《（渝皖瓊）2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 6.1 垂直關系的判定學案 北師大版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（渝皖瓊）2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 6.1 垂直關系的判定學案 北師大版必修2（18頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 6．1　垂直關系的判定 學習目標　1.掌握直線與平面垂直的定義、判定定理.2.掌握平面與平面垂直的概念、判定定理.3.會應用兩定義及兩定理證明有關的垂直問題． 知識點一　直線與平面垂直的定義 思考　 在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子，隨著時間的變化，影子的位置在移動，在各個時刻旗桿所在的直線與其影子所在的直線夾角是否發(fā)生變化，為多少？ 答案　不變，90°. 梳理　線面垂直的概念 定義 如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直 記法 l⊥α 有關概念 直線l叫作平面α的垂線，平面α叫作直線l的垂面，它們唯一的公共點P叫

2、作垂足 圖示 畫法 畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的橫邊垂直 知識點二　直線和平面垂直的判定定理 將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸)．觀察折痕AD與桌面的位置關系． 思考1　折痕AD與桌面一定垂直嗎？ 答案　不一定． 思考2　當折痕AD滿足什么條件時，AD與桌面垂直？ 答案　當AD⊥BD且AD⊥CD時，折痕AD與桌面垂直． 梳理　判定定理 文字語言 如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直 符號語言 l⊥a，l⊥b，aα，bα，a∩b＝

3、A?l⊥α 圖形語言 知識點三　二面角 思考1　觀察教室內門與墻面，當門繞著門軸旋轉時，門所在的平面與墻面所形成的角的大小和形狀．數(shù)學上，用哪個概念來描述門所在的平面與墻面所在的平面所形成的角？ 答案　二面角． 思考2　平時，我們常說“把門開大一點”，在這里指的是哪個角大一點？ 答案　二面角的平面角． 梳理　(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形． (2)相關概念：①這條直線叫作二面角的棱．②兩個半平面叫作二面角的面． (3)二面角的記法 以直線AB為棱，半平面α，β為面的二面角，記作二面角面α－AB－β. (4)二面角的平面角：若有①O∈l；②O

4、Aα，OBβ；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB. 知識點四　平面與平面垂直 思考　建筑工人常在一根細線上拴一個重物，做成“鉛錘”，用這種方法來檢查墻與地面是否垂直．當掛鉛錘的線從上面某一點垂下時，如果墻壁貼近鉛錘線，則說明墻和地面什么關系？此時鉛錘線與地面什么關系？ 答案　都是垂直． 梳理　(1)平面與平面垂直的概念 ①定義：如果兩個平面相交，且它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直． ②畫法： ③記法：α⊥β. (2)判定定理 文字語言 如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直 圖形語言 符號語言

5、 l⊥α，lβ?α⊥β 1．若直線l⊥平面α，則l與平面α內的直線可能相交，可能異面，也可能平行．(　×　) 2．若直線l與平面α內的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α.(　×　) 3．若l⊥α，則過l有無數(shù)個平面與α垂直．(　√　) 4．兩垂直平面的二面角的平面角大小為90°.(　√　) 類型一　線面垂直的定義及判定定理的理解 例1　下列命題中，正確的序號是________． ①若直線l與平面α內的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α； ②若直線l與平面α內的一條直線垂直，則l⊥α； ③若直線l不垂直于平面α，則α內沒有與l垂直的直線； ④若直線l不垂直于平面α，則α內也可以有無

6、數(shù)條直線與l垂直； ⑤過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條． 考點　直線與平面垂直的判定 題點　判定直線與平面垂直 答案?、堍? 解析　當直線l與平面α內的無數(shù)條直線垂直時，l與α不一定垂直，所以①不正確；當l與α內的一條直線垂直時，不能保證l與平面α垂直，所以②不正確；當l與α不垂直時，l可能與α內的無數(shù)條平行直線垂直，所以③不正確，④正確；過一點有且只有一條直線垂直于已知平面，所以⑤正確． 反思與感悟　(1)對于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內的所有直線”說法與“直線垂直于平面內無數(shù)條直線”不是一回事，后者說法是不正確的，它可以使直線與平面斜交． (2)判定定理中要注意

7、必須是平面內兩相交直線． 跟蹤訓練1　(1)若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于(　　) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC (2)如果一條直線垂直于一個平面內的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．能保證該直線與平面垂直的是________．(填序號) 考點　直線與平面垂直的判定 題點　判定直線與平面垂直 答案　(1)C　(2)①③④ 解析　(1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC， ∴OA⊥平面OBC. (2)根據直線與平面垂直的判定定理，平面內這兩條直線必須是

8、相交的，①③④中給定的兩直線一定相交，能保證直線與平面垂直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理條件． 類型二　線面垂直的判定 例2　如圖，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點，求證：BC⊥平面PAC. 考點　直線與平面垂直的判定 題點　直線與平面垂直的證明 證明　∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴PA⊥BC. 又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC. 而PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. 引申探究　若本例中其他條件不變，作AE⊥PC交PC于點E，求證：AE⊥平面PBC. 證明　由例

9、2知BC⊥平面PAC， 又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE. ∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC，BC平面PBC， ∴AE⊥平面PBC. 反思與感悟　(1)使用直線與平面垂直的判定定理的關鍵是在平面內找到兩條相交直線都與已知直線垂直，即把線面垂直轉化為線線垂直來解決． (2)證明線面垂直的方法 ①線面垂直的定義． ②線面垂直的判定定理． ③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面． ④如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面． 跟蹤訓練2　如圖，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點

10、，過點A作AE⊥PC于點E，作AF⊥PB于點F，求證：PB⊥平面AEF. 考點　直線與平面垂直的判定 題點　直線與平面垂直的證明 證明　由引申探究知AE⊥平面PBC. ∵PB平面PBC， ∴AE⊥PB，又AF⊥PB， 且AE∩AF＝A，AE，AF平面AEF， ∴PB⊥平面AEF. 類型三　面面垂直的判定 例3　如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC⊥平面ABCD，E為SA的中點． 求證：平面EBD⊥平面ABCD. 考點　平面與平面垂直的判定 題點　利用判定定理證明兩平面垂直 證明　連接AC，與BD交于O點，連接OE.

11、 ∵O為AC的中點，E為SA的中點， ∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD， ∴EO⊥平面ABCD. 又∵EO平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD. 反思與感悟　(1)由面面垂直的判定定理知，要證兩個平面互相垂直，關鍵是證明其中一個平面經過另一個平面的垂線． (2)證明面面垂直的常用方法：①面面垂直的判定定理；②所成二面角是直二面角． 跟蹤訓練3　如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝AA1，D是棱AA1的中點．證明：平面BDC1⊥平面BDC. 考點　平面與平面垂直的判定 題點　利用判定定理證明兩平面垂直 證明　由題設知BC⊥CC

12、1， BC⊥AC，CC1∩AC＝C，CC1，AC平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1. 又DC1平面ACC1A1，所以DC1⊥BC. 由題設知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°， 即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，DC，BC平面BDC， 所以DC1⊥平面BDC. 又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC. 類型四　與二面角有關的計算 例4　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值． 考點　二面角 題點　看圖索角 解　取A1C1的中點O，連接B1O，BO. 由題意

13、知B1O⊥A1C1， 又BA1＝BC1，O為A1C1的中點， 所以BO⊥A1C1， 所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角． 因為BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1， 所以BB1⊥OB1. 設正方體的棱長為a，則OB1＝a， 在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝， 所以二面角B－A1C1－B1的正切值為. 反思與感悟　(1)求二面角的大小關鍵是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值，其步驟為作角→證明→計算． (2)為了能在適當位置作出平面角要注意觀察二面角兩個面的圖形特點，如是否為等腰

14、三角形等． 跟蹤訓練4　如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小． 考點　二面角 題點　看圖索角 解　由已知PA⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵AB是⊙O的直徑，且點C在圓周上， ∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. 又PC平面PAC， ∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P－BC－A的棱， ∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角． 由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°

15、. 1．已知直線m，n是異面直線，則過直線n且與直線m垂直的平面(　　) A．有且只有一個 B．至多一個 C．有一個或無數(shù)個 D．不存在 考點　直線與平面垂直的判定 題點　判定直線與平面垂直 答案　B 解析　若異面直線m，n垂直，則符合要求的平面有一個，否則不存在． 2．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中，一定能推出m⊥β的是(　　) A．α∥β，且mα B．m∥n，且n⊥β C．m⊥n，且nβ D．m⊥n，且n∥β 考點　直線與平面垂直的判定 題點　判定直線與平面垂直 答案　B 解析　A中，由α∥β，

16、且mα，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β內的任意直線，再由m∥n，知m也垂直于β內的任意直線，所以m⊥β，符合題意；C，D中，mβ或m∥β或m與β相交，不符合題意，故選B. 3．如圖，α∩β＝l，點A，C∈α，點B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關系是(　　) A．異面 B．平行 C．垂直 D．不確定 考點　直線與平面垂直的判定 題點　判定直線與平面垂直 答案　C 解析　∵BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l，又BA∩BC＝B，∴l(xiāng)⊥平面ABC. ∵AC平面ABC，∴l(xiāng)⊥AC. 4．三棱錐P－ABC中，PA＝

17、PB＝PC＝，AB＝10，BC＝8，CA＝6，則二面角P－AC－B的大小為________． 考點　二面角 題點　看圖索角 答案　60° 解析　由題意易得點P在平面ABC上的射影O是AB的中點．取AC的中點Q，連接OQ，則OQ∥BC. 由題意可得△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴∠AQO＝90°，即OQ⊥AC. 又∵PA＝PC，∴PQ⊥AC， ∴∠PQO即是二面角P－AC－B的平面角． ∵PA＝，AQ＝AC＝3，∴PQ＝8. 又∵OQ＝BC＝4，∴cos∠PQO＝＝， ∴∠PQO＝60°，即二面角P－AC－B的大小為60°. 5.如圖，在四面

18、體ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點． 求證：平面EFC⊥平面BCD. 考點　平面與平面垂直的判定 題點　利用判定定理證明兩平面垂直 證明　∵E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點， ∴EF∥AD， 又∵AD⊥BD，∴EF⊥BD. ∵CB＝CD，F(xiàn)是BD的中點， ∴CF⊥BD. 又EF∩CF＝F，EF，CF平面EFC， ∴BD⊥平面EFC. 又∵BD平面BCD， ∴平面EFC⊥平面BCD. 1.直線和平面垂直的判定方法： (1)利用線面垂直的定義； (2)利用線面垂直的判定定理； (3)利用下面兩個結論：①若a∥b，a⊥α，則b

19、⊥α； ②若α∥β，a⊥α，則a⊥β. 2．證明兩個平面垂直的主要途徑： (1)利用面面垂直的定義； (2)面面垂直的判定定理，即如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直． 3．證明兩個平面垂直，通常是通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來實現(xiàn)的，因此，在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化．每一垂直的判定都是從某一垂直開始轉向另一垂直，最終達到目的． 一、選擇題 1．已知l⊥α，則過l與α垂直的平面(　　) A．有1個 B．有2個 C．有無數(shù)個 D．不存在 考點　平面與平面垂直的判定 題點　判定兩平面垂

20、直 答案　C 解析　過直線l的平面都與α垂直． 2．過兩點與一個已知平面垂直的平面(　　) A．有且只有一個 B．有無數(shù)個 C．有且只有一個或無數(shù)個 D．可能不存在 考點　平面與平面垂直的判定 題點　判定兩平面垂直 答案　C 解析　若過兩點的直線與已知平面垂直時，此時過這兩點有無數(shù)個平面與已知平面垂直，若過兩點的直線與已知平面不垂直時，則有且只有一個過這兩點的平面與已知平面垂直． 3．下列說法中，正確的有(　　) ①如果一條直線垂直于平面內的兩條直線，那么這條直線和這個平面垂直； ②過直線l外一點P，有且僅有一個平面與l垂直； ③如果三條共點直線兩兩垂直，那么

21、其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面； ④垂直于角的兩邊的直線必垂直角所在的平面； ⑤過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A垂直于a的平面內． A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 考點　直線與平面垂直的判定 題點　判定直線與平面垂直 答案　B 解析?、佗懿徽_，其他三項均正確． 4．從空間一點P向二面角α－l－β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角α－l－β的平面角的大小是(　　) A．60° B．120° C．60°或120° D．不確定 考點　二面角 題點　求二面角的大小 答案　C 解析　若點P在

22、二面角內，則二面角的平面角為120°；若點P在二面角外，則二面角的平面角為60°. 5．三棱錐P－ABC的三條側棱PA，PB，PC兩兩垂直，O是頂點P在底面ABC上的射影，則(　　) A．S△ABC＝S△PBC＋S△OBC B．S＝S△OBC·S△ABC C．2S△PBC＝S△OBC＋S△ABC D．2S△OBC＝S△PBC＋S△ABC 答案　B 解析　如圖，由題設，知O是垂心，且有AP⊥PD，所以PD2＝OD·AD，即S＝S△OBC·S△ABC. 6．如圖，O為正方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，則下列直線中與B1O垂直的是(　　) A．A1D

23、 B．AA1 C．A1D1 D．A1C1 考點　直線與平面垂直的判定 題點　判定直線與平面垂直 答案　D 解析　由題易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1平面BB1D1D， ∴A1C1⊥B1O. 7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值為(　　) A. B. C. D. 考點　二面角 題點　求二面角的大小 答案　C 解析　如圖，連接AC，交BD于點O，連接A1O，則O為BD中點． 因為A1D＝A1B，所以A1O⊥BD. 又因為在正方形ABCD中， AC⊥BD， 所以∠A1OA為二面角

24、A1－BD－A的平面角． 設AA1＝1，則AO＝. 所以tan∠A1OA＝＝. 二、填空題 8．在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，則ED＝________. 考點　線、面平行、垂直的綜合應用 題點　平行與垂直的計算與探索性問題 答案　13 解析　如圖，在Rt△ABC中， CD＝AB. 因為AC＝6，BC＝8， 所以AB＝＝10， 所以CD＝5. 因為EC⊥平面ABC，CD平面ABC， 所以EC⊥CD. 所以ED＝＝＝13. 9．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則P到

25、BC的距離是________． 考點　線、面平行、垂直的綜合應用 題點　平行與垂直的計算與探索性問題 答案　4 解析　如圖所示，作PD⊥BC于點D，連接AD. ∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥BC. 又PD∩PA＝P， ∴CB⊥平面PAD， ∴AD⊥BC. 在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4. 10．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷： ①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α. 以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：______

26、__.(用序號表示) 考點　 題點　 答案?、佗邰?②(或②③④?①) 解析　當m⊥α，m⊥n時，有n∥α或nα.∴當n⊥β時，α⊥β，即①③④?②或當α⊥β，m⊥α時，有m∥β或mβ，∴當n⊥β時，m⊥n，即②③④?①. 11．已知三棱錐D－ABC的三個側面與底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，則二面角D－BC－A的大小為________． 考點　二面角 題點　求二面角的大小 答案　90° 解析　如圖，由題意知AB＝AC＝BD＝CD＝，BC＝AD＝2. 取BC的中點E，連接DE，AE， 則AE⊥BC，DE⊥BC， 所以∠DEA為所求二面角的平面角．

27、易得AE＝DE＝， 又AD＝2， 所以∠DEA＝90°. 三、解答題 12．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點．證明：PC⊥平面BEF. 考點　直線與平面垂直的判定 題點　直線與平面垂直的證明 證明　如圖，連接PE，EC， 在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE， ∴PE＝CE， 即△PEC是等腰三角形． 又F是PC的中點， ∴EF⊥PC. 又BP＝＝2＝BC，F(xiàn)是PC的中點， ∴BF⊥PC. 又BF∩EF＝F，BF，EF平面BEF， ∴PC

28、⊥平面BEF. 13．如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E為BB1的中點，求證：截面A1CE⊥側面ACC1A1. 考點　平面與平面垂直的判定 題點　利用判定定理證明兩平面垂直 證明　如圖所示，取A1C的中點F，AC的中點G，連接FG，EF，BG，則FG∥AA1，且GF＝AA1. 因為BE＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，所以△A1B1E≌△CBE， 所以A1E＝CE. 因為F為A1C的中點，所以EF⊥A1C. 又FG∥AA1∥BE，GF＝AA1＝BE，且BE⊥BG， 所以四邊形BEFG是矩形，所以EF⊥FG. 因為A1C∩FG＝F，

29、A1C，F(xiàn)G平面ACC1A1， 所以EF⊥側面ACC1A1. 又因為EF平面A1CE，所以截面A1CE⊥側面ACC1A1. 四、探究與拓展 14．在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論中不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC 考點　平面與平面垂直的判定 題點　判定兩平面垂直 答案　C 解析　如圖所示，∵BC∥DF， ∴BC∥平面PDF，∴A正確． 由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，得BC⊥平面PAE， ∴DF⊥平面PAE，∴B正

30、確． ∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)， ∴D正確． 15.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E在棱AB上移動． (1)證明：D1E⊥A1D； (2)求AE等于何值時，二面角D1－EC－D的大小為45°？ 考點　二面角 題點　看圖索角 (1)證明　連接D1A，D1B. ∵在長方形A1ADD1中，AD＝AA1＝1， ∴四邊形A1ADD1為正方形，∴A1D⊥AD1.又由題意知AB⊥A1D，且AB∩AD1＝A， ∴A1D⊥平面ABD1.∵D1E平面ABD1，∴A1D⊥D1E. (2)解　過D作DF⊥EC于點F，連接D1F. ∵D1D⊥平面DB，EC平面DB，∴D1D⊥EC. 又DF∩D1D＝D，∴EC⊥平面D1DF. ∵D1F平面D1DF，∴EC⊥D1F， ∴∠DFD1為二面角D1－EC－D的平面角， ∴∠DFD1＝45°，又∠D1DF＝90°，D1D＝1，∴DF＝1. 在Rt△DFC中，∵DC＝2，∴∠DCF＝30°，∴∠ECB＝60°. 在Rt△EBC中，∵BC＝1，∴EB＝，AE＝2－. 18