1.2基本不等式(二)1.理解定理3、定理4，會用兩個定理解決函數(shù)的最值或值域問題.2.能運用三個正數(shù)的平均值不等式解決簡單的實際問題.自學導引1.當a、b、cR時，當且僅當abc時，等號成立，稱為正數(shù)a，b，c的算術(shù)平均值，為正數(shù)a、b、c的幾何平均值.2.如果a1，a2，an為n個正數(shù)，則，當且僅當a1a2an時，等號成立.基礎(chǔ)自測1.設(shè)a、b、cR，下列各不等式中成立的是()A.a2b22|ab| B.ab2C.a3b3c33abc D.解析由a2b22|ab|a|22|ab|b|2(|a|b|)20，故選A.答案A2.函數(shù)yx2·(15x)的最大值為()A. B. C. D.解析由yx2·(15x)·x·x(15x).答案A3.已知實數(shù)a，b，c滿足abc0，a2b2c21，則a的最大值是_.解析利用不等式求解.因為abc0，所以bca.因為a2b2c21，所以a21b2c2(bc)22bca22bc，所以2a212bcb2c21a2，所以3a22，所以a2，所以a，所以amax.答案知識點1利用平均值不等式證明不等式【例1】 已知a、b、cR，且abc1.求證：.證明abc1(ab)(bc)(ca)2，(ab)(bc)(ca)3·39.反思感悟：認真觀察要證的不等式的結(jié)構(gòu)特點，靈活利用已知條件構(gòu)造出能利用平均值不等式的式子.1.證明(abc)(a，b，cR).證明(ab)(bc)(ca)3，3，(abc).當且僅當abc時，等號成立.知識點2利用平均值不等式求最值【例2】 若正數(shù)a，b滿足abab3，求ab的取值范圍.解方法一：a、bR，且abab33，a3b381ab.又ab>0，a2b281.ab9(當且僅當ab時，取等號).ab的取值范圍是9，).方法二：ab3ab2，ab230且ab>0，3，即ab9(當且僅當ab時取等號)ab的取值范圍是9，).反思感悟：注意平均值不等式應(yīng)用的條件是三個正數(shù)在求最值時，一定要求出等號成立時未知數(shù)的值，如果不存在使等號成立的未知數(shù)的值，則最值不存在.2.求ysin xcos2x，x的最大值.解x，sin x>0，y>0.y2sin2xcos4x.故y ，此時，2sin2xcos2x，tan2x，y有最大值.知識點3平均值不等式的實際應(yīng)用【例3】 某產(chǎn)品今后四年的市場需求量依次構(gòu)成數(shù)列an，n1，2，3，4，并預(yù)測到年需求量第二年比第一年增長的百分率為P1，第三年比第二年增長的百分率為P2，第四年比第三年增長的百分率為P3，且P1P2P31.給出如下數(shù)據(jù)：，則其中可能成為這四年間市場需求量的年平均增長率的是() A. B.C. D.解析設(shè)這四年間市場年需求量的年平均增長率為x(x>0)，則a4a1(1x)3a1(1P1)(1P2)(1P3)，(1x)3(1P1)(1P2)(1P3)，(1x)3(1P1)(1P2)(1P3).1x，即x，對比所給數(shù)據(jù)，只有滿足條件，故選B.答案B3.設(shè)長方體的體積為1 000 cm3，則它的表面積的最小值為_ cm2.解析設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則abc1 000，且a>0，b>0，c>0.它的表面積S2(abbcca)2×3600.當且僅當abc10 (cm)時取“”號.所以它的表面積S的最小值為600 cm2.答案600課堂小結(jié)利用基本不等式解決實際問題的步驟：(1)理解題意，設(shè)出變量，一般設(shè)變量時，把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)回答實際問題.隨堂演練1.設(shè)f(x)ln x，0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，則下列關(guān)系式中正確的是()A.qrp B.prqC.qrp D.prq解析利用對數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷p，q，r之間的相等與不等關(guān)系.因為b>a>0，故<.又f(x)ln x(x>0)為增函數(shù)，所以f>f()，即q>p.又r(f(a)f(b)(ln aln b)lnp.答案B2.已知x，則f(x)有()A.最大值 B.最小值C.最大值1 D.最小值1解析f(x)，又x，x2，則f(x)·21.答案D3.函數(shù)yx2·(13x)在上的最大值是_.解析由yx2·(13x)·x·x(13x).答案4.用長為16 cm的鐵絲圍成一個矩形，則可圍成的矩形的最大面積是_ cm2. 解析設(shè)矩形長為x cm(0<x<8)，則寬為(8x) cm，面積Sx(8x).由于x>0，8x>0，可得S16，當且僅當x8x即x4時，Smax16.所以矩形的最大面積是16 cm2.答案16基礎(chǔ)達標1.若x>0，則4x的最小值是()A.9 B.3C.13 D.不存在解析x>0，4x2x·2x·33.答案B2.設(shè)a，b，c(0，)且abc1，令x·，則x的取值范圍為()A. B.C.1，8) D.8，)解析x··8，當且僅當abc時取等號，x8.答案D3.已知x，y都為正數(shù)，且1，則xy有()A.最小值16 B.最大值16C.最小值 D.最大值解析x，y(0，)且1，12，4，xy16，當且僅當即時取等號，此時(xy)min16.答案A4.已知a，b，R*，則_.解析11132229.答案95.要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_(單位：元).解析利用均值(基本)不等式解決問題.設(shè)該長方體容器的長為x m，則寬為m.又設(shè)該容器的造價為y元，則y20×42×10，即y8020(x>0).因為x24，所以ymin8020×4160(元).答案1606.已知關(guān)于x的不等式|xa|b的解集為x|2x4.(1)求實數(shù)a，b的值；(2)求的最大值.解(1)由|xa|b，得baxba，則解得(2)24，當且僅當，即t1時等號成立，故()max4.綜合提高7.已知圓柱的軸截面周長為6，體積為V，則下列關(guān)系式總成立的是()A.V B.VC.V D.V解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則由題意得：4r2h6，即2rh3，于是有Vr2h·，當且僅當rh時取等號.答案B8.如果圓柱的軸截面周長l為定值，那么圓柱的體積最大值是()A. B.C. D.解析l4r2h，即2rh，Vr2h.答案A9.定義運算“”：xy(x，yR，xy0)，當x0，y0時，xy(2y)x的最小值為_.解析先利用新定義寫出解析式，再利用重要不等式求最值.因為xy，所以(2y)x.又x>0，y>0，故xy(2y)x，當且僅當xy時，等號成立.答案10.某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/時)與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)、平均車長l(單位：米)的值有關(guān)，其公式為F.(1)如果不限定車型，l6.05，則最大車流量為_輛/時；(2)如果限定車型，l5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加_輛/時.解析把所給l值代入，分子分母同除以v，構(gòu)造基本不等式的形式求最值.(1)當l6.05時，F(xiàn)181 900.當且僅當v11米/秒時等號成立，此時車流量最大為1 900輛/時.(2)當l5時，F(xiàn)2 000.當且僅當v10米/秒時等號成立，此時車流量最大為2 000輛/時，比(1)中的最大車流量增加100輛/時.答案(1)1 900(2)10011.如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B在AM上，D在AN上且對角線MN過C點，已知|AB|3米，|AD|2米.(1)要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(2)當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最?。坎⑶笞钚∶娣e；(3)若AN的長度不少于6米，則當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最??？并求出最小面積.解設(shè)AN的長為x米(x>2)，矩形AMPN的面積為y.，|AM|，S矩形AMPN|AN|·|AM|(x>2)(1)由S矩形AMPN>32得>32，x>2，3x232x64>0，即(3x8)(x8)>0，2<x<或x>8，即AN的長的取值范圍是(8，).(2)令y3(x2)1221224，當且僅當3(x2)，即x4時，y取得最小值，即S矩形AMPN取得最小值24平方米.(3)令g(x)3x(x4)，設(shè)x1>x24，則g(x1)g(x2)3(x1x2)，x1>x24，x1x2>0，x1x2>16，g(x1)g(x2)>0，g(x)在4，)上遞增.y3(x2)12在6，)上遞增.當x6時，y取得最小值，即S矩形AMPN取得最小值27平方米.12.甲、乙兩地相距s km，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km/h，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例常數(shù)為b，固定部分為a元.(1)把全程運輸成本y元表示為速度v (km/h)的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運輸成本最少，汽車應(yīng)以多大的速度行駛？解(1)因為汽車每小時的運輸成本為bv2a(元)，全程時間為(小時)，故y(bv2a)，即ys，v(0，c.(2)由于bv2，當且僅當v 時取等號，故若 c，則當v 時，y取最小值.若 >c，則先證ys，v(0，c為單調(diào)減函數(shù)，事實上，當v1、v2(0，c，且v1<v2，則y1y2sss(v1v2)sb(v1v2)·，v1、v2(0，c，v1<v2，v1v2<0，v1v2>0，v1< ，v2< .進而v1v2<，從而y1y2>0.故ys，v(0，c為單調(diào)減函數(shù)，由此知當vc時，y取得最小值.綜上可知，若 c，則當v 時，y取得最小值；若 >c，則當vc時，y取得最小值.11