第三章 空間向量與立體幾何1空間向量加減法運(yùn)用的三個(gè)層次空間向量是處理立體幾何問(wèn)題的有力工具，但要用好向量這一工具解題，必須熟練運(yùn)用加減法運(yùn)算第1層用已知向量表示未知向量例1如圖所示，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，P，Q是MN的三等分點(diǎn)，用向量，表示和.解()()×()；()()×().點(diǎn)評(píng)用已知向量來(lái)表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們可把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立第2層化簡(jiǎn)向量例2如圖，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD.設(shè)M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量(1)；(2)()；(3)()解(1).(2)().(3)().，如圖所示點(diǎn)評(píng)要求空間若干向量之和，可以通過(guò)平移，將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為0.兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間仍成立，求始點(diǎn)相同的兩個(gè)向量之和時(shí)，可以考慮運(yùn)用平行四邊形法則第3層證明立體幾何問(wèn)題例3如圖，已知M，N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點(diǎn)，且GMGA13.求證：B，G，N三點(diǎn)共線證明設(shè)a，b，c，則a(abc)abc，()abc.，即B，G，N三點(diǎn)共線.2空間向量易錯(cuò)點(diǎn)掃描易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系理解不清例1“a·b<0”是“a，b為鈍角”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)錯(cuò)解a·b<0cosa，b<0a，b為鈍角，所以“a·b<0”是“a，b為鈍角”的充要條件錯(cuò)因分析錯(cuò)解中忽略了兩個(gè)向量共線且反向的情況剖析當(dāng)a，b時(shí)，a·b<0，但此時(shí)夾角不為鈍角，所以“a·b<0”是“a，b為鈍角”的必要不充分條件正解必要不充分總結(jié)a·b<0a與b夾角為鈍角或a與b方向相反，a·b>0a與b夾角為銳角或a與b方向相同易錯(cuò)點(diǎn)2忽略兩向量的夾角的定義例2如圖所示，在120°的二面角AB中，AC，BD，且ACAB，BDAB，垂足分別為A，B.已知ACABBD6，試求線段CD的長(zhǎng)錯(cuò)解ACAB，BDAB，·0，·0，二面角AB的平面角為120°，120°.CD22()22222·2·2·3×622×62×cos120°72，CD6.錯(cuò)因分析錯(cuò)解中混淆了二面角的平面角與向量夾角的概念向量，的夾角與二面角AB的平面角互補(bǔ)，而不是相等正解ACAB，BDAB，·0，·0，二面角AB的平面角為120°，180°120°60°.CD22()22222·2·2·3×622×62×cos60°144，CD12.易錯(cuò)點(diǎn)3判斷是否共面出錯(cuò)例3已知O，A，B，C為空間不共面的四點(diǎn)，a，b，則與a，b不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是()A.B.C.D.或錯(cuò)解a，b，相加得(ab)，所以，都與a，b共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故選D.剖析(ab)，說(shuō)明與a，b共面，但不能認(rèn)為，都與a，b共面對(duì)A，B：設(shè)xayb，因?yàn)閍，b，代入整理得(xy1)(xy)(xy)0，因?yàn)镺，A，B，C四點(diǎn)不共面，所以，不共面，所以xy10，xy0，xy0，此時(shí)，x，y不存在，所以a、b與不共面，故a，b與可構(gòu)成空間的一個(gè)基底同理a，b與也可構(gòu)成空間的一個(gè)基底對(duì)C：因?yàn)閍，b，相減有(ab)，所以與a，b共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底正解C易錯(cuò)點(diǎn)4混淆向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算例4下列各式中正確的是()Aa·bb·c(b0)acBa·b0a0或b0C(a·b)·ca·(b·c)D.·|cos(180°AOB)錯(cuò)解A(或B或C)剖析想當(dāng)然地將向量的數(shù)量積運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算等價(jià)，以致出錯(cuò)向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律、結(jié)合律，故A、C錯(cuò)誤；若a·b0a0或b0或ab，故B錯(cuò)誤；·的夾角是180°AOB.正解D易錯(cuò)點(diǎn)5忽略建系的前提例5四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ABC60°，AE平面ABCD，AE2，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，試合理建立坐標(biāo)系，求與所成角的余弦值錯(cuò)解以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.此時(shí)(1,1,1)，(0,2,0)，所以cos，.剖析空間直角坐標(biāo)系的建立的前提是三條直線兩兩垂直，而本題中直線AB與AD不垂直正解設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，則ACBD.因?yàn)镕為CE中點(diǎn)，所以O(shè)FAE，因?yàn)锳E平面ABCD，所以O(shè)F平面ABCD，OFAC，OFBD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.此時(shí)(1,0,1)，(1，0)，所以cos，.易錯(cuò)點(diǎn)6求空間角時(shí)，因?qū)λ蠼桥c向量夾角的關(guān)系不理解致誤例6在正方體ABCDA1B1C1D1中，求二面角ABD1C的大小錯(cuò)解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)由題意知是平面ABD1的一個(gè)法向量，(1,0,1)，是平面BCD1的一個(gè)法向量，(0,1,1)，所以cos，.所以，60°.所以二面角ABD1C的大小為60°.剖析利用向量法求所成角問(wèn)題，需注意所求的角的確切位置正解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)由題意知(1,0,1)是平面ABD1的一個(gè)法向量，(0,1,1)是平面BCD1的一個(gè)法向量所以cos，所以，60°.結(jié)合圖形知二面角ABD1C的大小為120°.3空間直角坐標(biāo)系構(gòu)建三策略利用空間向量的方法解決立體幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是依托圖形建立空間直角坐標(biāo)系，將其他向量用坐標(biāo)表示，通過(guò)向量運(yùn)算，判定或證明空間元素的位置關(guān)系，以及空間角、空間距離問(wèn)題的探求所以如何建立空間直角坐標(biāo)系顯得非常重要，下面簡(jiǎn)述空間建系的三種方法，希望同學(xué)們面對(duì)空間幾何問(wèn)題能做到有的放矢，化解自如1利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱例1已知直四棱柱中，AA12，底面ABCD是直角梯形，DAB為直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，試求異面直線BC1與DC所成角的余弦值解如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，所以(2，3,2)，(0，1,0)所以cos，.故異面直線BC1與DC所成角的余弦值為.點(diǎn)評(píng)本例以直四棱柱為背景，求異面直線所成角求解關(guān)鍵是從直四棱柱圖形中的共點(diǎn)的三條棱互相垂直關(guān)系處著眼，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，再求兩異面直線的方向向量的夾角即可2利用線面垂直關(guān)系例2如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB平面BB1C1C，E為棱C1C的中點(diǎn)，已知AB，BB12，BC1，BCC1.試建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出圖中所有點(diǎn)的坐標(biāo)解過(guò)點(diǎn)B作BP垂直BB1交C1C于點(diǎn)P，因?yàn)锳B平面BB1C1C，所以ABBP，又BPBB1，BB1ABB，且BB1，AB平面ABB1A1，所以BP平面ABB1A1，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BP，BB1，BA所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz.因?yàn)锳B，BB12，BC1，BCC1，所以CP，C1P，BP，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為B(0，0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C，C1，E，A1(0,2，)，p.點(diǎn)評(píng)空間直角坐標(biāo)系的建立，要盡量地使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣建成的坐標(biāo)系，既能迅速寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，又由于坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)含有0，也為后續(xù)的運(yùn)算帶來(lái)了方便本題已知條件中的垂直關(guān)系“AB平面BB1C1C”，可作為建系的突破口3利用面面垂直關(guān)系例3如圖1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD2，ABC60°，E是BC的中點(diǎn)將ABE沿AE折起，使平面BAE平面AEC(如圖2)，連接BC，BD.求平面ABE與平面BCD所成的銳角的大小解取AE中點(diǎn)M，連接BM，DM.因?yàn)樵诘妊菪蜛BCD中，ADBC，ABAD，ABC60°，E是BC的中點(diǎn)，所以ABE與ADE都是等邊三角形，所以BMAE，DMAE.又平面BAE平面AEC，所以BMMD.以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ME，MD，MB所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Mxyz，如圖，則B(0,0，)，C(2，0)，D(0，0)，M(0,0,0)，所以(2,0,0)，(0，)，(0，0)，設(shè)平面BCD的法向量為m(x，y，z)，由取y1，得m(0,1,1)，又因平面ABE的一個(gè)法向量(0，0)，所以cosm，所以平面ABE與平面BCD所成的銳角為45°.點(diǎn)評(píng)本題求解關(guān)鍵是利用面面垂直關(guān)系，先證在兩平面內(nèi)共點(diǎn)的三線垂直，再構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，然后分別求出兩個(gè)平面的法向量，求出兩法向量夾角的余弦值，即可得所求的兩平面所成的銳角的大小用法向量的夾角求二面角時(shí)應(yīng)注意：平面的法向量有兩個(gè)相反的方向，取的方向不同求出來(lái)的角度就不同，所以最后還應(yīng)該根據(jù)這個(gè)二面角的實(shí)際形態(tài)確定其大小4用向量法研究“動(dòng)態(tài)”立體幾何問(wèn)題“動(dòng)態(tài)”立體幾何問(wèn)題是在靜態(tài)幾何問(wèn)題中滲透了一些“動(dòng)態(tài)”的點(diǎn)、線、面等元素，同時(shí)由于“動(dòng)態(tài)”的存在，使得問(wèn)題的處理趨于靈活本文介紹巧解“動(dòng)態(tài)”立體幾何問(wèn)題的法寶向量法，教你如何以靜制動(dòng)1求解、證明問(wèn)題例1在棱長(zhǎng)為a的正方體OABCO1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AEBF，求證：A1FC1E.證明以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OC，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則A1(a,0，a)，C1(0，a，a)設(shè)AEBFx，E(a，x,0)，F(xiàn)(ax，a,0)(x，a，a)，(a，xa，a)·(x，a，a)·(a，xa，a)axaxa2a20，即A1FC1E.2定位問(wèn)題例2如圖，已知四邊形ABCD，CDGF，ADGE均為正方形，且邊長(zhǎng)為1，在DG上是否存在點(diǎn)M，使得直線MB與平面BEF的夾角為45°？若存在，求出點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解題提示假設(shè)存在點(diǎn)M，設(shè)平面BEF的法向量為n，設(shè)BM與平面BEF所成的角為，利用sin求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若滿足條件則存在解存在點(diǎn)M，使得直線MB與平面BEF的夾角為45°.因?yàn)樗倪呅蜟DGF，ADGE均為正方形，所以GDDA，GDDC.又DADCD，所以GD平面ABCD.又DADC，所以DA，DG，DC兩兩垂直，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DG所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)因?yàn)辄c(diǎn)M在DG上，假設(shè)存在點(diǎn)M(0,0，t)(0t1)使得直線BM與平面BEF的夾角為45°.設(shè)平面BEF的法向量為n(x，y，z)因?yàn)?0，1,1)，(1,0,1)，則即令z1，得xy1，所以n(1,1,1)為平面BEF的一個(gè)法向量又(1，1，t)，直線BM與平面BEF所成的角為45°，所以sin45°，解得t4±3.又0t1，所以t34.故在DG上存在點(diǎn)M(0,0,34)，且DM34時(shí)，直線MB與平面BEF所成的角為45°.點(diǎn)評(píng)由于立體幾何題中“動(dòng)態(tài)”性的存在，使有些問(wèn)題的結(jié)果變得不確定，這時(shí)我們要以不變應(yīng)萬(wàn)變，抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，引入?yún)⒘?，利用空間垂直關(guān)系及數(shù)量積將幾何問(wèn)題代數(shù)化，達(dá)到以靜制動(dòng)的效果.5向量與立體幾何中的數(shù)學(xué)思想1數(shù)形結(jié)合思想向量方法是解決問(wèn)題的一種重要方法，坐標(biāo)是研究向量問(wèn)題的有效工具，利用空間向量的坐標(biāo)表示可以把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，從而溝通了幾何與代數(shù)的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想向量具有數(shù)形兼?zhèn)涞奶攸c(diǎn)，因此，它能將幾何中的“形”和代數(shù)中的“數(shù)”有機(jī)地結(jié)合在一起例1如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A底面ABCD，BAD90°，ADBC，且A1AABAD2BC2，點(diǎn)E在棱AB上，平面A1EC與棱C1D1相交于點(diǎn)F.(1)證明：A1F平面B1CE；(2)若E是棱AB的中點(diǎn)，求二面角A1ECD的余弦值；(3)求三棱錐B1A1EF的體積的最大值(1)證明因?yàn)锳BCDA1B1C1D1是棱柱，所以平面ABCD平面A1B1C1D1.又因?yàn)槠矫鍭BCD平面A1ECFEC，平面A1B1C1D1平面A1ECFA1F，所以A1FEC.又因?yàn)锳1F平面B1CE，EC平面B1CE，所以A1F平面B1CE.(2)解因?yàn)锳A1底面ABCD，BAD90°，所以AA1，AB，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸和z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.則A1(0,0,2)，E(1,0,0)，C(2,1,0)，A(0,0,0)，所以(1,0，2)，(2,1，2)，(0,0,1)設(shè)平面A1EC的法向量為m(x，y，z)，由·m0，·m0，得令z1，得m(2，2,1)又因?yàn)槠矫鍰EC的法向量為n(0,0,1)，所以cosm，n，由圖可知，二面角A1ECD的平面角為銳角，所以二面角A1ECD的余弦值為.(3)解過(guò)點(diǎn)F作FMA1B1于點(diǎn)M，因?yàn)槠矫鍭1ABB1平面A1B1C1D1，平面A1ABB1A1B1C1D1A1B1，F(xiàn)MA1B1，所以FM平面A1ABB1，所以××FM××FMFM.因?yàn)楫?dāng)F與點(diǎn)D1重合時(shí)，F(xiàn)M取到最大值2(此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合)，所以當(dāng)F與點(diǎn)D1重合時(shí)，三棱錐B1A1EF的體積的最大值為.2轉(zhuǎn)化與化歸思想空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算為解決立體幾何中的夾角、距離、垂直、平行等問(wèn)題提供了工具，因此我們要善于把這些問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的夾角、模、垂直、平行等問(wèn)題，利用向量方法解決將幾何問(wèn)題化歸為向量問(wèn)題，然后利用向量的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算和論證，再將結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題這種“從幾何到向量，再?gòu)南蛄康綆缀巍钡乃枷敕椒?，在本章尤為重要?如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2AD2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為D1E上的一點(diǎn)，D1F2FE.(1)證明：平面DFC平面D1EC；(2)求二面角ADFC的平面角的余弦值分析求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角(1)證明以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，D(0,0,0)E為AB的中點(diǎn)，E(1,1,0)，D1F2FE，(1,1，2)，(0,0,2).設(shè)n(x1，y1，z1)是平面DFC的法向量，則取x11得平面DFC的一個(gè)法向量n(1,0，1)設(shè)p(x2，y2，z2)是平面D1EC的法向量，則取y21得平面D1EC的一個(gè)法向量p(1,1,1)，n·p(1,0，1)·(1,1,1)0，np，平面DFC平面D1EC.(2)解設(shè)q(x3，y3，z3)是平面ADF的法向量，則取y31得平面ADF的一個(gè)法向量q(0,1，1)，設(shè)二面角ADFC的平面角為，由題中條件可知，則cos，二面角ADFC的平面角的余弦值為.3函數(shù)思想例3已知關(guān)于x的方程x2(t2)xt23t50有兩個(gè)實(shí)根，且catb，a(1,1,3)，b(1,0，2)問(wèn)|c|能否取得最大值？若能，求出實(shí)數(shù)t的值及對(duì)應(yīng)的向量b與c夾角的余弦值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由分析寫出|c|關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)觀點(diǎn)求解解由題意知0，得4t，又c(1,1,3)t(1,0，2)(1t,1,32t)，|c|.當(dāng)t時(shí)，f(t)52是單調(diào)遞減函數(shù)，f(t)maxf(4)，即|c|的最大值存在，此時(shí)c(5,1,11)b·c27，|c|7.而|b|，cosb，c.點(diǎn)評(píng)凡涉及向量中的最值問(wèn)題，若可用向量坐標(biāo)形式，一般可考慮寫出函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)思想求解4分類討論思想例4如圖，在矩形ABCD中，AB1，BCa(a0)，PA平面ABCD(點(diǎn)P位于平面ABCD的上方)，問(wèn)BC邊上是否存在點(diǎn)Q，使？分析由，得PQQD，所以平面ABCD內(nèi)，點(diǎn)Q在以邊AD為直徑的圓上，若此圓與邊BC相切或相交，則BC邊上存在點(diǎn)Q，否則不存在解假設(shè)存在點(diǎn)Q(Q點(diǎn)在邊BC上)，使，即PQQD，連接AQ.PA平面ABCD，PAQD.又且，·0，即··0.又由·0，·0，.即點(diǎn)Q在以邊AD為直徑的圓上，圓的半徑為.又AB1，由題圖知，當(dāng)1，即a2時(shí)，該圓與邊BC相切，存在1個(gè)點(diǎn)Q滿足題意；當(dāng)>1，即a>2時(shí)，該圓與邊BC相交，存在2個(gè)點(diǎn)Q滿足題意；當(dāng)<1，即0<a<2時(shí)，該圓與邊BC相離，不存在點(diǎn)Q滿足題意綜上所述，當(dāng)a2時(shí)，存在點(diǎn)Q，使；當(dāng)0<a<2時(shí)，不存在點(diǎn)Q，使.16