第3講平面向量 2019考向導航考點掃描三年考情考向預測2019201820171平面向量的概念及線性運算江蘇高考對平面向量考查命題熱點是：平面向量的幾何意義、數(shù)量積、兩向量平行與垂直試題常以填空題形式出現(xiàn)，數(shù)量積是命題熱點平面向量常與三角函數(shù)、解析幾何等知識相結合，以解答題形式呈現(xiàn)，難度中等2平面向量的數(shù)量積第12題第13題3平面向量與其他知識點的綜合運用第12題第16題1必記的概念與定理(1)零向量模的大小為0，方向是任意的，它與任意非零向量都共線，記為0(2)長度等于1個單位長度的向量叫單位向量，a的單位向量為(3)方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量)(4)如果直線l的斜率為k，則a(1，k)是直線l的一個方向向量2平面向量的兩個重要定理(1)向量共線定理：向量a(a0)與b共線當且僅當存在唯一一個實數(shù)，使ba(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一組基底3平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b|a|b|cos ，其中是a與b的夾角向量夾角的范圍是0°180°，a與b同向時，夾角0°；a與b反向時，夾角180°4記住幾個常用的公式與結論(1)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)(3)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)(4)設a(x，y)，R，則a(x，y)(5)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·bx1x2y1y2(6)兩向量a，b的夾角公式：cos (a(x1，y1)，b(x2，y2)(7)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a0，則abbax1y2x2y10ab(b0)a·b0x1x2y1y205需要關注的易錯易混點(1)向量共線的充要條件中要注意“a0”，否則可能不存在，也可能有無數(shù)個(2)只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對基底的選取不唯一，平面內任意向量a都可被這個平面的一組基底e1，e2線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的(3)要區(qū)分點的坐標與向量坐標的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標中既有方向的信息也有大小的信息(4)“a·b>0”是“為銳角”的必要不充分條件， “a·b<0”是“為鈍角”的必要不充分條件平面向量的概念及線性運算典型例題 (1)已知向量a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，則mn的值為_(2)如圖，在同一個平面內，向量，的模分別為1，1，與的夾角為，且tan 7，與的夾角為45°若mn(m，nR)，則mn_【解析】(1)因為manb(2mn，m2n)(9，8)，所以所以所以mn253(2)法一：以O為坐標原點，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A(1，0)，由tan 7，得sin ，cos ，設C(xC，yC)，B(xB，yB)，則xC|cos ×，yC|sin ×，即C又cos(45°)××，sin (45°)××，則xB|cos(45°)，yB|sin (45°)，即B，由m n ，可得解得所以mn3法二：由tan 7，得sin ，cos ，則cos(45°)××，·1××1，·1××，·1×1×，由m n ，得·m 2n ·，即mn，同理可得·m ·n 2，即1mn，聯(lián)立，解得所以mn3【答案】(1)3(2)3(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解(3)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算對點訓練1(2019·徐州模擬)如圖，在平面四邊形ABCD中，ABC90°，DCA2BAC若xy(x，yR)，則xy的值為_解析 如圖，延長DC，AB交于點E，因為DCA2BAC，所以BACCEA又ABC90°，所以因為xy，所以xy因為C，D，E三點共線，所以xy1，即xy1答案 12(2019·江門模擬)已知D為三角形ABC邊BC的中點，點P滿足0，則實數(shù)的值為_解析 如圖所示，由且0，則P為以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點，因此2，則2答案 2平面向量的數(shù)量積典型例題 (2019·高考江蘇卷)如圖，在ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE2EA，AD與CE交于點O若·6·，則的值是_【解】法一：以點D為坐標原點，BC所在的直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，不妨設B(a，0)，C(a，0)，A(b，c)，a>0，c>0，由BE2EA得E，則直線OA：yx，直線CE：(b2a)yc(xa)，聯(lián)立可得O，則·(ab，c)·(ab，c)b2c2a2，··，由·6·得b2c2a22(b2c22ab)，化簡得4abb2c2a2，則法二： 由A，O，D三點共線，可設，則()，由E，O，C三點共線可設，則()，則(1)(1)·，由平面向量基本定理可得解得，則()，則6·6×()·(·22)·，化簡得322，則向量數(shù)量積是高考命題的熱點，可以說是必考內容向量數(shù)量積主要應用于三類問題：一是角度問題，二是求模問題，三是與三角形結合解決有關問題涉及數(shù)量積和模的計算問題，通常有兩種求解思路：(1)直接利用數(shù)量積的定義， 在利用定義計算時，要善于將相關向量分解為圖形中模、夾角和已知的向量進行計算求平面向量的模時，常把模的平方轉化為向量的平方(2)建立坐標系，通過坐標運算求解對點訓練3(2019·蘇北四市高三模擬)已知|，且·1，若點C滿足|1，則|的取值范圍是_解析 由題意可得·|·|cosAOB2cosAOB1，則cosAOB，AOB以點O為坐標原點，OA所在直線為x軸，過點O且與OA垂直的直線為y軸建立平面直角坐標系，則A(，0)，B，設C(x，y)，則，又|1，所以1，即點C的軌跡是以點為圓心，以1為半徑的圓|的幾何意義是點C到坐標原點的距離，又圓心到坐標原點的距離為，所以1|1答案 1，14(2019·益陽、湘潭調研)已知非零向量a，b滿足a·b0，|ab|t|a|，若ab與ab的夾角為，則t的值為_解析 因為a·b0，所以(ab)2(ab)2，即|ab|ab|又|ab|t|a|，所以|ab|ab|t|a|因為ab與ab的夾角為，所以cos ，整理得，即(2t2)|a|22|b|2又|ab|t|a|，平方得|a|2|b|2t2|a|2，所以|a|2t2|a|2，解得t2因為t0，所以t答案 平面向量與三角函數(shù)的綜合運用典型例題 (2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市模擬)已知向量a，b(1，4cos )，(0，)(1)若ab，求tan 的值；(2)若ab，求的值【解】(1)因為ab，所以sin12cos 0，即sin cos 12cos 0，即sin cos 0，又cos 0，所以tan (2)若ab，則4cos sin3，即4cos 3，所以sin 2cos 22, 所以sin1，因為(0，)，所以2，所以2，即在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用平面向量的語言表述三角函數(shù)中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識解決平面向量問題，在解決此類問題的過程中，只要根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識解決問題對點訓練5(2019·江蘇省四星級學校聯(lián)考)已知向量a(2，cos 2x)，b，函數(shù)f(x)a·b(1)若f()，求f的值；(2)若函數(shù)g(x)af(x)b的定義域為，值域為1，3，求實數(shù)a，b的值解 由題意知f(x)2cos2cos 2xcos1cos 2x2sin1(1)因為f()2sin1，所以sin又，所以2，則cos因為f2sin12sin 21，sin 2sin××，所以f2×11(2)因為g(x)af(x)b2asinab，由x可得，2x，所以sin顯然a0，當a0時，由題意可得，解得；當a0時，由題意可得，解得綜上，或1已知a與b是兩個不共線向量，且向量ab與(b3a)共線，則_解析 由題意知abk(b3a)，所以解得答案 2(2019·江蘇名校高三入學摸底)已知平面向量a，b是互相垂直的單位向量，且c·ac·b1，則|a2b3c|_解析 設a(1，0)，b(0，1)，c(x，y)，則c·ax1，c·by1，所以c(1，1)，所以a2b3c(2，5)，所以|a2b3c|答案 3(2019·南京、鹽城高三模擬)如圖，在ABC中，ABAC3，cosBAC，2，則·的值為_解析 由2，得(2)，又，ABAC3，cosBAC，所以·(2)·()(93)2答案 24已知|a|1，|b|6，a·(ba)2，則向量a與b的夾角_解析 因為a·(ba)a·ba22，所以a·b2a23所以cos 所以向量a與b的夾角為答案 5(2019·無錫市高三模擬)已知平面向量，滿足|1，且與的夾角為120°，則的模的取值范圍為_解析 法一：由|1，且與的夾角為120°，作向量，則，在OAB中，OAB180°120°60°，OB1，則由正弦定理，得OAsinABO，即0<|法二：設|u，|v，由|2|()|222·()()2，得v2uvu210，再由關于v的一元二次方程有解，得u24(u21)0，又u>0，故0<u，即0<|答案 6(2019·高三第一次調研測試)在平面四邊形ABCD中，AB1，DADB，則·3，·2，則|2|的最小值為_解析 以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則A，B設D(0，b)，C(m，n)，則·(1，0)·m3，解得m，·(3，n)·nb2，得nb易得2(4，n2b)，則|2|2，當且僅當n2b時取等號，故|2|的最小值為2答案 27(2019·南通市高三模擬)如圖，在同一平面內，點A位于兩平行直線m，n的同側，且A到m，n的距離分別為1，3點B，C分別在m，n上，|5，則·的最大值是_解析 以直線n為x軸，過點A且垂直于n的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，則A(0，3)，設C(c，0)，B(b，2)，則(b，1)，(c，3)，從而(bc)2(4)252，即(bc)29，又·bc33，當且僅當bc時取等號答案 8(2019·南京高三模擬)在凸四邊形ABCD中，BD2，且·0，()·()5，則四邊形ABCD的面積為_解析 ()·()()·()()·()5，即AC2BD25因為BD2，所以AC3，所以四邊形ABCD的面積為AC×BD×2×33答案 39(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考信息卷(一)如圖，點A，B，C在半徑為5的圓O上，E是OA的中點，AB8，AC6，xy(x，y是實數(shù))，則的值是_解析 連結BC，根據(jù)題意，可知AB2AC2102，又圓O的半徑為5，則直徑是10，所以BC恰好是圓O的直徑，所以ABAC()()，此時x，y，xy()1又()，·()·()(22)，故答案 10(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調研)在平面直角坐標系xOy中，設點A(1，0)，B(0，1)，C(a，b)，D(c，d)，若不等式2(m2)·m(·)·(·)對任意實數(shù)a，b，c，d都成立，則實數(shù)m的最大值是_解析 原不等式可化為(ac)2(bd)2(m2)·(acbd)mbc，即a2b2c2d2m(acbdbc)0，整理成關于實數(shù)a的不等式為a2mcab2c2d2mbdmbc0，此式恒成立，從而1m2c24(b2c2d2mbdmbc)0，再整理成關于實數(shù)d的不等式為d2mbdb2c2mbcm2c20，從而2m2b240，再整理成關于實數(shù)b的不等式為(4m2)b24mcb4c2m2c20，從而，解得1m1，所以m的最大值是1答案 111(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(一)已知在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若向量m(cos A，cos B)，n(b2c，a)，且mn(1)求角A的大小；(2)若a4，bc8，求AC邊上的高h的值解 (1)因為mn，所以m·n0，所以(b2c)cos Aacos B0，由正弦定理得cos Asin B2cos Asin Ccos Bsin A0，即sin(AB)2cos Asin C0，因為ABC，所以sin(AB)sin C，所以sin C2cos Asin C0又C(0，)，所以sin C0，所以cos A因為A(0，)，所以A(2)由解得bc4又SABCbcsin Ah·AC，所以h212(2019·蘇州期末檢測)已知向量a(sin ，2)，b(cos ，1)，且a，b共線，其中(1)求tan的值；(2)若5cos ()3cos ，0，求的值解 (1)因為ab，所以sin 2cos 0，即tan 2所以tan 3(2)由(1)知tan 2，又，所以sin ，cos ，因為5cos()3cos ，所以5(cos cos sin sin )3cos ，即cos 2sin 3cos ，所以cos sin ，即tan 1，又0，所以13已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0<<x<(1)若，求函數(shù)f(x)b·c的最小值及相應x的值；(2)若a與b的夾角為，且ac，求tan 2的值解 (1)因為b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，所以f(x)b·ccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，則2sin xcos xt21，且1<t<則yt2t1，1<t<，所以當t時，ymin，此時sin xcos x，即sin，因為<x<，所以<x<，所以x，所以x所以函數(shù)f(x)的最小值為，相應x的值為(2)因為a與b的夾角為，所以cos cos cos xsin sin xcos(x)因為0<<x<，所以0<x<，所以x因為ac，所以cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0，所以sin(x)2sin 20，即sin2sin 20所以sin 2cos 20，所以tan 214(2019·鎮(zhèn)江期末)已知ABC的面積為S，且·S(1)求sin A；(2)若|3，|2，求sin B解 (1) 因為ABC的面積為S，且·S，所以bccos A×bcsin A，所以sin Acos A，所以A為銳角，且sin2Acos2Asin2Asin2Asin2A1，所以sin A(2)設ABC中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，因為|c3，|a2，由正弦定理得，即，所以sin C，又因為ca，則C為銳角，所以C，所以sin Bsinsin Acos cos Asin ××- 15 -