C有公共點(diǎn)，故圓C的圓心到直線(xiàn)l的距離d4，解得2a2.思維升華已知圓、圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般是把參數(shù)方程化為普通方程，通過(guò)互化解決與圓、圓錐曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，如最值、范圍等在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1和C2的參數(shù)方程分別為和(t為參數(shù))，求曲線(xiàn)C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)解曲線(xiàn)C1的普通方程為x2y25(x0，y0)曲線(xiàn)C2的普通方程為xy10.解方程組得曲線(xiàn)C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)題型三極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用例3(xx·課標(biāo)全國(guó))在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1：(t為參數(shù)，t0)，其中0，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C2：2sin ，曲線(xiàn)C3：2cos .(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求AB的最大值解(1)曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0，曲線(xiàn)C3的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和.(2)曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為(R，0)，其中0.因此A的極坐標(biāo)為(2sin ，)，B的極坐標(biāo)為(2cos ，)所以AB|2sin 2cos |4.當(dāng)時(shí)，AB取得最大值，最大值為4.思維升華在對(duì)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考查中，最能體現(xiàn)坐標(biāo)法的解題優(yōu)勢(shì)，靈活地利用坐標(biāo)法可以使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解答例如，將題設(shè)條件中涉及的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后在直角坐標(biāo)系下對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解就是一種常見(jiàn)的解題方法，對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的“化生為熟”原則，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為2cos()，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線(xiàn)l和圓C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，P是圓C上不同于A(yíng)，B的任意一點(diǎn)(1)求圓心的極坐標(biāo)；(2)求PAB面積的最大值解(1)由圓C的極坐標(biāo)方程為2cos()，得22(cos sin )，把代入可得圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.圓心坐標(biāo)為(1，1)，圓心的極坐標(biāo)為(，)(2)由題意，得直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為2xy10.圓心(1，1)到直線(xiàn)l的距離d，AB22.點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的最大值為rd，Smax××.1將參數(shù)方程化為普通方程是解決問(wèn)題的一般思路，體現(xiàn)了化歸思想2將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，不要增解；確定曲線(xiàn)的參數(shù)方程時(shí)，一定要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求確定參數(shù)的取值范圍，必要時(shí)通過(guò)限制參數(shù)的范圍去掉多余的解.A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：50分鐘)1求直線(xiàn)(t為參數(shù))被曲線(xiàn)(為參數(shù))所截得的弦長(zhǎng)解直線(xiàn)方程可化為xy0，曲線(xiàn)方程可化為x21.由得x2x0，x0或x1.可得交點(diǎn)為A(0，)，B(1,0)AB2.所截得的弦長(zhǎng)為2.2直線(xiàn)(t為參數(shù))與圓(為參數(shù))相切，求切線(xiàn)的傾斜角解直線(xiàn)的普通方程為bxay4b0，圓的普通方程為(x2)2y23，直線(xiàn)與圓相切，則圓心(2,0)到直線(xiàn)的距離為，從而有，即3a23b24b2，b±a，而直線(xiàn)的傾斜角的正切值為tan ，tan ±，因此切線(xiàn)的傾斜角為或.3已知直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程：(t為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求以極點(diǎn)為圓心且與直線(xiàn)l相切的圓的極坐標(biāo)方程解直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為xy0.原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離r1.以極點(diǎn)為圓心且與直線(xiàn)l相切的圓的極坐標(biāo)方程為1.4(xx·湖北)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為(sin 3cos )0，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，l與C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)解直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程(sin 3cos )0化為直角坐標(biāo)方程為3xy0，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程兩式經(jīng)過(guò)平方相減，化為普通方程為y2x24，聯(lián)立解得或所以A，B.所以AB 2.5在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以O(shè)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C2的方程為sin()2，求曲線(xiàn)C1與曲線(xiàn)C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)解曲線(xiàn)C1，C2化為普通方程和直角坐標(biāo)方程分別為x22y，xy40，聯(lián)立消去y得x22x80，因?yàn)榕袆e式>0，所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解故曲線(xiàn)C1與曲線(xiàn)C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.6在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y24x相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)解將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入拋物線(xiàn)方程y24x，得24，解得t10，t28.所以AB|t1t2|8.B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)7(xx·陜西)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，C的極坐標(biāo)方程為2sin .(1)寫(xiě)出C的直角坐標(biāo)方程；(2)P為直線(xiàn)l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo)解(1)由2sin ，得22sin ，從而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)設(shè)P，又C(0，)，則PC ，故當(dāng)t0時(shí)，PC取得最小值，此時(shí)，P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,0)8已知直線(xiàn)C1：(t為參數(shù))，曲線(xiàn)C2：(為參數(shù))(1)當(dāng)時(shí)，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作C1的垂線(xiàn)，垂足為A，P為OA的中點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線(xiàn)解(1)當(dāng)時(shí)，C1的普通方程為y(x1)，C2的普通方程為x2y21，聯(lián)立方程得解得C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0)，(，)(2)依題意，C1的普通方程為xsin ycos sin 0，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin2，sin cos )，故當(dāng)變化時(shí)，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù))，P點(diǎn)軌跡的普通方程為(x)2y2.故P點(diǎn)的軌跡是圓心為(，0)，半徑為的圓9已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為4sin()(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)點(diǎn)P(x，y)是直線(xiàn)l與圓面4sin()的公共點(diǎn)，求xy的取值范圍解(1)因?yàn)閳AC的極坐標(biāo)方程為4sin()，所以24sin()4(sin cos )又2x2y2，xcos ，ysin ，所以x2y22y2x，所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y0.(2)設(shè)zxy，由圓C的方程x2y22x2y0，得(x1)2(y)24，所以圓C的圓心是(1，)，半徑是2.將代入zxy，得zt.又直線(xiàn)l過(guò)C(1，)，圓C的半徑是2，所以2t2，所以2t2，即xy的取值范圍是2,210在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓x2y24xcos 4ysin 7cos280 (R，為參數(shù))的圓心軌跡為曲線(xiàn)C，點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上運(yùn)動(dòng)以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為2cos3，求點(diǎn)P到直線(xiàn)l的最大距離解將動(dòng)圓的方程配方，得(x2cos )2(y2sin )293sin2，設(shè)圓心(x，y)，則 (R，為參數(shù))，即曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為 (R，為參數(shù))，直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為xy30，設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，則(R，為參數(shù))，點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離d，其中tan .當(dāng)sin()1，點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離d取得最大值.