第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考情考向分析1.以圖象為載體，考查三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、對稱性、周期性.2.考查三角函數(shù)式的化簡、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、角的求值，重點(diǎn)考查分析、處理問題的能力，是高考的必考點(diǎn)熱點(diǎn)一三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及同角關(guān)系式1三角函數(shù)：設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則sin y，cos x，tan (x0)各象限角的三角函數(shù)值的符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦2同角基本關(guān)系式：sin2cos21，tan .3誘導(dǎo)公式：在，kZ的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號看象限”例1(1)已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2，1)，則tan等于()A7 B C. D7答案A解析由角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)，可得x2，y1，tan ，tan 2，tan7.(2)已知曲線f(x)x32x2x在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的傾斜角為，則cos22cos23sin(2)·cos()的值為()A. B C. D答案A解析由f(x)x32x2x可知f(x)3x24x1，tan f(1)2，cos22cos23sincos(sin )22cos23sin cos sin22cos23sin cos .思維升華(1)涉及與圓及角有關(guān)的函數(shù)建模問題(如鐘表、摩天輪、水車等)，常常借助三角函數(shù)的定義求解應(yīng)用定義時，注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關(guān)，與終邊上點(diǎn)的位置無關(guān)(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式時要弄清三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡過程要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等跟蹤演練1(1)在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P，則sin()等于()A B C. D.答案B解析由誘導(dǎo)公式可得，sinsinsin，coscoscos，即P，由三角函數(shù)的定義可得，sin ，則sinsin .(2)已知sin(3)2sin，則等于()A. B. C. D答案D解析sin(3)2sin，sin 2cos ，即sin 2cos ，則.熱點(diǎn)二三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用函數(shù)yAsin(x)的圖象(1)“五點(diǎn)法”作圖：設(shè)zx，令z0，2，求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點(diǎn)、連線可得(2)圖象變換：(先平移后伸縮)ysin xysin(x) ysin(x)yAsin(x)(先伸縮后平移)ysin xysin xysin(x)yAsin(x)例2(1)已知函數(shù)f(x)sin(>0)的最小正周期為，為了得到函數(shù)g(x)cos x的圖象，只要將yf(x)的圖象()A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度答案A解析由題意知，函數(shù)f(x)的最小正周期T，所以2，即f(x)sin，g(x)cos 2x.把g(x)cos 2x變形得g(x)sinsin，所以只要將f(x)的圖象向左平移個單位長度，即可得到g(x)cos 2x的圖象，故選A.(2)函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域為1,2，則_.答案解析函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如題圖所示，則A2，解得T，所以2，即f(x)2sin(2x)，當(dāng)x，f 2sin2，2k，kZ，2k，kZ，又|<，解得，所以f(x)2sin，因為函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，所以g(x)2sin2cos 2x，若函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域為1,2，則2cos 21，則k，kZ或k，kZ，所以.思維升華(1)已知函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A；由函數(shù)的周期確定；確定常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個點(diǎn)求解，其中一般把第一個零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個零點(diǎn)的位置(2)在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度數(shù)和方向跟蹤演練2(1)若將函數(shù)ycos x(>0)的圖象向右平移個單位長度后與函數(shù)ysin x的圖象重合，則的最小值為()A. B. C. D.答案B解析將函數(shù)ycos x(>0)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的解析式為ycos cos.平移后得到的函數(shù)圖象與函數(shù)ysin x的圖象重合，2k(kZ)，即6k(kZ)當(dāng)k0時，.(2)函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，則_；函數(shù)f(x)在區(qū)間上的零點(diǎn)為_答案2解析從圖中可以發(fā)現(xiàn)，相鄰的兩個最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，從而求得函數(shù)的最小正周期為T2，根據(jù)T可求得2.再結(jié)合題中的條件可以求得函數(shù)的解析式為f(x)2sin，令2xk(kZ)，解得x(kZ)，結(jié)合所給的區(qū)間，整理得出x.熱點(diǎn)三三角函數(shù)的性質(zhì)1三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間ysin x的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間是(kZ)；ycos x的單調(diào)遞增區(qū)間是2k，2k(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間是2k，2k(kZ)；ytan x的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)2yAsin(x)，當(dāng)k(kZ)時為奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由xk(kZ)求得yAcos(x)，當(dāng)k(kZ)時為奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由xk(kZ)求得yAtan(x)，當(dāng)k(kZ)時為奇函數(shù)例3(2017·浙江)已知函數(shù)f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)(1)求f 的值；(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間解(1)由sin，cos，得f 222××2.(2)由cos 2xcos2xsin2x與sin 2x2sin xcos x得，f(x)cos 2xsin 2x2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函數(shù)的性質(zhì)得，2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)思維升華函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)及應(yīng)用類題目的求解思路第一步：先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”視為一個整體，借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求yAsin(x)B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對稱性等問題跟蹤演練3(2018·寧波模擬)已知函數(shù)f(x)2sin xcos x12sin2 x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值與最小值解(1)因為f(x)sin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期為.(2)因為x，所以2x.當(dāng)2x，即x時，f(x)取得最大值；當(dāng)2x，即x時，f sincos，即f(x)的最小值為.真題體驗1(2018·全國)已知函數(shù)f(x)2sin xsin 2x，則f(x)的最小值是_答案解析f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10，當(dāng)1cos x<時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)<cos x1時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)cos x時，f(x)有最小值又f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，當(dāng)sin x時，f(x)有最小值，即f(x)min2××.2(2018·全國改編 )若f(x)cos xsin x在a，a上是減函數(shù)，則a的最大值是_答案解析f(x)cos xsin xsin，當(dāng)x，即x時，ysin單調(diào)遞增，f(x)sin單調(diào)遞減函數(shù)f(x)在a，a上是減函數(shù)，a，a，0<a，a的最大值為.3(2018·天津改編)將函數(shù)ysin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)_(填序號)在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減答案解析函數(shù)ysin的圖象向右平移個單位長度后的解析式為ysinsin 2x，則函數(shù)ysin 2x的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，一個單調(diào)遞減區(qū)間為.由此可判斷正確4(2018·全國)函數(shù)f(x)cos在0，上的零點(diǎn)個數(shù)為_答案3解析由題意可知，當(dāng)3xk(kZ)時，f(x)cos0.x0，3x，當(dāng)3x的取值為，時，f(x)0，即函數(shù)f(x)cos在0，上的零點(diǎn)個數(shù)為3.押題預(yù)測1已知函數(shù)f(x)sin(xR，>0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.為了得到函數(shù)g(x)cos x的圖象，只要將yf(x)的圖象()A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度押題依據(jù)本題結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)確定函數(shù)解析式，然后考查圖象的平移，很有代表性，考生應(yīng)熟練掌握圖象平移規(guī)則，防止出錯答案A解析由于函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則其最小正周期T，所以2，即f(x)sin，g(x)cos 2x.把g(x)cos 2x變形得g(x)sinsin，所以要得到函數(shù)g(x)的圖象，只要將f(x)的圖象向左平移個單位長度即可故選A.2.如圖，函數(shù)f(x)Asin(x) 與坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)P，Q，R滿足P(2,0)，PQR，M為QR的中點(diǎn)，PM2，則A的值為()A. B. C8 D16押題依據(jù)由三角函數(shù)的圖象求解析式是高考的熱點(diǎn)，本題結(jié)合平面幾何知識求A，考查數(shù)形結(jié)合思想答案B解析由題意設(shè)Q(a,0)，R(0，a)(a>0)則M，由兩點(diǎn)間距離公式，得PM2，解得a18，a24(舍去)，由此得826，即T12，故，由P(2,0)得，代入f(x)Asin(x)，得f(x)Asin，從而f(0)Asin8，得A.3已知函數(shù)f(x)cos4x2sin xcos xsin4x.(1)若x是某三角形的一個內(nèi)角，且f(x)，求角x的大小；(2)當(dāng)x時，求f(x)的最小值及取得最小值時x的值押題依據(jù)三角函數(shù)解答題的第(1)問的常見形式是求周期、求單調(diào)區(qū)間及求對稱軸方程(或?qū)ΨQ中心)等，這些都可以由三角函數(shù)解析式直接得到，因此此類命題的基本方式是利用三角恒等變換得到函數(shù)的解析式第(2)問的常見形式是求解函數(shù)的值域(或最值)，特別是指定區(qū)間上的值域(或最值)，是高考考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)命題的基本模式解(1)f(x)cos4x2sin xcos xsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin 2xcos 2xsin 2xcos，f(x)cos，可得cos.由題意可得x(0，)，2x，可得2x或，x或.(2)x，2x，cos，f(x)cos，1f(x)的最小值為，此時2x，即x.A組專題通關(guān)1函數(shù)ysin x(cos xsin x)，xR的值域是()A. B.C. D.答案D解析ysin xcos xsin2xsin 2xsin，故選D.2(2018·浙江金華十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)sin(xR，>0)與g(x)cos(2x)的對稱軸完全相同為了得到h(x)cos的圖象，只需將yf(x)的圖象()A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度答案A解析由xk1，k1Z得函數(shù)f(x)的對稱軸為x，k1Z，由2xk2，k2Z得函數(shù)g(x)的對稱軸為x，k2Z.因為兩函數(shù)的對稱軸完全相同，所以解得則f(x)sin，h(x)cos，將函數(shù)f(x)sin的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)解析式為ysinsincos，故選A.3.(2018·浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)函數(shù)f(x)Asin(x)的圖象如圖所示，則等于()A BC. D.答案B解析由題圖易得函數(shù)f(x)的最小正周期為2，解得2，則f(x)Asin(2x)，又因為當(dāng)x時，f(x)取得最大值，所以2×2k，kZ，解得2k，kZ，又因為|<，所以，故選B.4(2018·浙江教育綠色評價聯(lián)盟適應(yīng)性考試)設(shè)函數(shù)f(x)sin2xacos xb在上的最大值是M，最小值是m，則Mm()A與a有關(guān)，且與b有關(guān)B與a有關(guān)，且與b無關(guān)C與a無關(guān)，且與b無關(guān)D與a無關(guān)，且與b有關(guān)答案B解析令tcos x，則g(t)t2atb1(0t1)，由題意得，當(dāng)<0，即a<0時，g(0)為最大值，g(1)為最小值，此時Mm1a；當(dāng)>1，即a>2時，g(0)為最小值，g(1)為最大值，此時Mma1; 當(dāng)1，即1a2時，M取g，m取g(0)，此時Mm；當(dāng)0<，即0a<1時，M取g，m取g(1)，此時Mm1a.綜上所述，Mm與a有關(guān)，但與b無關(guān)，故選B.5函數(shù)f(x)sin xcos x(>0)圖象的相鄰對稱軸之間的距離為，則下列結(jié)論正確的是()Af(x)的最大值為1Bf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱Cf 的一個零點(diǎn)為xDf(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減答案D解析因為f(x)sin xcos x2sin的相鄰的對稱軸之間的距離為，所以，得2，即f(x)2sin，所以f(x)的最大值為2，所以A錯誤；當(dāng)x時，2x，所以f 0，所以x不是函數(shù)圖象的對稱軸，所以B錯誤；由f 2sin2sin，當(dāng)x時，f 20，所以x不是函數(shù)的一個零點(diǎn)，所以C錯誤；當(dāng)x時，2x，f(x)單調(diào)遞減，所以D正確6(2018·浙江省金華十校模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)P(，1)，則tan _，cos sin_.答案0解析角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)P(，1)，x，y1，tan ，cos sincos cos 0.7已知tan 2，則_.答案解析tan 2，.8(2017·全國)函數(shù)f(x)sin2xcos x的最大值是_答案1解析f(x)1cos2xcos x21.x，cos x0,1，當(dāng)cos x時，f(x)取得最大值，最大值為1.9設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)f(x)sin x，當(dāng)<x0時，f(x)0，則f _.答案解析f(x)f(x)sin x，f(x)f(x)sin x，則f(x)f(x)sin(x)f(x)sin x.f(x)f(x)，即f(x2)f(x)函數(shù)f(x)的周期為2，f f f f sin.當(dāng)<x0時，f(x)0，f 0sin.10已知向量m(sin x,1)，n(cos x，cos2x1)，設(shè)函數(shù)f(x)m·nb.(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，且當(dāng)0,3時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在(1)的條件下，當(dāng)x時，函數(shù)f(x)有且只有一個零點(diǎn)，求實數(shù)b的取值范圍解m(sin x,1)，n(cos x，cos2x1)，f(x)m·nbsin xcos xcos2x1bsin 2xcos 2xbsinb.(1)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，2·k(kZ)，解得3k1(kZ)，0,3，1，f(x)sinb，由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)(2)由(1)知f(x)sinb，x，2x，當(dāng)2x，即x時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)2x，即x時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減又f(0)f ，當(dāng)f >0f 或f 0時，函數(shù)f(x)有且只有一個零點(diǎn)，即sinb<sin或1b0，b的取值范圍為.B組能力提高11.如圖，單位圓O與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)C，B在圓O上，且點(diǎn)C位于第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，AOC，若BC1，則cos2sin cos 的值為()A. B. C D答案B解析點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)AOB，sin(2)，cos(2)，即sin ，cos ，AOC，BC1，則，則cos2sin cos cos sin coscossin .12已知函數(shù)f(x)2sin(x)1，其圖象與直線y3相鄰兩個交點(diǎn)的距離為，若f(x)>2對任意x恒成立，則的取值范圍是()A. B.C. D.答案D解析因為函數(shù)f(x)2sin(x)1，其圖象與直線y3相鄰兩個交點(diǎn)的距離為，所以函數(shù)的周期為T，2，當(dāng)x時，2x，且|，由f(x)>2知，sin(2x)>，所以解得.13已知2sin tan 3，且0<<.(1)求的值；(2)求函數(shù)f(x)4cos xcos(x)在的值域解(1)由已知得2sin23cos ，則2cos23cos 20，所以cos 或cos 2(舍)，又因為0<<，所以.(2)由(1)得f(x)4cos xcos4cos x2cos2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x12sin，由0x，得2x，所以當(dāng)x0時，f(x)取得最小值f(0)2，當(dāng)x時，f(x)取得最大值f3，所以函數(shù)f(x)在上的值域為2,314已知a>0，函數(shù)f(x)2asin2ab，當(dāng)x時，5f(x)1.(1)求常數(shù)a，b的值；(2)設(shè)g(x)f 且lg g(x)>0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間解(1)x，2x.sin，2asin2a，af(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得f(x)4sin1，g(x)f 4sin14sin1.又由lg g(x)>0，得g(x)>1，4sin1>1，sin>，2k<2x<2k，kZ，其中當(dāng)2k<2x2k，kZ，即k<xk，kZ時，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)2k<2x<2k，kZ，即k<x<k，kZ時，g(x)單調(diào)遞減g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ，單調(diào)遞減區(qū)間為，kZ.21