第二章 柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用本章復(fù)習(xí)課1.認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，會(huì)用二維、三維柯西不等式進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明與求最值.2.理解并掌握兩個(gè)或三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均、幾何平均數(shù)不等式并會(huì)應(yīng)用它們求一些特定函數(shù)的最值.3.了解排序不等式及平均值不等式.知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)梳理1.二維形式的柯西不等式(1)定理1(二維)：設(shè)a1，a2，b1，b2均為實(shí)數(shù)，則(aa)·(bb)(a1b1a2b2)2，上式等號(hào)成立a1b2a2b1.(2)(二維變式)：·|acbd|.(3)定理2(向量形式)：設(shè)，為平面上的兩個(gè)向量，則|·|，當(dāng)及為非零向量時(shí)，上式中等號(hào)成立向量與共線(xiàn)(或平行)存在實(shí)數(shù)0，使得.(4)定理3(三角不等式)：設(shè)a1，a2，b1，b2為實(shí)數(shù)，則，等號(hào)成立存在非負(fù)實(shí)數(shù)及，使a1b1，a2b2.(5)三角變式：設(shè)a1，a2，b1，b2，c1，c2為實(shí)數(shù)，則，等號(hào)成立存在非負(fù)實(shí)數(shù)及使得(a1b1)(b1c1)且(a2b2)(b2c2).(6)三角向量式：設(shè)，為平面向量，則|.2.三維形式的柯西不等式：(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.3.柯西不等式的一般形式：設(shè)a1，a2，an，b1，b2，b3，bn為實(shí)數(shù)，則(aaa)(bbb)|a1b1a2b2anbn|，其中等號(hào)成立.4.柯西不等式的一般形式的證明：參數(shù)配方法.5.排序不等式：設(shè)a1a2an，b1b2bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，cn為b1，b2，bn的任一排列，則有：a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn等號(hào)成立(反序和等于順序和)a1a2an或b1b2bn.排序原理可簡(jiǎn)記作：反序和亂序和順序和.6.平均值不等式(1)定理1：設(shè)a1，a2，an為n個(gè)正數(shù)，則，等號(hào)成立a1a2an.(2)推論1：設(shè)a1，a2，an為n個(gè)正數(shù)，且a1a2an1，則a1a2ann，且等號(hào)成立a1a2an1.(3)推論2：設(shè)C為常數(shù)，且a1，a2，an為n個(gè)正數(shù)，當(dāng)a1a2annC時(shí)，則a1a2anCn，且等號(hào)成立a1a2an.(4)定理2：設(shè)a1，a2，an為n個(gè)正數(shù)，則，等號(hào)成立a1a2an.典例剖析知識(shí)點(diǎn)1利用柯西不等式證明不等式【例1】 設(shè)a，b，c，d為正數(shù)，且不全相等，求證：>.證明構(gòu)造兩組數(shù)，與，則由柯西不等式得：(abbccdda)(1111)2.即2(abcd)16，于是，等號(hào)成立abbccddaabcd.因題設(shè)a，b，c，d不全相等，故>.知識(shí)點(diǎn)2利用柯西不等式求最值【例2】 已知xyz1，求的最大值.解由柯西不等式，得(·1·1·1)··3.等號(hào)成立，即3x13y23z3設(shè)3x1k，則x，y，z.代入xyz1，得k3.x，y，z0時(shí)取等號(hào).知識(shí)點(diǎn)3利用排序不等式證明不等式【例3】 設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：2.證明由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)abc>0，于是abacbc，故a2b2c2，由排序不等式得：以上兩式相加得：2.知識(shí)點(diǎn)4平均值不等式的實(shí)際應(yīng)用【例4】 在半徑為R的球的所有外切圓錐中求全面積最小的一個(gè).解設(shè)x為圓錐底面半徑，S為它的全面積，則Sx2x·ACx2x(xCD)由RtCAERtCOD得.解得CD.于是Sx.因?yàn)镾和同時(shí)取得最小值，所以考慮的最小值問(wèn)題.x2R2(x2R2)2R222R24R2.于是S8R2，等號(hào)成立x2R2xR.所以圓錐的最小全面積為8R2.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.已知2x3y4z10，則x2y2取到最小值時(shí)的x，y，z的值為() A.， B.，C.1， D.1，解析當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，x2y2z2取到最小值，所以聯(lián)立可得x，y，z.答案B2.設(shè)x1，x2，xn，取不同的正整數(shù)，則m的最小值是()A.1 B.2C.1 D.1解析x1，x2，xn是n個(gè)不同的正整數(shù)，所以1，2，3，n就是最小的一組，m1(前邊是亂序和，后面是反序和).答案C3.一批救災(zāi)物資隨26輛汽車(chē)從A市以v km/h勻速直達(dá)災(zāi)區(qū)，已知兩地公路長(zhǎng)400 km，為安全起見(jiàn)，兩車(chē)間距不得小于 km，那么這批物資全部到災(zāi)區(qū)，至少需要_h.()A.5B.10C.15D.20解析依題意，所用時(shí)間為v10，當(dāng)且僅當(dāng)v80時(shí)取等號(hào).答案B4.已知x2y3z1，則x2y2z2的最小值為_(kāi).解析(x2y2z2)(122232)(x2y3z)21.x2y2z2.當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y，z時(shí)，x2y2z2取最小值.答案5.設(shè)a，b，cR，且abc1，則的最大值是_.解析3(abc)(111)(abc)()2.所以.答案6.已知正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足abc1，證明：a3b3c3.證明利用柯西不等式(a)2(b)2(c)2abc(a3b3c3)(abc)2 (abc1)又因?yàn)閍2b2c2abbcca，在此不等式兩邊同乘以2，再加上a2b2c2得：(abc)23(a2b2c2)(a2b2c2)2(a3b3c3)·3(a2b2c2)故a3b3c3.綜合提高7.已知3x22y21，則3x2y的取值范圍是()A.0， B.，0C.， D.5，5解析|3x2y|·.所以3x2y.答案C8.已知x，y，zR，且1，則x的最小值是()A.5 B.6C.8 D.9解析x9.答案D9.函數(shù)y2的最大值是_.解析y×1×.答案10.設(shè)x1，x2，xn取不同的正整數(shù)，則m的最小值是_.解析設(shè)a1，a2，an是x1，x2，xn的一個(gè)排列，且滿(mǎn)足a1<a2<<an，故a11，a22，ann.又因?yàn)?>>>>，所以a11×12×3×n×1.答案111.求橢圓1 (a>b>0)的內(nèi)接矩形的最大面積，并求此時(shí)矩形的邊長(zhǎng).解方法一：設(shè)第一象限頂點(diǎn)坐標(biāo)(x，y).S與S2同時(shí)取得最大值.又y2(a2x2)，S216x2y216x2·(a2x2)x2(a2x2)4a2b2.Smax2ab.此時(shí)有x2a2x2，即xa時(shí)，內(nèi)接矩形面積最大，此時(shí)，矩形的邊長(zhǎng)分別為a，b.方法二：S4xy4ab··4ab2ab.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即，即xa，yb時(shí)成立.當(dāng)矩形的邊長(zhǎng)分別為a，b時(shí)，內(nèi)接矩形面積最大為S2ab.12.某自來(lái)水廠(chǎng)要制作容積為500 m3的無(wú)蓋長(zhǎng)方體水箱，現(xiàn)有三種不同規(guī)格的長(zhǎng)方形金屬制箱材料(單位：m)：19×19；30×10；25×12.請(qǐng)你選擇其中的一種規(guī)格材料，并設(shè)計(jì)出相應(yīng)的制作方案.要求：用料最??；簡(jiǎn)便易行.解設(shè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為a m，b m，c m.由題意，可得abc500.長(zhǎng)方體水箱的表面積為S2bc2acab.由均值不等式，知S2bc2acab33300.當(dāng)且僅當(dāng)2bc2caab，即ab10，c5時(shí)，S2bc2caab300為最小，這表明將無(wú)蓋長(zhǎng)方體水箱的尺寸設(shè)計(jì)為10×10×5時(shí)，其用料最省.如何選擇材料并設(shè)計(jì)制作方案？就要研究三種供選擇的材料，哪一種更易制作成無(wú)蓋長(zhǎng)方體水箱的平面展開(kāi)圖.逆向思維：先將無(wú)蓋長(zhǎng)方體水箱展開(kāi)成平面圖如圖(1)所示，進(jìn)一步剪拼成如圖(2)所示的長(zhǎng)30 m，寬10 m(長(zhǎng)寬31)的長(zhǎng)方形.因此，應(yīng)選擇規(guī)格為30×10的制作材料，制作方案如圖(3).8