專題一 平面向量、三角函數(shù)與解三角形研高考·明考點年份卷別小題考查點大題考查點2017卷T13·向量的模與向量的數(shù)量積T17·正、余弦定理，三角形面積公式及兩角和的余弦公式T9·三角函數(shù)的圖象變換卷T12·平面向量的數(shù)量積T17·余弦定理、三角恒等變換及三角形面積公式T14·同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、余弦函數(shù)的性質(zhì)卷T12·平面向量的坐標運算、直線與圓的位置關(guān)系T17·余弦定理、三角形面積公式T6·余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)2016卷T13·向量的數(shù)量積及其坐標運算T17·正、余弦定理，兩角和的正弦公式及三角形面積公式T12·函數(shù)yAsin(x)的圖象與性質(zhì)卷T3·向量的坐標運算、向量垂直的應用T7·三角函數(shù)的圖象變換及性質(zhì)T9·誘導公式、三角恒等變換求值問題T13·同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式及正弦定理解三角形卷T3·向量的夾角問題T14·三角函數(shù)的圖象與變換T5·同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式T8·利用正、余弦定理解三角形2015卷T7·平面向量的線性運算T8·三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)T2·誘導公式、兩角和的正弦公式T16·正、余弦定理的應用卷T13·平面向量共線定理的應用T17·正、余弦定理及三角形面積公式析考情·明重點小題考情分析大題考情分析?？键c1.平面向量的線性運算(3年4考)2.平面向量的數(shù)量積及應用(3年5考)3.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及應用(3年7考)4.三角恒等變換與求值(3年4考) 5.利用正、余弦定理解三角形(3年3考)?？键c三角恒等變換與解三角形是此部分在高考解答題中考查的熱點，三角恒等變換一般不單獨考查，常結(jié)合正、余弦定理考查解三角形，題型主要有：1.三角形的基本量的求解問題2.與三角形面積有關(guān)的問題3.以平面幾何為載體的解三角形問題偶考點正、余弦定理的實際應用偶考點1.三角函數(shù)的綜合問題2.平面向量與解三角形、三角函數(shù)的綜合問題第一講 小題考法平面向量考點(一)主要考查平面向量的加、減、數(shù)乘等線性運算以及向量共線定理的應用.平面向量的線性運算典例感悟典例(1)(2017·合肥質(zhì)檢)已知向量a(1,3)，b(2，k)，且(a2b)(3ab)，則實數(shù)k()A4 B5 C6 D6(2)(2018屆高三·湘中名校聯(lián)考)若點P是ABC的外心，且0，ACB120°，則實數(shù)的值為()A. B C1 D1解析(1)a2b(3,32k)，3ab(5,9k)，由題意可得3(9k)5(32k)，解得k6.(2)設(shè)AB的中點為D，則2.因為0，所以20，所以向量，共線又P是ABC的外心，所以PAPB，所以PDAB，所以CDAB.因為ACB120°，所以APB120°，所以四邊形APBC是菱形，從而2，所以20，所以1，故選C.答案(1)D(2)C方法技巧解決以平面圖形為載體的向量線性運算問題的方法(1)充分利用平行四邊形法則與三角形法則，結(jié)合平面向量基本定理、共線定理等知識進行解答(2)如果圖形比較規(guī)則，向量比較明確，則可考慮建立平面直角坐標系，利用坐標運算來解決演練沖關(guān)1(2017·南昌調(diào)研)設(shè)a，b都是非零向量，下列四個選項中，一定能使0成立的是()Aa2b BabCab Dab解析：選C“0，且a，b都是非零向量”等價于“非零向量a，b共線且反向”，結(jié)合各選項可知選C.2(2017·福州模擬)已知ABC和點M滿足0.若存在實數(shù)m，使得m成立，則m()A2 B3 C4 D5解析：選B由0知，點M為ABC的重心，設(shè)點D為邊BC的中點，則×()()，所以3，則m3，故選B.3(2017·沈陽質(zhì)檢)已知向量，和在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則()A3 B3 C4 D4解析：選A建立如圖所示的平面直角坐標系xAy，設(shè)網(wǎng)格中小正方形的邊長為1，則(2，2)，(1,2)，(1,0)，由題意可知(2，2)(1,2)(1，0)，即解得所以3.故選A.考點(二)主要考查數(shù)量積的運算、夾角以及模的計算問題或求參數(shù)的值.平面向量的數(shù)量積及應用典例感悟典例(1)(2018屆高三·廣西三市聯(lián)考)已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，a與b的夾角的余弦值為sin，則b·(2ab)()A2 B1 C6 D18(2)(2017·全國卷)已知ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則·()的最小值是()A2 B C D1(3)(2018屆高三·湖北七市(州)聯(lián)考)平面向量a，b，c不共線，且兩兩所成的角相等，若|a|b|2，|c|1，則|abc|_.解析(1)|a|1，|b|2，a與b的夾角的余弦值為sin，a·b3，則b·(2ab)2a·bb218.(2)如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，設(shè)P(x，y)，則(x, y)， (1x，y)，(1x，y)，所以·()(x，y)·(2x，2y)2x222，故當x0，y時，·()取得最小值，為.(3)平面向量a，b，c不共線，且兩兩所成的角相等，它們兩兩所成的角為120°，|abc|2(abc)2a2b2c22a·b2b·c2a·c|a|2|b|2|c|22|a|b|·cos 120°2|b|c|cos 120°2|a|c|cos 120°2222122×2×2×2×2×1×2×2×1×1，故|abc|1.答案(1)D(2)B(3)1方法技巧解決以平面圖形為載體的向量數(shù)量積問題的方法(1)選擇平面圖形中的模與夾角確定的向量作為一組基底，用該基底表示構(gòu)成數(shù)量積的兩個向量，結(jié)合向量數(shù)量積運算律求解(2)若已知圖形中有明顯的適合建立直角坐標系的條件，可建立直角坐標系將向量數(shù)量積運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算來解決演練沖關(guān)1(2017·云南調(diào)研)平面向量a與b的夾角為45°，a(1,1)，|b|2，則|3ab|()A136B2C. D.解析：選D依題意得|a|，a·b×2×cos 45°2，則|3ab|，故選D.2(2018屆高三·湖南五市十校聯(lián)考)ABC是邊長為2的等邊三角形，向量a，b滿足2a，2ab，則向量a，b的夾角為()A30° B60° C120° D150°解析：選C2ab2ab，則向量a，b的夾角即為向量與的夾角，故向量a，b的夾角為120°.3(2017·天津高考)在ABC中，A60°，AB3，AC2.若2， (R)，且·4，則的值為_解析：法一：().又·3×2×3，所以··()2·233×454，解得.法二：以點A為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立平面直角坐標系(圖略)，不妨假設(shè)點C在第一象限，則A(0,0)，B(3,0)，C(1，)由2，得D，由，得E(3，)，則··(3，)(3)×54，解得.答案：必備知能·自主補缺 (一) 主干知識要記牢1平面向量的兩個充要條件若兩個非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(1)abab(b0)x1y2x2y10.(2)aba·b0x1x2y1y20.2平面向量的性質(zhì)(1)若a(x，y)，則|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，為a與b的夾角，則cos .(4)|a·b|a|·|b|.(二) 二級結(jié)論要用好1三點共線的判定(1)A，B，C三點共線，共線(2)向量，中三終點A，B，C共線存在實數(shù)，使得，且1.針對練1在ABCD中，點E是AD邊的中點，BE與AC相交于點F，若mn (m，nR)，則_.解析：如圖，2，mn，m(2n1)，F(xiàn)，E，B三點共線，m2n11，2.答案：22中點坐標和三角形的重心坐標(1)設(shè)P1，P2的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則線段P1P2的中點P的坐標為，.(2)三角形的重心坐標公式：設(shè)ABC的三個頂點的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則ABC的重心坐標是G.3三角形“四心”向量形式的充要條件設(shè)O為ABC所在平面上一點，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，則(1)O為ABC的外心|.(2)O為ABC的重心0.(3)O為ABC的垂心···.(4)O為ABC的內(nèi)心abc0.(三) 易錯易混要明了1要特別注意零向量帶來的問題：0的模是0，方向任意，并不是沒有方向；0與任意向量平行；00(R)，而不是等于0；0與任意向量的數(shù)量積等于0，即0·a0；但不說0與任意非零向量垂直2當a·b0時，不一定得到ab，當ab時，a·b0；a·bc·b，不能得到ac，即消去律不成立；(a·b)·c與a·(b·c)不一定相等，(a·b)·c與c平行，而a·(b·c)與a平行3兩向量夾角的范圍為0，向量的夾角為銳角與向量的數(shù)量積大于0不等價針對練2已知向量a(2，1)，b(，1)，若a與b的夾角為鈍角，則的取值范圍是_解析：依題意，當a與b的夾角為鈍角時，a·b21<0，解得>.而當a與b共線時，有2×1，解得2，即當2時，ab，a與b反向共線，此時a與b的夾角為，不是鈍角，因此，當a與b的夾角為鈍角時，的取值范圍是(2，)答案：(2，)課時跟蹤檢測 A組124提速練一、選擇題1(2017·沈陽質(zhì)檢)已知平面向量a(3,4)，b，若ab，則實數(shù)x為()A B.C.D解析：選Cab，3×4x，解得x，故選C.2已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c滿足c(ab)，且b(ac)，則c()A. B.C. D.解析：選A設(shè)c(x，y)，由題可得ab(3，1)，ac(1x,2y)因為c(ab)，b(ac)，所以解得故c.3已知平面直角坐標系內(nèi)的兩個向量a(1,2)，b(m,3m2)，且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一的表示成cab(，為實數(shù))，則實數(shù)m的取值范圍是()A(，2) B(2，)C(，) D(，2)(2，)解析：選D由題意知向量a，b不共線，故2m3m2，即m2.4(2017·西安模擬)已知向量a與b的夾角為120°，|a|3，|ab|，則|b|()A5 B4C3 D1解析：選B因為|ab|，所以|ab|2a22a·bb213，即92×3×|b|cos 120°|b|213，得|b|4.5(2018屆高三·西安八校聯(lián)考)已知點A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影是()A. BC3 D3解析：選C依題意得，(2,1)，(5,5)，·(2,1)·(5,5)15，|，因此向量在方向上的投影是3.6已知A，B，C三點不共線，且點O滿足0，則下列結(jié)論正確的是()A BC D解析：選D0，O為ABC的重心，×()()()，故選D.7已知向量a(，1)，b是不平行于x軸的單位向量，且a·b，則b()A. B.C.D(1,0)解析：選B設(shè)b(cos ，sin )(0，)(，2)，則a·b(，1)·(cos ，sin )cos sin 2sin，得，故b.8(2018屆高三·廣東五校聯(lián)考)已知向量a(，1)，b(2,1)，若|ab|ab|，則實數(shù)的值為()A1 B2C1 D2解析：選A由|ab|ab|可得a2b22a·ba2b22a·b，所以a·b0，即a·b(，1)·(2,1)2210，解得1.9(2017·惠州調(diào)研)若O為ABC所在平面內(nèi)任一點，且滿足()·(2)0，則ABC的形狀為()A等腰三角形 B直角三角形C正三角形 D等腰直角三角形解析：選A()·(2)0，即·()0，()·()0，即|，ABC是等腰三角形，故選A.10(2017·日照模擬)如圖，在ABC中，ABBC4，ABC30°，AD是BC邊上的高，則·()A0 B4C8 D4解析：選B因為ABBC4，ABC30°，AD是BC邊上的高，所以AD4sin 30°2，所以··()···2×4×cos 60°4，故選B.11(2017·全國卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上若，則的最大值為()A3 B2C. D2解析：選A以A為坐標原點，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直線BD的方程為2xy20，點C到直線BD的距離為，所以圓C：(x1)2(y2)2.因為P在圓C上，所以P.又(1,0)，(0,2)，(，2)，所以則2cos sin 2sin()3(其中tan 2)，當且僅當2k，kZ時，取得最大值3.12如圖，ABC的外接圓的圓心為O，AB2，AC，BC3，則·的值為()A. B.C2D3解析：選A取BC的中點為D，連接AD，OD，則ODBC，()，所以·()····()·()(22)×()222.故選A.二、填空題13(2017·山東高考)已知e1，e2是互相垂直的單位向量若e1e2與e1e2的夾角為60°，則實數(shù)的值是_解析：因為e1e2與e1e2的夾角為60°，所以cos 60°，解得.答案：14已知非零向量m，n滿足4|m|3|n|，且m，n夾角的余弦值為，若n(tmn)，則實數(shù)t的值為_解析：n(tmn)，n·(tmn)0，即tm·n|n|20.又4|m|3|n|，t×|n|2×|n|20，解得t4.答案：415(2017·石家莊質(zhì)檢)已知與的夾角為90°，|2，|1， (，R)，且·0，則的值為_解析：根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，所以(0,2)，(1,0)，(1，2)設(shè)M(x，y)，則(x，y)，所以·(x，y)·(1，2)x2y0，所以x2y，又，即(x，y)(0,2)(1,0)(，2)，所以x，y2，所以.答案：16(2017·北京高考)已知點P在圓x2y21上，點A的坐標為(2,0)，O為原點，則·的最大值為_解析：法一：由題意知，(2,0)，令P(cos ，sin )，則(cos 2，sin )，·(2,0)·(cos 2，sin )2cos 46，當且僅當cos 1，即0，P(1,0)時等號成立，故·的最大值為6.法二：由題意知，(2,0)，令P(x，y)，1x1，則·(2,0)·(x2，y)2x46，當且僅當x1，P(1,0)時等號成立，故·的最大值為6.答案：6B組能力小題保分練1已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE2EF，則·的值為()A B.C. D.解析：選B如圖所示，.又D，E分別為AB，BC的中點，且DE2EF，所以，所以.又，則·· ()·22·22·|2|2×|×|×cosBAC.又|1，BAC60°，故·×1×1×.故選B.2(2017·長春質(zhì)檢)已知a，b是單位向量，且a·b.若平面向量p滿足p·ap·b，則|p|()A. B1 C. D2解析：選B由題意，不妨設(shè)a(1,0)，b，p(x，y)，p·ap·b，解得|p|1，故選B.3(2017·浙江高考)如圖，已知平面四邊形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC與BD交于點O.記I1·，I2·，I3·，則()AI1<I2<I3BI1<I3<I2CI3<I1<I2DI2<I1<I3解析：選C如圖所示，四邊形ABCE是正方形，F(xiàn)為正方形的對角線的交點，易得AO<AF，而AFB90°，AOB與COD為鈍角，AOD與BOC為銳角根據(jù)題意，I1I2···()·|·|cosAOB<0，I1<I2，同理得，I2>I3，作AGBD于點G，又ABAD，OB<BGGD<OD，而OA<AFFC<OC，|·|<|·|，而cosAOBcosCOD<0，·>·，即I1>I3，I3<I1<I2.4(2018屆高三·湖北八校聯(lián)考)如圖，O為ABC的外心，AB4，AC2，BAC為鈍角，M為BC邊的中點，則·的值為()A2 B12C6 D5解析：選D如圖，分別取AB，AC的中點D，E，連接OD，OE，可知ODAB，OEAC，M是BC邊的中點，()，·()·····.由數(shù)量積的定義可得·AO |·cos，而|cos，|，故·|24，同理可得·|21，故··5，即·5，故選D.5在ABC中，點D在線段BC的延長線上，且3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若x(1x)，則x的取值范圍是_解析：依題意，設(shè)，其中1<<，則有()(1).又x(1x)，且，不共線，于是有x1，由知，x，即x的取值范圍是.答案：6(2017·江蘇高考)如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，的模分別為1,1，與的夾角為，且tan 7，與的夾角為45°.若mn (m，nR)，則mn_.解析：法一：如圖，以O(shè)為坐標原點，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A(1，0)，由tan 7，得sin ，cos ，設(shè)C(xC，yC)，B(xB，yB)，則xC|cos ×，yC|sin ×，即C.又cos(45°)××，sin(45°)××，則xB|cos(45°)，yB|sin(45°)，即B.由mn，可得解得所以mn3.法二：由tan 7，得sin ，cos ，則cos(45°)××，所以·1××1，·1××，·1×1×，由mn，得·m2n·，即mn.同理可得·m·n2，即1mn.得mn，即mn3.答案：3第二講 小題考法三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(一)主要考查三角函數(shù)的圖象變換或根據(jù)圖象求解析式(或參數(shù)).三角函數(shù)的圖象及應用典例感悟典例(1)(2017·合肥質(zhì)檢)要想得到函數(shù)ysin 2x1的圖象，只需將函數(shù)ycos 2x的圖象()A向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度B向右平移個單位長度，再向上平移1個單位長度C向左平移個單位長度，再向下平移1個單位長度D向右平移個單位長度，再向下平移1個單位長度(2)(2017·貴陽檢測)函數(shù)f(x)sin(x)的最小正周期為，若其圖象向左平移個單位長度后關(guān)于y軸對稱，則()A2， B2，C4， D2，(3)(2017·貴陽檢測)已知函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0，>0,0<<)，其導數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f的值為()A2 BCD解析(1)先將函數(shù)ycos 2x的圖象向右平移個單位長度，得到y(tǒng)sin 2x的圖象，再向上平移1個單位長度，即得ysin 2x1的圖象，故選B.(2)依題意得，T，2，則f(x)sin(2x)，其圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)fxsin2x的圖象關(guān)于y軸對稱，于是有k，kZ，即k，kZ.又|<，因此，故選D.(3)依題意得f(x)Acos(x)，結(jié)合函數(shù)yf(x)的圖象可知，T4，2.又A1，因此A，則fcos1.因為0<<，所以<<，所以，故f(x)sin，則fsin×，故選D.答案(1)B(2)D(3)D方法技巧1函數(shù)表達式y(tǒng)Asin(x)B的確定方法字母確定途徑說明A由最值確定AB由最值確定B由函數(shù)的周期確定相鄰的最高點與最低點的橫坐標之差的絕對值為半個周期，最高點(或最低點)的橫坐標與相鄰零點之差的絕對值為個周期，由圖象上的特殊點確定一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置，利用待定系數(shù)法并結(jié)合圖象列方程或方程組求解2三角函數(shù)圖象平移問題處理的“三看”策略演練沖關(guān)1(2017·全國卷)已知曲線C1：ycos x，C2：ysin，則下面結(jié)論正確的是()A把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2B把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2C把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2D把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2解析：選D易知C1：ycos xsin，把曲線C1上的各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)ysin的圖象，再把所得函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得函數(shù)ysinsin2x的圖象，即曲線C2.2(2017·云南模擬)函數(shù)f(x)sin x的圖象向左平移個單位長度，所得圖象經(jīng)過點，則的最小值是()A. B2 C1 D.解析：選C依題意得，函數(shù)fsin x(>0)的圖象過點，于是有fsin sin 0(>0)，則k，kZ，即kZ，因此正數(shù)的最小值是1，故選C.3(2017·陜西質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)sin(x)的圖象上的一個最高點和它相鄰的一個最低點的距離為2，且過點，則函數(shù)f(x)_.解析：依題意得 2，則2，即，所以f(x)sin，由于該函數(shù)圖象過點2，因此sin()，即sin ，而，故，所以f(x)sin.答案：sin4.(2017·蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)Acos(x)(A>0，>0，0<<)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，EFG(點G是圖象的最高點)是邊長為2的等邊三角形，則f(1)_.解析：由題意得，A，T4，.又f(x)Acos(x)為奇函數(shù)，k，kZ，0<<，則，f(x)cos，f(1).答案：考點(二)主要考查三角函數(shù)的奇偶性及對稱性、周期性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等求參數(shù)或取值范圍.三角函數(shù)的性質(zhì)及應用典例感悟典例(1)(2017·沈陽質(zhì)檢)已知f(x)2sin2x2sin xcos x，則f(x)的最小正周期和一個單調(diào)遞減區(qū)間分別為()A2， B，C2， D，(2)(2017·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)cos，則下列結(jié)論錯誤的是()Af(x)的一個周期為2Byf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱Cf(x)的一個零點為xDf(x)在單調(diào)遞減(3)(2016·全國卷)已知函數(shù)f(x)sin(x)，x為f(x)的零點，x為yf(x)圖象的對稱軸，且f(x)在上單調(diào)，則的最大值為()A11 B9 C7 D5解析(1)f(x)2sin2x2sin xcos x1cos 2xsin 2xsin1，則T.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，令k0得f(x)在上單調(diào)遞減，故選B.(2)根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)f(x)的最小正周期為2，所以函數(shù)的一個周期為2，A正確；當x時，x3，所以cosx1，所以B正確；f(x)coscos，當x時，x，所以f(x)0，所以C正確；函數(shù)f(x)cos在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D不正確(3)由題意得且|，則2k1，kZ，或.對比選項，將選項各值依次代入驗證：若11，則，此時f(x)sin，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不滿足f(x)在區(qū)間上單調(diào)；若9，則，此時f(x)sin，滿足f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故選B.答案(1)B(2)D(3)B方法技巧1求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)代換法：求形如yAsin(x)(或yAcos(x)(A，為常數(shù)，A0，>0)的單調(diào)區(qū)間時，令xz，得yAsin z(或yAcos z)，然后由復合函數(shù)的單調(diào)性求得(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求其單調(diào)區(qū)間2判斷對稱中心與對稱軸的方法利用函數(shù)yAsin(x)的對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心一定是函數(shù)的零點這一性質(zhì)，通過檢驗f(x0)的值進行判斷3求三角函數(shù)周期的常用結(jié)論(1)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為，ytan的最小正周期為.(2)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期；正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是個周期演練沖關(guān)1(2017·洛陽模擬)下列函數(shù)中，是周期函數(shù)且最小正周期為的是()Aysin xcos x Bysin2xcos2xCycos|x| Dy3sincos解析：選B對于A，函數(shù)ysin xcos xsinx的最小正周期是2，不符合題意；對于B，函數(shù)ysin2xcos2x1cos 2x(1cos 2x)cos 2x的最小正周期是，符合題意；對于C，ycos|x|cos x的最小正周期是2，不符合題意；對于D，函數(shù)y3sincossin x的最小正周期是2，不符合題意故選B.2(2017·長春質(zhì)檢)關(guān)于函數(shù)y2sin3x1，下列敘述有誤的是()A其圖象關(guān)于直線x對稱B其圖象可由y2sin1圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫紺其圖象關(guān)于點對稱D其值域是1,3解析：選C由3xk(kZ)解得x，kZ，取k1，得函數(shù)y2sin3x1的一個對稱軸為x，故A正確；由圖象變換知識可得橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，就是把x的系數(shù)擴大3倍，故B正確；由3xk(kZ)解得x，kZ，取k3，得x，此時y1，所以函數(shù)y2sin1的對稱中心為，故C錯誤；由于1sin3x1，所以函數(shù)y2sin1的值域為1,3，故D正確3(2018屆高三·湘中名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)sinx，>0，xR，且f()，f().若|的最小值為，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_解析：由f()，f()，|的最小值為，知，即T3，所以，所以f(x)sin.由2kx2k(kZ)，得3kx3k，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為3k，3k，kZ.答案：3k，3k，kZ考點(三)主要考查求三角函數(shù)的值域或最值，以及根據(jù)函數(shù)的值域或最值求參數(shù).三角函數(shù)的值域與最值問題典例感悟典例(1)(2016·全國卷)函數(shù)f(x)cos 2x6cosx的最大值為()A4 B5 C6 D7(2)函數(shù)f(x)sin在上的值域為_解析(1)f(x)cos 2x6cosxcos 2x6sin x12sin2x6sin x22，又sin x1,1，當sin x1時，f(x)取得最大值5.(2)x，2x，當2x，即x時，f(x)max1.當2x，即x時，f(x)min，f(x).答案(1)B(2)方法技巧求三角函數(shù)的值域(最值)的常見類型及方法三角函數(shù)類型求值域(最值)方法yasin xbcos xc先化為yAsin(x)k的形式，再求值域(最值)yasin2xbsin xc可先設(shè)sin xt，化為關(guān)于t的二次函數(shù)，再求值域(最值)yasin xcos xb(sin x±cos x)c可先設(shè)tsin x±cos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)，再求值域(最值)y一般可看成過定點的直線與圓上動點連線的斜率問題，利用數(shù)形結(jié)合求解演練沖關(guān)1當x時，函數(shù)y3sin x2cos2x的最小值是_，最大值是_解析：y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)22.x，sin x.當sin x時，ymin，當sin x或sin x1時，ymax2.答案：22設(shè)x，則函數(shù)y的最大值為_解析：因為x，所以tan x>0，所以函數(shù)y，當且僅當3tan x時等號成立，故函數(shù)的最大值為.答案：3(2017·南寧模擬)已知函數(shù)f(x)cos3x，其中x，若f(x)的值域是，則m的取值范圍是_解析：由x，可知3x3m，fcos，且fcos 1，要使f(x)的值域是，需要3m，即m.答案：必備知能·自主補缺 (一) 主干知識要記牢1三角函數(shù)的圖象及常用性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象單調(diào)性在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞增；在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞減在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞增；在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞減在k，k(kZ)上單調(diào)遞增對稱性對稱中心：(k，0)(kZ)；對稱軸：xk(kZ)對稱中心：k，0(kZ)；對稱軸：xk(kZ)對稱中心：(kZ)2三角函數(shù)的兩種常見的圖象變換(1)ysin xysin(x) ysin(x) yAsin(x)(A>0，>0)(2)ysin xysin xysin(x)yAsin(x)(A>0，>0)(二) 二級結(jié)論要用好1sin cos 0的終邊在直線yx上方(特殊地，當在第二象限時有 sin cos 1)2sin cos 0的終邊在直線yx上方(特殊地，當在第一象限時有sin cos >1)(三) 易錯易混要明了求yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間時，要注意，A的符號<0時，應先利用誘導公式將x的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)后再求解；在書寫單調(diào)區(qū)間時，弧度和角度不能混用，需加2k時，不要忘掉kZ，所求區(qū)間一般為閉區(qū)間如求函數(shù)f(x)2sin的單調(diào)減區(qū)間，應將函數(shù)化為f(x)2sin，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)ysinx的單調(diào)增區(qū)間課時跟蹤檢測 A組124提速練一、選擇題1(2017·寶雞質(zhì)檢)函數(shù)f(x)tan的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析：選B由k<2x<k(kZ)得，<x<(kZ)，所以函數(shù)f(x)tan2x的單調(diào)遞增區(qū)間為，(kZ)，故選B.2.函數(shù)f(x)sin(x)xR，>0，|<的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為()Af(x)sin Bf(x)sinCf(x)sin Df(x)sin解析：選A由題圖可知， 函數(shù)f(x)的最小正周期為T×4，所以2，即f(x)sin(2x)又函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點，所以sin1，則2k(kZ)，解得2k(kZ)，又|<，所以，即函數(shù)f(x)sin2x，故選A.3(2017·天津高考)設(shè)函數(shù)f(x)2sin(x)，xR，其中>0，|<.若f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，則()A， B，C， D，解析：選A法一：由f2，得2k(kZ)，由f0，得k(kZ)，由得(k2k)又最小正周期T>2，所以0<<1，.又|<，將代入得.選項A符合法二：f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，f(x)的最小正周期為43，f(x)2sin.由2sin2，得2k，kZ.又|<，取k0，得.故選A.4(2017·湖北荊州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)2xtan x在上的圖象大致為()解析：選C因為函數(shù)f(x)2xtan x為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，排除選項A，B，又當x時，y<0，排除選項D，故選C.5(2017·安徽蕪湖模擬)若將函數(shù)ysin 2的圖象向右平移m(m>0)個單位長度后所得的圖象關(guān)于直線x對稱，則m的最小值為()A. B. C. D.解析：選B平移后所得的函數(shù)圖象對應的解析式是ysin 2，因為該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x對稱，所以2k(kZ)，所以m(kZ)，又m>0，故當k0時，m最小，此時m.6(2017·云南檢測)函數(shù)f(x)sin(x)>0，|<的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(14k，14k)，kZB(38k，18k)，kZC(14k,14k)，kZD(38k,18k)，kZ解析：選D由題圖，知函數(shù)f(x)的最小正周期為T4×(31)8，所以，所以f(x)sinx.把(1,1)代入，得sin1，即2k(kZ)，又|<，所以，所以f(x)sinx.由2kx2k(kZ)，得8k3x8k1(kZ)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(8k3,8k1)(kZ)，故選D.7(2017·全國卷)函數(shù)f(x)sincos的最大值為()A.B1C. D.解析：選A因為coscossin，所以f(x)sin，于是f(x)的最大值為.8(2017·武昌調(diào)研)若f(x)cos 2xacosx在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為()A2，) B(2，)C(，4) D(，4解析：選Df(x)12sin2xasin x，令sin xt，t，則g(t)2t2at1，t，因為f(x)在上單調(diào)遞增，所以1，即a4，故選D.9已知函數(shù)f(x)sin(2x)(0<<)，若將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位長度后所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則()A. B. C. D.解析：選D函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位長度后所得圖象對應的函數(shù)解析式為ysin2xsin，由于該函數(shù)是偶函數(shù)，k(kZ)，即k(kZ)，又0<<，故選D.10若函數(shù)f(x)sin xcos x(>0)滿足f()2，f()0，且|的最小值為，則函數(shù)f(x)的解析式為()Af(x)2sinBf(x)2sinCf(x)2sinDf(x)2sin解析：選Af(x)sin xcos x2sinx.因為f()2，f()0，且|min，所以，得T2(T為函數(shù)f(x)的最小正周期)，故1，所以f(x)2sin，故選A.11(2018屆高三·廣西三市聯(lián)考)已知x是函數(shù)f(x)sin(2x)cos(2x)(0<<)圖象的一條對稱軸，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)在，上的最小值為()A2 B1C D解析：選Bf(x)sin(2x)cos(2x)2sin.x是f(x)2sin圖象的一條對稱軸，2×k(kZ)，即k(kZ)，0<<，則f(x)2sin2x，g(x)2sin2sin2x，則g(x)在上的最小值為g1，故選B.12(2017·廣州模擬)已知函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)(>0,0<<)是奇函數(shù)，直線y與函數(shù)f(x)的圖象的兩個相鄰交點的橫坐標之差的絕對值為，則()Af(x)在上單調(diào)遞減Bf(x)在上單調(diào)遞減Cf(x)在上單調(diào)遞增Df(x)在上單調(diào)遞增解析：選Df(x)sin(x)cos(x)sinx，因為0<<且f(x)為奇函數(shù)，所以，即f(x)sin x，又直線y與函數(shù)f(x)的圖象的兩個相鄰交點的橫坐標之差的絕對值為，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為，由，可得4，故f(x)sin 4x，由2k4x2k，kZ，得x，kZ，令k0，得x，此時f(x)在上單調(diào)遞增，故選D.二、填空題13(2017·全國卷)函數(shù)f(x)sin2xcos x的最大值是_解析：依題意，f(x)sin2xcos xcos2xcos x21，因為x，所以cos x0,1，因此當cos x時，f(x)max1.答案：114已知函數(shù)f(x)2sin(x)對任意的x都有fxf，則f_.解析：函數(shù)f(x)2sin(x)對任意的x都有fxf，則其圖象的一條對稱軸為x，所以f±2.答案：±215(2017·深圳調(diào)研)已知函數(shù)f(x)cos xsin x(xR)，則下列四個結(jié)論中正確的是_(寫出所有正確結(jié)論的序號)若f(x1)f(x2)，則x1x2；f(x)的最小正周期是2；f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)；f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱解析：因為f(x)cos xsin xsin 2x，所以f(x)是周期函數(shù)，且最小正周期為T，所以錯誤；由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，當k0時，x，此時f(x)是增函數(shù)，所以正確；由2xk(kZ)，得x(kZ)，取k1，則x，故正確答案：16已知函數(shù)f(x)Acos2(x)1A>0，>0,0<<的最大值為3，f(x)的圖象與y軸的交點坐標為(0,2)，其相鄰兩條對稱軸間的距離為2，則f(1)f(2)f(2 016)f(2 017)_.解析：函數(shù)f(x)Acos2(x)1A·1cos(2x2)1A>0，>0,0<<的最大值為3，13，A2.根據(jù)函數(shù)圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為2，可得函數(shù)的最小正周期為4，即4，.再根據(jù)f(x)的圖象與y軸的交點坐標為(0,2)，可得cos 2112，cos 20，又0<<，2，.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)cos2sinx2，f(1)f(2)f(2 016)f(2 017)sinsinsinsinsin2×2 017504×0sin4 034014 0344 033.答案：4 033B組能力小題保分練1曲線y2coscos和直線y在y軸右側(cè)的交點的橫坐標按從小到大的順序依次記為P1，P2，P3，則|P3P7|()A B2 C4 D6解析：選By2coscoscos2xsin2xcos 2x，故曲線對應的函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為，直線y在y軸右側(cè)與函數(shù)y2cosxcosx在每個周期內(nèi)的圖象都有兩個交點，又P3與P7相隔2個周期，故|P3P7|2，故選B.2已知函數(shù)f(x)2sin(2x)在區(qū)間，上單調(diào)且最大值不大于，則的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選D因為函數(shù)f(x)2sin(2x)在區(qū)間上單調(diào)且最大值不大于，又<2x，所以2×，且2×，解得0，故選D.3.已知函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，則()Af(x)的圖象關(guān)于直線x對稱Bf(x)的圖象關(guān)于點，0對稱C若方程f(x)m在上有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是(2， D將函數(shù)y2sin的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)f(x)的圖象解析：選C根據(jù)題中所給的圖象，可知函數(shù)f(x)的解析式為f(x)2sin，當x時，2×，f2sin()0，從而f(x)的圖象關(guān)于點，0對稱，而不是關(guān)于直線x對稱，故A不正確；當x時，2×，f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，而不是關(guān)于點對稱，故B不正確；當x時，2x，f(x)2， ，結(jié)合正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)，可知若方程f(x)m在上有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是(2， ，故C正確；根據(jù)圖象平移變換的法則，可知應將y2sin的圖象向左平移個單位長度得到f(x)的圖象，故D不正確故選C.4如果兩個函數(shù)的圖