第3課時平面與平面平行學習目標1.掌握平面與平面的位置關(guān)系，會判斷平面與平面的位置關(guān)系.2.學會用圖形語言、符號語言表示平面間的位置關(guān)系.3.掌握空間中面面平行的判定定理及性質(zhì)定理，并能應用這兩個定理解決問題知識點一平面與平面平行的判定思考三角板的兩條邊所在直線分別與平面平行，這個三角板所在平面與平面平行嗎？答案平行梳理平面平行的判定定理及推論判定定理推論文字語言如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面平行符號語言l，m，l，m，lmAac，bd，abA，a，b，c，d圖形語言知識點二平面與平面平行的性質(zhì)觀察長方體ABCDA1B1C1D1的兩個面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考1平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD嗎？答案是的思考2過BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1與BC是什么關(guān)系？答案平行梳理平面平行的性質(zhì)定理及推論性質(zhì)定理推論文字語言如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例符號語言，a，bab，mA，mB，mC，nE，nF，nG圖形語言1若一個平面內(nèi)的兩條直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行(×)2若一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面平行()3如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面()類型一平面與平面平行的判定例1如圖所示，在正方體AC1中，M，N，P分別是棱C1C，B1C1，C1D1的中點，求證：平面MNP平面A1BD.證明如圖，連接B1C.由已知得A1DB1C，且MNB1C，MNA1D.又MN平面A1BD，A1D平面A1BD，MN平面A1BD.連接B1D1，同理可證PN平面A1BD.又MN平面MNP，PN平面MNP，且MNPNN，平面MNP平面A1BD.引申探究若本例條件不變，求證：平面CB1D1平面A1BD.證明因為ABCDA1B1C1D1為正方體，所以DD1綊BB1，所以BDD1B1為平行四邊形，所以BDB1D1.又BD平面CB1D1，B1D1平面CB1D1，所以BD平面CB1D1，同理A1D平面CB1D1.又BDA1DD，所以平面CB1D1平面A1BD.反思與感悟判定平面與平面平行的四種常用方法(1)定義法：證明兩個平面沒有公共點，通常采用反證法(2)利用判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面證明時應遵循先找后作的原則，即先在一個平面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線(3)轉(zhuǎn)化為線線平行：平面內(nèi)的兩條相交直線與平面內(nèi)的兩條直線分別平行，則.(4)利用平行平面的傳遞性：若，則.跟蹤訓練1如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1平面BCHG.證明(1)因為G，H分別是A1B1，A1C1的中點，所以GH是A1B1C1的中位線，所以GHB1C1.又因為B1C1BC，所以GHBC，所以B，C，H，G四點共面(2)因為E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，所以EFBC.因為EF平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF平面BCHG.因為A1GEB，A1GEB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1EGB.因為A1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E平面BCHG.因為A1EEFE，所以平面EFA1平面BCHG.類型二面面平行性質(zhì)的應用命題角度1與面面平行性質(zhì)有關(guān)的計算例2如圖，平面，A、C，B、D，直線AB與CD交于S，且AS8，BS9，CD34，求CS的長證明設AB，CD共面，因為AC，BD，且，所以ACBD，所以SACSBD，所以，即，所以SC272.引申探究若將本例改為：點S在平面，之間(如圖)，其他條件不變，求CS的長解設AB，CD共面，AC，BD.因為，所以AC與BD無公共點，所以ACBD，所以ACSBDS，所以.設CSx，則，所以x16，即CS16.反思與感悟應用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟跟蹤訓練2如圖所示，平面平面，ABC，ABC分別在，內(nèi)，線段AA，BB，CC共點于O，O在平面和平面之間，若AB2，AC2，BAC60°，OAOA32，則ABC的面積為_答案解析AA，BB相交于O，所以AA，BB確定的平面與平面，平面的交線分別為AB，AB，有ABAB，且，同理可得，所以ABC，ABC面積的比為94，又ABC的面積為，所以ABC的面積為.命題角度2利用面面平行證明線線平行例3如圖所示，平面四邊形ABCD的四個頂點A，B，C，D均在平行四邊形ABCD外，且AA，BB，CC，DD互相平行，求證：四邊形ABCD是平行四邊形證明四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC.AD平面BBCC，BC平面BBCC，AD平面BBCC.同理AA平面BBCC.AD平面AADD，AA平面AADD，且ADAAA，平面AADD平面BBCC.又AD，BC分別是平面ABCD與平面AADD，平面BBCC的交線，ADBC.同理可證ABCD.四邊形ABCD是平行四邊形反思與感悟本例充分利用了ABCD的平行關(guān)系及AA，BB，CC，DD間的平行關(guān)系，先得出線面平行，再得面面平行，最后由平面平行的性質(zhì)定理得線線平行跟蹤訓練3如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點，求證：四邊形BED1F是平行四邊形證明如圖，連接AC，BD，交點為O，連接A1C1，B1D1，交點為O1，連接BD1，EF，OO1，設OO1的中點為M，由正方體的性質(zhì)可得四邊形ACC1A1為矩形又因為E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點，所以EF過OO1的中點M，同理四邊形BDD1B1為矩形，BD1過OO1的中點M，所以EF與BD1相交于點M，所以E，B，F(xiàn)，D1四點共面又因為平面ADD1A1平面BCC1B1，平面EBFD1平面ADD1A1ED1，平面EBFD1平面BCC1B1BF，所以ED1BF.同理，EBD1F.所以四邊形BED1F是平行四邊形類型三平行關(guān)系的綜合應用例4設AB，CD為夾在兩個平行平面，之間的線段，且直線AB，CD為異面直線，M，P分別為AB，CD的中點求證：MP平面.證明如圖，過點A作AECD交平面于點E，連接DE，BE.AECD，AE，CD確定一個平面，設為，則AC，DE.又，ACDE(平面平行的性質(zhì)定理)，取AE的中點N，連接NP，MN，M，P分別為AB，CD的中點，NPDE，MNBE.又NP，DE，MN，BE，NP，MN，NPMNN，平面MNP.MP平面MNP，MP，MP.反思與感悟線線平行、線面平行、面面平行是一個有機的整體，平行關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理是轉(zhuǎn)化平行關(guān)系的關(guān)鍵，其內(nèi)在聯(lián)系如圖所示：跟蹤訓練4如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，使得平面D1BQ平面PAO?解當Q為CC1的中點時，平面D1BQ平面PAO.Q為CC1的中點，P為DD1的中點，連接PQ，如圖，易證四邊形PQBA是平行四邊形，QBPA.又AP平面APO，QB平面APO，QB平面APO.P，O分別為DD1，DB的中點，D1BPO.同理可得D1B平面PAO，又D1BQBB，平面D1BQ平面PAO.1下列命題中正確的是()A一個平面內(nèi)兩條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行B如果一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行C平行于同一直線的兩個平面一定相互平行D如果一個平面內(nèi)的無數(shù)多條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行答案B解析如果一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，即兩個平面沒有公共點，則兩平面平行，所以B正確2在正方體EFGHE1F1G1H1中，下列四對平面彼此平行的一對是()A平面E1FG1與平面EGH1B平面FHG1與平面F1H1GC平面F1H1H與平面FHE1D平面E1HG1與平面EH1G答案A解析如圖，EGE1G1，EG平面E1FG1，E1G1平面E1FG1，EG平面E1FG1.又G1FH1E，同理可證H1E平面E1FG1，又H1EEGE，平面E1FG1EGH1.3平面平面，平面平面，且a，b，c，d，則交線a，b，c，d的位置關(guān)系是()A互相平行 B交于一點C相互異面 D不能確定答案A解析由平面與平面平行的性質(zhì)定理知，ab，ac，bd，cd，所以abcd，故選A.4若平面平面，a，下列說法正確的是_a與內(nèi)任一直線平行；a與內(nèi)無數(shù)條直線平行；a與內(nèi)任一直線不垂直；a與無公共點答案解析a，a，a與無公共點，正確；如圖，在正方體中，令線段B1C1所在的直線為a，顯然a與內(nèi)無數(shù)條直線平行，故正確；又ABB1C1，故在內(nèi)存在直線與a垂直，故錯誤5如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CMDN.求證：MN平面AA1B1B.證明如圖，作MPBB1交BC于點P，連接NP，MPBB1，.BDB1C，DNCM，B1MBN，NPCDAB.NP平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，NP平面AA1B1B.MPBB1，MP平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B，MP平面AA1B1B.又MP平面MNP，NP平面MNP，MPNPP，平面MNP平面AA1B1B.MN平面MNP，MN平面AA1B1B.1常用的平面與平面平行的其他幾個性質(zhì)(1)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面(2)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等(3)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行(4)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行2空間中各種平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的示意圖一、選擇題1已知，是兩個不重合的平面，下列選項中，一定能得出平面與平面平行的是()A平面內(nèi)有一條直線與平面平行B平面內(nèi)有兩條直線與平面平行C平面內(nèi)有一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行D平面與平面不相交答案D解析選項A、C不正確，因為兩個平面可能相交；選項B不正確，因為平面內(nèi)的這兩條直線必須相交才能得到平面與平面平行；選項D正確，因為兩個平面的位置關(guān)系只有相交與平行兩種故選D.2.如圖，若經(jīng)過D1B的平面分別交AA1和CC1于點E，F(xiàn)，則四邊形D1EBF的形狀是()A矩形B菱形C平行四邊形D正方形答案C解析因為平面和左右兩個側(cè)面分別交于ED1，BF，所以ED1BF，同理D1FEB，所以四邊形D1EBF是平行四邊形3六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的有()A1對 B2對 C3對 D4對答案D解析由圖知平面ABB1A1平面EDD1E1，平面BCC1B1平面FEE1F1，平面AFF1A1平面CDD1C1，平面ABCDEF平面A1B1C1D1E1F1，此六棱柱的面中互相平行的有4對4.如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點，平面平面ABC，分別交線段PA，PB，PC于A，B，C，若PAAA23，則SABCSABC等于()A225 B425C25 D45答案B解析平面平面ABC，平面PAB與它們的交線分別為AB，AB，ABAB，同理BCBC，易得ABCABC，SABCSABC22.5已知a，b表示直線，表示平面，下列選項正確的是()Aa，babBa，abb且bCa，b，a，bD，a，bab答案D解析A中a，b，a，b可能平行也可能相交；B中a，ab，則可能b，也可能b在平面或內(nèi)；C中a，b，a，b，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理，若加上條件abA，則.故選D.6在正方體ABCDA1B1C1D1中，M為棱A1D1的動點，O為底面ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是A1B1，C1D1的中點，則下列平面中與OM掃過的平面平行的是()A面ABB1A1 B面BCC1B1C面BCFE D面DCC1D1答案C解析取AB、DC的中點分別為E1和F1，OM掃過的平面即為面A1E1F1D1(如圖)，故面A1E1F1D1面BCFE.7如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，給出下列四個推斷：FG平面AA1D1D；EF平面BC1D1；FG平面BC1D1；平面EFG平面BC1D1.其中推斷正確的是()A B C D答案A解析在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，F(xiàn)GBC1.BC1AD1，F(xiàn)GAD1，F(xiàn)G平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，F(xiàn)G平面AA1D1D，故正確；EFA1C1，A1C1與平面BC1D1相交，EF與平面BC1D1相交，故錯誤；FGBC1，F(xiàn)G平面BC1D1，BC1平面BC1D1，F(xiàn)G平面BC1D1，故正確；EF與平面BC1D1相交，平面EFG與平面BC1D1相交，故錯誤故選A.二、填空題8如圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面平行，且四邊形ABCD在平面內(nèi)的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形，則四邊形ABCD的形狀一定是_形答案平行四邊解析由夾在兩平行平面間的平行線段相等可得9.如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB與M，交BC與N，則_.答案解析平面MNE平面ACB1，由平面平行的性質(zhì)定理可得ENB1C，EMB1A，又E為BB1的中點，M，N分別為BA，BC的中點，MNAC.即.10已知三棱柱ABCA1B1C1，D，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1，CC1的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是_答案平行解析D，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1，CC1的中點，在平行四邊形AA1B1B與平行四邊形BB1C1C中，DEAB，EFBC，又DE平面ABC，EF平面ABC，DE平面ABC，EF平面ABC.又DEEFE，平面DEF平面ABC.11如圖所示的正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別為A1D1，AA1的中點，過C1，E，F(xiàn)的截面的周長為_答案46解析由EF平面BCC1B1可知平面BCC1B1與平面EFC1的交線為BC1，平面EFC1與平面ABB1A1的交線為BF，所以截面周長為EFFBBC1C1E46.三、解答題12.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中點，平面AB1M平面BC1N，AC平面BC1NN.求證：N為AC的中點證明平面AB1M平面BC1N，平面ACC1A1平面AB1MAM，平面BC1N平面ACC1A1C1N，C1NAM，又ACA1C1，四邊形ANC1M為平行四邊形，ANC1MA1C1AC，N為AC的中點13如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC上一點，M，N分別是AE，CD1的中點，ADAA1a，AB2a，求證：MN平面ADD1A1.證明如圖，取CD的中點K，連接MK，NK.因為M，N，K分別是AE，CD1，CD的中點，所以MKAD，NKDD1.又MK平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，所以MK平面ADD1A1.同理NK平面ADD1A1.又MKNKK，所以平面MNK平面ADD1A1，又MN平面MNK，所以MN平面ADD1A1.四、探究與拓展14如圖是四棱錐的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點，在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論：平面EFGH平面ABCD；平面PADBC；平面PCDAB；平面PAD平面PAB.其中正確的有()A BC D答案C解析把平面展開圖還原為四棱錐如圖所示，則EHAB，所以EH平面ABCD.同理可證EF平面ABCD，所以平面EFGH平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱錐的四個側(cè)面，則它們兩兩相交ABCD，平面PCDAB.同理平面PADBC.15.如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE平面AB1C1？若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由解存在點E，且E為AB的中點時，DE平面AB1C1.證明如下：如圖，取BB1的中點F，連接DF，則DFB1C1，因為AB的中點為E，連接EF，則EFAB1，B1C1AB1B1，EFDFF，所以平面DEF平面AB1C1.又DE平面DEF，所以DE平面AB1C1.17