1.1.3圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球?qū)W習(xí)目標(biāo)1.認(rèn)識(shí)組成我們生活世界的各種各樣的旋轉(zhuǎn)體.2.認(rèn)識(shí)和把握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球體的幾何結(jié)構(gòu)特征知識(shí)點(diǎn)一圓柱、圓錐、圓臺(tái)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義及結(jié)構(gòu)特征(1)定義分別看作以所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將分別旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體這類幾何體叫旋轉(zhuǎn)體(2)相關(guān)概念高：在軸上的這條邊(或它的長(zhǎng)度)底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫翰淮怪庇谳S的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面母線：繞軸旋轉(zhuǎn)的邊(3)圖形表示知識(shí)點(diǎn)二球1定義：一個(gè)球面可以看作半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，球面圍成的幾何體叫做球2相關(guān)概念(1)球心：形成球的半圓的圓心；球的半徑：連接球心和球面上一點(diǎn)的線段(2)球的直徑：連接球面上兩點(diǎn)并且通過(guò)球心的線段(3)球的大圓：球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓(4)球的小圓：球面被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓(5)兩點(diǎn)的球面距離：在球面上，兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離3球形表示特別提醒：球與球面是完全不同的兩個(gè)概念，球指球面所圍成的空間，而球面只指球的表面部分知識(shí)點(diǎn)三旋轉(zhuǎn)體1定義：由一個(gè)平面圖形繞著一條直線旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面所圍成的幾何體2軸：這條直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸知識(shí)點(diǎn)四組合體思考組合體是由簡(jiǎn)單幾何體堆砌(或疊加)而成的嗎？答案不是，組合體的組合方式有多種，可以堆砌，可以挖空等梳理由柱、錐、臺(tái)、球等基本幾何體組合而成的幾何體叫做組合體1圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái)()2夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體是一圓柱(×)3半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球(×)類型一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征例1下列命題正確的是_(填序號(hào))以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐；半圓面繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球；用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面答案解析以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐；以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺(tái)；它們的底面為圓面；正確反思與感悟(1)判斷簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線(2)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量在軸截面中解決簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體問(wèn)題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想跟蹤訓(xùn)練1下列命題：圓柱的軸截面是過(guò)母線的截面中最大的一個(gè)；用任意一個(gè)平面去截圓錐得到的截面一定是一個(gè)圓；圓臺(tái)的任意兩條母線的延長(zhǎng)線，可能相交也可能不相交；球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心的連線段其中正確的個(gè)數(shù)為()A0 B1 C2 D3答案C解析錯(cuò)誤，截面可能是一個(gè)三角形；錯(cuò)誤，圓臺(tái)的任意兩條母線的延長(zhǎng)線必相交于一點(diǎn)；正確故選C.類型二簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征例2如圖所示，已知AB是直角梯形ABCD與底邊垂直的一腰分別以AB，CD，AD為軸旋轉(zhuǎn)，試說(shuō)明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征解(1)以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)，如圖(1)所示(2)以CD邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為一組合體：上部為圓錐，下部為圓臺(tái)，再挖去一個(gè)小圓錐如圖(2)所示(3)以AD邊為軸旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)組合體，它是一個(gè)圓柱上部挖去一個(gè)圓錐如圖(3)所示反思與感悟(1)平面圖形以一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，要過(guò)有關(guān)頂點(diǎn)向軸作垂線，然后想象所得旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)和組成(2)必要時(shí)作模型，培養(yǎng)動(dòng)手能力跟蹤訓(xùn)練2如圖(1)、(2)所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的？解圖(1)、圖(2)旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示分別是圖、圖.其中圖是由一個(gè)圓柱O1O2和兩個(gè)圓臺(tái)O2O3，O3O4組成的；圖是由一個(gè)圓錐O5O4，一個(gè)圓柱O3O4及一個(gè)圓臺(tái)O1O3中挖去圓錐O2O1組成的類型三旋轉(zhuǎn)體中的有關(guān)計(jì)算命題角度1有關(guān)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的計(jì)算例3一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12 cm，兩底面面積分別為4 cm2和25 cm2，求：(1)圓臺(tái)的高；(2)將圓臺(tái)還原為圓錐后，圓錐的母線長(zhǎng)解(1)圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖所示)由已知可得O1A2 cm，OB5 cm.又由題意知，腰長(zhǎng)為12 cm，所以高AM3(cm)(2)如圖所示，延長(zhǎng)BA，OO1，CD交于點(diǎn)S，設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為l，則由SAO1SBO，可得，解得l20 cm.即截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為20 cm.反思與感悟用平行于底面的平面去截柱、錐、臺(tái)等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)(與底面全等或相似)，同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的截面(軸截面)的性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組而得解跟蹤訓(xùn)練3如圖，在底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱，求圓柱的底面半徑解設(shè)圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，則由三角形相似，得，即1，解得r1.即圓柱的底面半徑為1.命題角度2球的截面的有關(guān)計(jì)算例4在球內(nèi)有相距9 cm的兩個(gè)平行截面面積分別為49 cm2和400 cm2，求此球的半徑解若兩截面位于球心的同側(cè)，如圖(1)所示的是經(jīng)過(guò)球心O的大圓截面，C，C1分別是兩平行截面的圓心，設(shè)球的半徑為R cm，截面圓的半徑分別為r cm，r1 cm.由r49，得r17(r17舍去)，由r2400，得r20(r20舍去)在RtOB1C1中，OC1，在RtOBC中，OC.由題意可知OC1OC9，即9，解此方程，取正值得R25.若球心在兩截面之間，如圖(2)所示，OC1，OC.由題意可知OC1OC9，即9.整理，得15，此方程無(wú)解，這說(shuō)明第二種情況不存在綜上所述，此球的半徑為25 cm.引申探究若將把本例的條件改為“球的半徑為5，兩個(gè)平行截面的周長(zhǎng)分別為6和8”，則兩平行截面間的距離是_答案1或7解析畫(huà)出球的截面圖，如圖所示兩平行直線是球的兩個(gè)平行截面的直徑，有兩種情形：兩個(gè)平行截面在球心的兩側(cè)，兩個(gè)平行截面在球心的同側(cè)對(duì)于，m4，n3，兩平行截面間的距離是mn7；對(duì)于，兩平行截面間的距離是mn1.反思與感悟設(shè)球的截面圓上一點(diǎn)A，球心為O，截面圓心為O1，則AO1O是以O(shè)1為直角頂點(diǎn)的直角三角形，解答球的截面問(wèn)題時(shí)，常用該直角三角形或者用過(guò)球心和截面圓心的軸截面求解跟蹤訓(xùn)練4設(shè)地球半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩地，它們?cè)诰暥热ι系幕￠L(zhǎng)等于R.求A，B兩地間的球面距離解如圖所示，A，B是北緯45°圈上的兩點(diǎn)，AO為它的半徑，O為地球的球心，OO AO，OOBO.OAOOBO45°，AOBOOA·cos 45°R.設(shè)AOB的度數(shù)為，則·AO·RR，90°.AB R.在AOB中，AOBOABR，則AOB為正三角形，AOB60°.A，B兩地間的球面距離為R.1下列幾何體是臺(tái)體的是()考點(diǎn)圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)圓臺(tái)的概念的應(yīng)用答案D解析臺(tái)體包括棱臺(tái)和圓臺(tái)兩種，A的錯(cuò)誤在于四條側(cè)棱沒(méi)有交于一點(diǎn)，B的錯(cuò)誤在于截面與圓錐底面不平行C是棱錐，結(jié)合棱臺(tái)和圓臺(tái)的定義可知D正確2下列選項(xiàng)中的三角形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周，能得到如下圖中的幾何體的是()答案B解析由題意知，所得幾何體是組合體，上、下各一圓錐，顯然B正確3下面幾何體的截面一定是圓面的是()A圓臺(tái) B球 C圓柱 D棱柱答案B解析截面可以從各個(gè)不同的部位截取，截得的截面都是圓面的幾何體只有球4若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為_(kāi)考點(diǎn)圓錐的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)與圓錐有關(guān)的運(yùn)算答案2解析如圖所示，設(shè)等邊三角形ABC為圓錐的軸截面，由題意知圓錐的母線長(zhǎng)即為ABC的邊長(zhǎng)，且SABCAB2，AB2，AB2.故圓錐的母線長(zhǎng)為2.5湖面上浮著一個(gè)球，湖水結(jié)冰后，將球取出，冰上留下一個(gè)直徑為24 cm，深為8 cm的空穴，則球的半徑為_(kāi) cm.答案13解析設(shè)球的半徑為R cm，由題意知，截面圓的半徑r12 cm，球心距d(R8)cm，由R2r2d2，得R2144(R8)2，即20816R0，解得R13 cm.1圓柱、圓錐、圓臺(tái)的關(guān)系如圖所示2處理臺(tái)體問(wèn)題常采用還臺(tái)為錐的補(bǔ)體思想3處理組合體問(wèn)題常采用分割思想4重視圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面在解決幾何問(wèn)題中的特殊作用，切實(shí)體會(huì)空間幾何平面化的思想.一、選擇題1下列幾何體中不是旋轉(zhuǎn)體的是()答案D2下列說(shuō)法正確的是()A到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球B球面上不同的三點(diǎn)可能在同一條直線上C用一個(gè)平面截球，其截面是一個(gè)圓D球心與截面圓心(截面不過(guò)球心)的連線垂直于該截面考點(diǎn)球的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)球的概念的應(yīng)用答案D解析對(duì)于A，球是球體的簡(jiǎn)稱，球體的外表面我們稱之為球面，球面是一個(gè)曲面，是空心的，而球是幾何體，是實(shí)心的，故A錯(cuò)；對(duì)于B，球面上不同的三點(diǎn)一定不共線，故B錯(cuò)；對(duì)于C，用一個(gè)平面截球，其截面是一個(gè)圓面，而不是一個(gè)圓，故C錯(cuò)，故選D.3一個(gè)圓柱的母線長(zhǎng)為5，底面半徑為2，則圓柱的軸截面的面積為()A10 B20 C40 D15答案B4一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為20 cm，母線與軸的夾角為30°，則圓錐的高為()A10 cm B20 cm C20 cm D10 cm答案A解析如圖所示，在RtABO中，AB20 cm，A30°，所以AOAB·cos 30°20·10(cm)5如果圓臺(tái)兩底面的半徑分別是7和1，則與兩底面平行且等距離的截面面積是()A24 B16 C8 D4答案B解析截面圓的半徑為4，面積為r216.6.如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法不正確的是()A該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的B該幾何體有12條棱、6個(gè)頂點(diǎn)C該幾何體有8個(gè)面，并且各面均為三角形D該幾何體有9個(gè)面，其中一個(gè)面是四邊形，其余均為三角形答案D解析其中ABCD不是面，該幾何體有8個(gè)面7用一張長(zhǎng)為8，寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則相應(yīng)圓柱的底面半徑是()A2 B2C.或 D.或答案C解析如圖所示，設(shè)底面半徑為r，若矩形的長(zhǎng)8為卷成圓柱底面的周長(zhǎng)，則2r8，所以r；同理，若矩形的寬4為卷成圓柱的底面周長(zhǎng)，則2r4，所以r，故選C.8.如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為()A一個(gè)球體B一個(gè)球體中間挖去一個(gè)圓柱C一個(gè)圓柱D一個(gè)球體中間挖去一個(gè)長(zhǎng)方體答案B解析圓面繞著直徑所在的軸，旋轉(zhuǎn)而形成球，矩形繞著軸旋轉(zhuǎn)而形成圓柱. 故選B. 二、填空題9正方形繞其一條對(duì)角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是_答案兩個(gè)圓錐解析連接正方形的兩條對(duì)角線知對(duì)角線互相垂直，故繞對(duì)角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成兩個(gè)底面相同的圓錐10若母線長(zhǎng)是4的圓錐的軸截面的面積是8，則該圓錐的高是_答案2解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的高h(yuǎn)，由題意可知·2r·hr8，r28，h2.11若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為2的半圓面，則該圓錐的高為_(kāi)考點(diǎn)圓錐的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)與圓錐有關(guān)的運(yùn)算答案解析由題意知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為2的半圓面，因?yàn)?l2，所以母線長(zhǎng)為l2，又半圓的弧長(zhǎng)為2，圓錐的底面的周長(zhǎng)為2r2，所以底面圓半徑為r1，所以該圓錐的高為h .三、解答題12A，B，C是球面上三點(diǎn)，已知弦(連接球面上兩點(diǎn)的線段)AB18 cm，BC24 cm，AC30 cm，平面ABC與球心的距離恰好為球半徑R的一半，求球的半徑解如圖所示，因?yàn)锳B2BC2AC2，所以ABC是直角三角形所以ABC的外接圓圓心O1是AC的中點(diǎn)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的平面截球O得圓O1的半徑為r15 cm.在RtOO1C中，R22r2.所以R2152，所以R2300，所以R10(cm)即球的半徑為10 cm.13圓臺(tái)側(cè)面的母線長(zhǎng)為2a，母線與軸的夾角為30°，一個(gè)底面的半徑是另一個(gè)底面半徑的2倍求兩底面的半徑與兩底面面積之和解設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為r，則下底面半徑為2r，圓臺(tái)上底面面積為S1，下底面面積為S2，兩底面面積之和為S.如圖所示，ASO30°，在RtSOA中，sin 30°，SA2r.在RtSOA中，sin 30°，SA4r.又SASAAA，即4r2r2a，ra.SS1S2r2(2r)25r25a2.圓臺(tái)上底面半徑為a，下底面半徑為2a，兩底面面積之和為5a2.四、探究與拓展14一個(gè)正方體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，作正方體的對(duì)角面，所得截面圖形是下圖中的()答案B解析由組合體的結(jié)構(gòu)特征知，球與正方體各面相切，與各棱相離，故選B.15圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為5 cm,10 cm，母線長(zhǎng)AB20 cm，從圓臺(tái)母線AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A，求：(1)繩子的最短長(zhǎng)度；(2)在繩子最短時(shí)，上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離考點(diǎn)圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)與圓臺(tái)有關(guān)的運(yùn)算解(1)如圖所示，將側(cè)面展開(kāi)，繩子的最短距離為側(cè)面展開(kāi)圖中AM的長(zhǎng)度，設(shè)OBl，則·l2×5，·(l20)2×10，解得，l20 cm.OA40 cm，OM30 cm.AM50 cm.即繩子最短長(zhǎng)度為50 cm.(2)作OQAM于點(diǎn)Q，交弧BB于點(diǎn)P，則PQ為所求的最短距離OA·OMAM·OQ，OQ24 cm.故PQOQOP24204(cm)，即在繩子最短時(shí)，上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離為4 cm.14