1.1.2棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征學(xué)習(xí)目標(biāo)1.認(rèn)識(shí)組成我們生活世界的各種各樣的多面體.2.認(rèn)識(shí)和把握棱柱、棱錐、棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)特征.3.了解多面體可按哪些不同的標(biāo)準(zhǔn)分類，可以分成哪些類別知識(shí)點(diǎn)一多面體多面體的有關(guān)概念(1)多面體：由若干個(gè)平面多邊形所圍成的幾何體(2)多面體的相關(guān)概念面：圍成多面體的各個(gè)多邊形棱：相鄰的兩個(gè)面的公共邊頂點(diǎn)：棱和棱的公共點(diǎn)對(duì)角線：連接不在同一個(gè)面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段截面：一個(gè)幾何體和一個(gè)平面相交所得到的平面圖形(包含它的內(nèi)部)(3)凸多面體：把一個(gè)多面體的任意一個(gè)面延展為平面，如果其余的各面都在這個(gè)平面的同一側(cè)，則這樣的多面體就叫做凸多面體知識(shí)點(diǎn)二棱柱1棱柱的定義及表示名稱棱柱特征性質(zhì)或定義條件：有兩個(gè)互相平行的面；夾在這兩個(gè)平行平面間的每相鄰兩個(gè)面的交線都互相平行圖形表示及相關(guān)名稱棱柱ABCDEABCDE(或棱柱AC)2.棱柱的分類(1)按底面多邊形的邊數(shù)棱柱(2)按側(cè)棱與底面是否垂直棱柱(3)特殊的四棱柱知識(shí)點(diǎn)三棱錐1棱錐的定義及表示名稱棱錐特征性質(zhì)或定義條件：有一個(gè)面是多邊形；其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形圖形表示及相關(guān)名稱棱錐SABCD(或棱錐SAC)2.棱錐的分類(1)按底面多邊形的邊數(shù)棱錐(2)特殊的棱錐正棱錐知識(shí)點(diǎn)四棱臺(tái)1棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征及分類名稱定義圖形及表示相關(guān)概念分類棱臺(tái)棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺(tái)如圖可記作：棱臺(tái)ABCABC上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫浩渌髅鎮(zhèn)壤猓合噜弮蓚?cè)面的公共邊高：兩底面間的距離由三棱錐、四棱錐、五棱錐截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)2.特殊的棱臺(tái)正棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)1棱柱的側(cè)面都是平行四邊形()2有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐(×)3夾在兩個(gè)平行的平面之間，其余面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺(tái)(×)類型一棱柱、棱錐、棱臺(tái)的有關(guān)概念例1(1)下列命題中正確的是()A棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行B棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面C在平行六面體中，任意兩個(gè)相對(duì)的面均互相平行，但平行六面體的任意兩個(gè)相對(duì)的面不一定可當(dāng)作它的底面D棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形(2)下列說(shuō)法正確的序號(hào)是_棱錐的側(cè)面不一定是三角形；棱錐的各側(cè)棱長(zhǎng)一定相等；棱臺(tái)的各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)；有兩個(gè)面互相平行且相似，其余各面都是梯形，則此幾何體是棱臺(tái)答案(1)A(2)解析(1)正四棱柱中兩個(gè)相對(duì)側(cè)面互相平行，故B錯(cuò)；平行六面體的任意兩個(gè)相對(duì)面可作底面，故C錯(cuò)；棱柱的底面可以是平行四邊形，故D錯(cuò)(2)棱錐的側(cè)面是有公共頂點(diǎn)的三角形，但是各側(cè)棱不一定相等，故不正確；棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的，故各個(gè)側(cè)棱的延長(zhǎng)線一定交于一點(diǎn)，正確；棱臺(tái)的各條側(cè)棱必須交于一點(diǎn)，故不正確反思與感悟棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱有兩個(gè)主要結(jié)構(gòu)特征：一是有兩個(gè)面互相平行，二是各側(cè)棱都平行，各側(cè)面都是平行四邊形(2)棱錐有兩個(gè)主要結(jié)構(gòu)特征：一是有一個(gè)面是多邊形，二是其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形(3)棱臺(tái)的上、下底面平行且相似，各側(cè)棱延長(zhǎng)交于一點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練1(1)下列命題：各側(cè)面為矩形的棱柱是長(zhǎng)方體；直四棱柱是長(zhǎng)方體；側(cè)棱與底面垂直的棱柱是直棱柱；各側(cè)面是矩形的直四棱柱為正四棱柱其中正確的是_(填序號(hào))答案解析中一定為直棱柱但不一定是長(zhǎng)方體；直四棱柱的底面可以是任意的四邊形，不一定是矩形；符合直棱柱的定義；中的棱柱為一般直棱柱，它的底面不一定為正方形(2)下列命題：各個(gè)側(cè)面是等腰三角形的四棱錐是正四棱錐；底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；棱錐的所有側(cè)面可以都是直角三角形；四棱錐的側(cè)面中最多有四個(gè)直角三角形；棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等其中正確的命題有_(填序號(hào))答案解析在四棱錐PABCD中，PAPBPCPD，底面ABCD為矩形，但不一定是正方形，這樣的棱錐就不是正四棱錐，因此錯(cuò)誤；底面是正多邊形，但側(cè)棱長(zhǎng)不一定都相等，這樣的棱錐也不一定是正棱錐，故錯(cuò)誤；在三棱錐PABC中，PA垂直于平面ABC，ABC90°，則此三棱錐的所有側(cè)面都是直角三角形，故正確；在四棱錐PABCD中，PA垂直于平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，故正確；棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)不一定都相等，故錯(cuò)誤類型二簡(jiǎn)單幾何體中的計(jì)算問題例2正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為2，求正三棱錐的高解作出正三棱錐如圖，SO為其高，連接AO，作ODAB于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)在RtADO中，AD，OAD30°，故AO.在RtSAO中，SA2，AO，故SO3，故三棱錐的高為3.引申探究1若本例條件不變，求正三棱錐的斜高解作出正三棱錐如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接SE，則SE為該正三棱錐的斜高，在SAE中，SA2，AE，所以SE.2若將本例中“正三棱錐”改為“正四棱錐”，其他條件不變，求正四棱錐的高解如圖，在正四棱錐SABCD中，ABBCCDDA3，AC3，所以O(shè)C.在RtSOC中，SC2，所以SO.即正四棱錐的高為.反思與感悟(1)正棱錐中直角三角形的應(yīng)用已知正棱錐如圖(以正四棱錐為例)，其高為PO，底面為正方形，作PECD于點(diǎn)E，則PE為斜高斜高、側(cè)棱構(gòu)成直角三角形，如圖中RtPEC；斜高、高構(gòu)成直角三角形，如圖中RtPOE；側(cè)棱、高構(gòu)成直角三角形，如圖中RtPOC.(2)正棱臺(tái)中直角梯形的應(yīng)用已知正棱臺(tái)如圖(以正四棱臺(tái)為例)，O1，O分別為上，下底面中心，作O1E1B1C1于點(diǎn)E1，OEBC于點(diǎn)E，則E1E為斜高斜高、側(cè)棱構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形E1ECC1；斜高、高構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形O1E1EO；高、側(cè)棱構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形O1OCC1.跟蹤訓(xùn)練2已知正四棱臺(tái)的上、下底面面積分別為4、16，一側(cè)面面積為12，分別求該棱臺(tái)的斜高、高、側(cè)棱長(zhǎng)解如圖，設(shè)O，O分別為上、下底面的中心，即OO為正四棱臺(tái)的高，E，F(xiàn)分別為BC，BC的中點(diǎn)，EFBC，即EF為斜高由上底面面積為4，上底面為正方形，可得 BC2；同理，BC4.四邊形BCCB的面積為12, ×(24)·EF12，EF4.過B作BHBC交BC于H，則BHBFBE211，BHEF4.在RtBBH中，BB.同理，在直角梯形OOFE中，計(jì)算出OO.綜上，該正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為，斜高為4，高為.類型三多面體的展開圖例3如圖，在側(cè)棱長(zhǎng)為2的正三棱錐VABC中，AVBBVCCVA40°，過點(diǎn)A作截面AEF，求截面AEF周長(zhǎng)的最小值解沿著側(cè)棱VA把正三棱錐VABC展開在一個(gè)平面內(nèi)，如圖則AA的長(zhǎng)即為截面AEF周長(zhǎng)的最小值，且AVA3×40°120°.在VAA中，AA2×2×6，故截面AEF周長(zhǎng)的最小值為6.反思與感悟求幾何體表面上兩點(diǎn)間的最小距離(1)將幾何體沿著某棱剪開后展開，畫出其側(cè)面展開圖(2)將所求曲線問題轉(zhuǎn)化為平面上的線段問題(3)結(jié)合已知條件求得結(jié)果跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA12，由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面(經(jīng)過棱AA1)到達(dá)頂點(diǎn)C1，與AA1的交點(diǎn)記為M，則從點(diǎn)B經(jīng)點(diǎn)M到C1的最短路線長(zhǎng)為()A2 B2 C4 D4答案B解析沿側(cè)棱BB1將正三棱柱的側(cè)面展開，得到一個(gè)矩形BB1B1B(如圖)由側(cè)面展開圖可知，當(dāng)B，M，C1三點(diǎn)共線時(shí)，從點(diǎn)B經(jīng)過M到達(dá)C1的路線最短所以最短路線長(zhǎng)為BC12.1觀察如圖所示的四個(gè)幾何體，其中判斷不正確的是()A是棱柱 B不是棱錐C不是棱錐 D是棱臺(tái)考點(diǎn)空間幾何體題點(diǎn)空間幾何體結(jié)構(gòu)判斷答案B解析結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義可知是棱柱，是棱錐，是棱臺(tái)，不是棱錐，故B錯(cuò)誤2下列說(shuō)法中，正確的是()A有一個(gè)底面為多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體是棱錐B用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)C棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形答案A解析B錯(cuò)，截面與底面平行時(shí)才能得棱臺(tái)；C錯(cuò)，棱柱底面可能是平行四邊形；D錯(cuò)，棱柱側(cè)面的平行四邊形不一定全等，如長(zhǎng)方體3下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A多面體至少有四個(gè)面B九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形C長(zhǎng)方體、正方體都是棱柱D三棱柱的側(cè)面為三角形答案D解析由于三棱柱的側(cè)面為平行四邊形，故D錯(cuò)4正四棱錐SABCD的所有棱長(zhǎng)都等于a，過不相鄰的兩條側(cè)棱作截面SAC，則截面面積為_答案a2解析ACa，由SASCa，則有SA2SC2AC2，ASC90°.所以SSAC·a·aa2.5對(duì)棱柱而言，下列說(shuō)法正確的是_(填序號(hào))有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形；所有的棱長(zhǎng)都相等；棱柱中至少有2個(gè)面的形狀完全相同；相鄰兩個(gè)面的交線叫做側(cè)棱答案解析正確，根據(jù)棱柱的定義可知；錯(cuò)誤，因?yàn)閭?cè)棱與底面上棱長(zhǎng)不一定相等；正確，根據(jù)棱柱的特征知，棱柱中上下兩個(gè)底面一定是全等的，棱柱中至少有兩個(gè)面的形狀完全相同；錯(cuò)誤，因?yàn)榈酌婧蛡?cè)面的交線不是側(cè)棱1在理解的基礎(chǔ)上，要牢記棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義，能夠根據(jù)定義判斷幾何體的形狀2(1)各種棱柱之間的關(guān)系棱柱的分類棱柱常見的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系(2)棱柱、棱錐、棱臺(tái)在結(jié)構(gòu)上既有區(qū)別又有聯(lián)系，具體見下表：名稱底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤飧咂叫杏诘酌娴慕孛胬庵崩庵叫星胰鹊膬蓚€(gè)多邊形平行四邊形平行且相等與底面全等直棱柱平行且全等的兩個(gè)多邊形矩形平行、相等且垂直于底面等于側(cè)棱與底面全等正棱柱平行且全等的兩個(gè)正多邊形全等的矩形平行、相等且垂直于底面等于側(cè)棱與底面全等棱錐正棱錐一個(gè)正多邊形全等的等腰三角形有一個(gè)公共頂點(diǎn)且相等過底面中心與底面相似其他棱錐一個(gè)多邊形三角形有一個(gè)公共頂點(diǎn)與底面相似棱臺(tái)正棱臺(tái)平行且相似的兩個(gè)正多邊形全等的等腰梯形相等且延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)與底面相似其他棱臺(tái)平行且相似的兩個(gè)多邊形梯形延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)與底面相似一、選擇題1下面幾何體中是棱柱的有()A3個(gè) B4個(gè) C5個(gè) D6個(gè)答案C解析棱柱有三個(gè)特征：(1)有兩個(gè)面互相平行；(2)其余各面是四邊形；(3)側(cè)棱相互平行本題所給幾何體中，不符合棱柱的三個(gè)特征，而符合，故選C.2下面多面體中有12條棱的是()A四棱柱 B四棱錐C五棱錐 D五棱柱考點(diǎn)空間幾何體題點(diǎn)空間幾何體結(jié)構(gòu)判斷答案A解析n棱柱共有3n條棱，n棱錐共有2n條棱，四棱柱共有12條棱；四棱錐共有8條棱；五棱錐共有10條棱；五棱柱共有15條棱故選A.3一棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，且所有側(cè)棱長(zhǎng)之和為100，則其側(cè)棱長(zhǎng)為()A10 B20 C5 D15答案B解析易知該棱柱為五棱柱，共有5條側(cè)棱，且側(cè)棱長(zhǎng)相等，故其側(cè)棱長(zhǎng)為20.4有兩個(gè)面平行的多面體不可能是()A棱柱 B棱錐C棱臺(tái) D以上都錯(cuò)考點(diǎn)空間幾何體題點(diǎn)空間幾何體結(jié)構(gòu)判斷答案B解析由棱錐的結(jié)構(gòu)特征可得5下列說(shuō)法正確的是()A棱柱的底面一定是平行四邊形B棱錐的底面一定是三角形C棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐D棱柱被平面分成的兩部分可能都是棱柱答案D解析棱柱與棱錐的底面可以是任意多邊形，A、B不正確；過棱錐的頂點(diǎn)的縱截面可以把棱錐分成兩個(gè)棱錐，C不正確6如圖所示，在三棱臺(tái)ABCABC中，截去三棱錐AABC，則剩余部分是()A三棱錐 B四棱錐C三棱柱 D三棱臺(tái)考點(diǎn)棱錐的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)棱錐的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用答案B解析由題圖知剩余的部分是四棱錐ABCCB.7已知集合A正方體，B長(zhǎng)方體，C正四棱柱，D直平行六面體，則()AABCD BCABDCACBD D它們無(wú)確切包含關(guān)系答案C解析在這4種圖形中，包含元素最多的是直平行六面體，其次是長(zhǎng)方體，最少的是正方體，其次是正四棱柱二、填空題8下圖中不可能圍成正方體的是_(填序號(hào))答案9以三棱臺(tái)的頂點(diǎn)為三棱錐的頂點(diǎn)，這樣可以把一個(gè)三棱臺(tái)分成_個(gè)三棱錐答案3解析如圖，分割為A1ABC，BA1CC1，C1A1B1B，3個(gè)棱錐10若正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是5和7，對(duì)角線長(zhǎng)為9，則該棱臺(tái)的高為_答案3解析由題意，得正四棱臺(tái)的對(duì)角面為等腰梯形，其中上底長(zhǎng)為5，下底長(zhǎng)為7，對(duì)角線長(zhǎng)為9，則高為3.11.如圖所示，對(duì)幾何體的說(shuō)法正確的是_(填序號(hào))這是一個(gè)六面體；這是一個(gè)四棱臺(tái)；這是一個(gè)四棱柱；此幾何體可由三棱柱截去一個(gè)三棱柱得到；此幾何體可由四棱柱截去一個(gè)三棱柱得到答案解析正確，因?yàn)橛辛鶄€(gè)面，屬于六面體錯(cuò)誤，因?yàn)閭?cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，所以不正確正確，如果把幾何體放倒就會(huì)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)四棱柱都正確，如圖所示三、解答題12.如圖，在邊長(zhǎng)為2a的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，沿圖中虛線將3個(gè)三角形折起，使點(diǎn)A，B，C重合，重合后記為點(diǎn)P.問：(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？(2)這個(gè)幾何體共有幾個(gè)面，每個(gè)面的三角形有何特點(diǎn)？(3)每個(gè)面的三角形面積為多少？解(1)如圖，折起后的幾何體是三棱錐(2)這個(gè)幾何體共有4個(gè)面，其中DEF為等腰三角形，PEF為等腰直角三角形，DPE和DPF均為直角三角形(3)SPEFa2，SDPFSDPE×2a×aa2，SDEFS正方形ABCDSPEFSDPFSDPE(2a)2a2a2a2a2.13試從正方體ABCDA1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)中任取若干，連接后構(gòu)成以下空間幾何體，并且用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示出來(lái)(1)只有一個(gè)面是等邊三角形的三棱錐；(2)四個(gè)面都是等邊三角形的三棱錐；(3)三棱柱解(1)如圖所示，三棱錐A1AB1D1(答案不唯一)(2)如圖所示，三棱錐B1ACD1(答案不唯一)(3)如圖所示，三棱柱A1B1D1ABD(答案不唯一)四、探究與拓展14.如圖，已知正三棱錐PABC的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，Q是側(cè)棱PA的中點(diǎn)，一條折線從A點(diǎn)出發(fā)，繞側(cè)面一周到Q點(diǎn)，則這條折線長(zhǎng)度的最小值為_答案解析沿著棱PA把三棱錐展開成平面圖形，所求的折線長(zhǎng)度的最小值就是線段AQ的長(zhǎng)度，令PAB，則60°，在展開圖中，AQ.15給出兩塊正三角形紙片(如圖所示)，要求將其中一塊剪拼成一個(gè)底面為正三角形的三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)底面是正三角形的三棱柱模型，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方案，分別用虛線標(biāo)示在圖中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明考點(diǎn)棱錐的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)棱錐的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用解如圖(1)所示，沿正三角形三邊中點(diǎn)連線折起，可拼得一個(gè)底面為正三角形的三棱錐如圖(2)所示，正三角形三個(gè)角上剪出三個(gè)相同的四邊形，其較長(zhǎng)的一組鄰邊邊長(zhǎng)為三角形邊長(zhǎng)的，有一組對(duì)角為直角，余下部分按虛線三角形的邊折成，可成為一個(gè)缺上底的底面為正三角形的三棱柱，而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成這個(gè)底面為正三角形的棱柱的上底.17