第一章 集合、常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)體系p1第1講集合及其運(yùn)算【課程要求】1了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系，能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)來(lái)描述不同的具體問(wèn)題，理解集合中元素的互異性2理解集合之間包含和相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集，了解在具體情境中全集與空集的含義3理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集，理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集4能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合間的關(guān)系與運(yùn)算對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p1【基礎(chǔ)檢測(cè)】1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集()(2)x|y1y|y1(x，y)|y1()(3)若，10，1，則x0或x1.()(4)x|x2a|a2()(5)對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B，關(guān)系(AB)(AB)恒成立()(6)若ABAC，則BC.()答案 (1)×(2) ×(3)×(4) (5)(6)×2必修1p44A組T4已知集合A0，1，B1，0，a3，若AB，則a的值為()A2 B1 C0 D1解析 因?yàn)?，11，0，a3，所以a31，解得a2.答案 A3必修1p11例9已知U|0°180°，Ax|x是銳角，Bx|x是鈍角，則U(AB)_答案 x|x是直角4必修1p44A組T5已知集合A(x，y)|yx2，B(x，y)|yx，則AB中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)解析 集合A表示拋物線(xiàn)yx2上的點(diǎn)的集合，集合B表示直線(xiàn)yx上的點(diǎn)的集合，拋物線(xiàn)yx2與直線(xiàn)yx相交于兩點(diǎn)(0，0)，(1，1)，則AB中有兩個(gè)元素答案 25已知全集UR，集合Ax|x2x6<0，B1，2，3，4，則Venn圖中陰影部分所表示的集合是()A1，2 B2，3C3，4 D2，3，4解析 由題意Ax|2<x<3，UAx|x2或x3，陰影部分為(UA)B3，4答案 C6已知集合P2，3，4，5，6，Q3，4，5，7，若MPQ，則M的子集個(gè)數(shù)為_(kāi)解析 由題意可知，M3，4，5，故M的子集個(gè)數(shù)為238.答案 8【知識(shí)要點(diǎn)】1集合與元素(1)集合中元素的三個(gè)特征：_確定性_、_互異性_、_無(wú)序性_(2)元素與集合的關(guān)系是_屬于_或_不屬于_，用符號(hào)_或_表示(3)集合的表示法：_列舉法_、_描述法_、_圖示法_(4)常見(jiàn)數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*(或N)ZQR2集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言Venn圖子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xA，則xB)_AB(或BA)_真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不在集合A中_AB(或BA)_集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互為子集_AB_3.集合的基本運(yùn)算運(yùn)算自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言Venn圖交集由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合ABx|xA且xB并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合ABx|xA或xB補(bǔ)集由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合UAx|xU且xA【知識(shí)拓展】1若有限集合A中有n個(gè)元素，則集合A的子集個(gè)數(shù)為_(kāi)2n_，真子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)2n1_2ABAB_A_AB_B_3A(UA)_；A(UA)_U_；U(UA)_A_對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p2集合的基本概念例1(1)已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，則AB中元素的個(gè)數(shù)為()A3 B2 C1 D0解析 因?yàn)锳表示圓x2y21上的點(diǎn)的集合，B表示直線(xiàn)yx上的點(diǎn)的集合，直線(xiàn)yx與圓x2y21有兩個(gè)交點(diǎn)，所以AB中元素的個(gè)數(shù)為2.答案 B(2)已知集合Am2，2m2m，若3A，則m的值為_(kāi)解析 由題意得m23或2m2m3，則m1或m，當(dāng)m1時(shí)，m23且2m2m3，根據(jù)集合元素的互異性可知不滿(mǎn)足題意；當(dāng)m時(shí)，m2，而2m2m3，故m.答案 小結(jié)(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類(lèi)型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類(lèi)型的集合(2)集合中元素的互異性常常容易被忽略，求解問(wèn)題時(shí)要特別注意分類(lèi)討論的思想方法常用于解決集合問(wèn)題1(多選)若集合Ax|mx22xm0，mR中有且只有一個(gè)元素，則m的值可以是()A1 B0C. D1解析 當(dāng)m0時(shí)，Ax|2x00，滿(mǎn)足題意；當(dāng)m0時(shí)，44m20，m±1.答案 ABD2設(shè)P，Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合PQab|aP，bQ，若P0，2，5，Q1，2，6，則PQ中元素的個(gè)數(shù)是()A9 B8 C7 D6解析 當(dāng)a0時(shí)，ab1，2，6；當(dāng)a2時(shí)，ab3，4，8；當(dāng)a5時(shí)，ab6，7，11.由集合中元素的互異性知，PQ中有1，2，3，4，6，7，8，11，共8個(gè)元素答案 B集合間的基本關(guān)系例2(1)(多選)已知集合AxR|x2x60，BxR|ax10，若BA，則實(shí)數(shù)a的值可以為()A. B C. D0解析 由題意知，A2，3當(dāng)a0時(shí)，B，滿(mǎn)足BA；當(dāng)a0時(shí)，ax10的解為x，由BA，可得3或2，a或a.綜上可知，a的值可以為或或0.答案 BCD(2)已知集合Ax|x2x120，Bx|2m1<x<m1，且ABB，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A1，2) B1，3C2，) D1，)解析 由x2x120，得(x3)(x4)0，即3x4，所以Ax|3x4又ABB，所以BA.當(dāng)B時(shí)，有m12m1，解得m2；當(dāng)B時(shí)，有解得1m<2.綜上，m的取值范圍是1，)答案 D小結(jié) (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會(huì)造成漏解(2)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿(mǎn)足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來(lái)直觀解決這類(lèi)問(wèn)題3設(shè)a，bR，集合1，ab，a，則ba()A1 B1 C2 D2解析 因?yàn)?，ab，a，所以a0，ab0，則1，所以a1，b1.所以ba2.答案 C4已知集合A，Bx|xm21，若AB，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析 因?yàn)閥，x，所以y.又因?yàn)锳B，所以1m2，解得m或m.答案 集合的基本運(yùn)算例3(1)設(shè)全集為R，集合Ax|x290，Bx|1x5，則A(RB)_解析 由題意知，Ax|x290x|3x3，Bx|1x5，RBx|x1或x5A(RB)x|3x3x|x1或x5x|3x1答案 x|3x1(2)已知集合Py|y2y2>0，Qx|x2axb0若PQR，且PQ(2，3，則ab()A5 B5 C1 D1解析 Py|y2y2>0y|y>2或y<1由PQR及PQ(2，3，得Q1，3，所以a13，b1×3，即a2，b3，ab5，故選A.答案 A(3)設(shè)全集Ux|2x<5，xZ，A0，2，3，4，B1，0，1，2，則圖中陰影部分所表示的集合為()A0，2 B3，4C0，3，4 D2，1，0，1，2解析 陰影部分所表示的集合為A(UB)，集合A0，2，3，4，UB2，3，4，則A(UB)3，4故選B.答案 B小結(jié) (1)一般來(lái)講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的，則用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況(2)運(yùn)算過(guò)程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化(3)進(jìn)行集合基本運(yùn)算時(shí)要注意對(duì)應(yīng)不等式端點(diǎn)值的處理，尤其是求解集合補(bǔ)集的運(yùn)算，一定要注意端點(diǎn)值的取舍5已知集合Ax|x26x50，Bx|ylog2(x2)，則AB()A(1，2) B1，2)C(2，5 D2，5解析 由x26x50的解集為x|1x5，得A1，5由x2>0，解得x>2，故B(2，)把兩個(gè)集合A，B在數(shù)軸上表示出來(lái)，如圖，可知AB(2，5答案 C6設(shè)集合Ay|y2x，xR，Bx|x21<0，則AB()A(1，1) B(0，1)C(1，) D(0，)解析 Ay|y>0，Bx|1<x<1，AB(1，)，故選C.答案 C7(多選)已知全集U1，2，3，4，5，集合M3，4，5，N1，2，5，則集合1，2可以表示為()AUM B(UM)NCM(UN) D(UM)(UN)解析 由題意得：UM1，2，UN3，4，所以MN5，(UM)N1，2，M(UN)3，4，(UM)(UN).答案 AB集合中的創(chuàng)新問(wèn)題例4(1)設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，定義集合ABx|xA，且xB，若AxN|0x5，Bx|x27x10<0，則AB()A0，1 B1，2C0，1，2 D0，1，2，5解析 因?yàn)锳xN|0x5，所以A0，1，2，3，4，5解不等式x27x10<0，即(x2)(x5)<0，得2<x<5.所以B(2，5)因?yàn)锳Bx|xA，且xB，而3，4B，0，1，2，5B，所以AB0，1，2，5，故選D.答案 D(2)已知集合M(x，y)|yf(x)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)(x1，y1)M，都存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，則稱(chēng)集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”給出下列四個(gè)集合：M；M(x，y)|ylog2x；M(x，y)|yex2；M(x，y)|ysin x1其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是()A B C D解析 記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由x1x2y1y20得OAOB.對(duì)于，對(duì)任意AM，不存在BM，使得OAOB.對(duì)于，當(dāng)A為點(diǎn)(1，0)時(shí)，不存在BM滿(mǎn)足題意對(duì)于，對(duì)任意AM，過(guò)原點(diǎn)O可作直線(xiàn)OBOA，它們都與函數(shù)yex2及ysin x1的圖象相交，即滿(mǎn)足題意，故選C.答案 C小結(jié)解決以集合為背景的新定義問(wèn)題，要抓住兩點(diǎn)：(1)緊扣新定義首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中(2)用好集合的性質(zhì)解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素8定義一種新的集合運(yùn)算：ABx|xA，且xB若集合Ax|x24x3<0，Bx|2x4，則按運(yùn)算，BA等于()Ax|3<x4 Bx|3x4Cx|3<x<4 Dx|2x4解析 Ax|1<x<3，Bx|2x4，由題意知，BAx|xB，且xAx|3x4答案 B9設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于kA，如果k1A，且k1A，那么稱(chēng)k是A的一個(gè)“孤立元”給定S1，2，3，4，5，6，7，8，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_個(gè)解析 依題意可知，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”時(shí)，這三個(gè)元素一定是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)故這樣的集合共有6個(gè)答案 6對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p3(2019·全國(guó)卷理)已知集合Mx，Nx|x2x6<，則MN()Ax BxCx Dx解析 因?yàn)镸x|4<x<2，Nx|x2x6<0x|(x2)(x3)<0x|2<x<3所以MNx|2<x<2，選C.答案 C10