2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 第57課 直線與圓的位置關(guān)系要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)直線與圓的位置關(guān)系(xx·重慶七校聯(lián)考)已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,直線l的方程為3x+4y+m=0.若圓與直線相切,則實(shí)數(shù)m=.答案2或-8解析因?yàn)橹本€與圓相切,所以=1Þm=-8或2.精要點(diǎn)評(píng)圓與直線的位置關(guān)系的判定方法主要兩種:(1) 利用圓心到直線的距離d與圓的半徑R的關(guān)系;(2) 利用一元二次方程根的判別式的符號(hào).(xx·重慶卷)已知直線ax+y-2=0與圓C:(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點(diǎn),且ABC為等邊三角形,那么實(shí)數(shù)a=.答案4±解析由題設(shè)知圓心C到直線ax+y-2=0的距離為,所以=,解得a=4±.圓的切線問(wèn)題(xx·張家港模擬)已知圓C:(x-2)2+y2=1.(1) 求過(guò)點(diǎn)P(3,m)與圓C相切的切線方程;(2) 若點(diǎn)Q是直線x+y-6=0上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q作圓C的切線QA,QB,其中A,B為切點(diǎn),求四邊形QACB面積的最小值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).解答(1) 當(dāng)m=0時(shí),切線方程為x=3.當(dāng)m0時(shí),設(shè)切線方程為y-m=k(x-3),所以=1,k=.故切線方程為x=3或y-m=(x-3).(2) S四邊形QACB=2SQAC=AC·AQ=,故當(dāng)CQ最小即CQ垂直于直線x+y-6=0時(shí),四邊形QACB的面積最小,CQmin=2,所以S四邊形QACB的最小值為,此時(shí)CQ的方程為y=x-2,故Q(4,2).若過(guò)點(diǎn)P(3,1)作圓C:(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B,則直線AB的方程為.答案2x+y-3=0解析方法一:由點(diǎn)P(3,1),圓心C(1,0)可設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程為y-1=k(x-3),由題意得=1,解得k=0或,即切線方程為y=1或4x-3y-9=0.聯(lián)立得一切點(diǎn)為(1,1),又因?yàn)閗PC=,所以kAB=-=-2,即直線AB的方程為y-1=-2(x-1),整理得2x+y-3=0.方法二:點(diǎn)P(3,1),圓心C(1,0),則以PC為直徑的圓的方程為(x-3)(x-1)+y(y-1)=0,整理得x2-4x+y2-y+3=0,聯(lián)立-得AB的方程為2x+y-3=0.圓的弦長(zhǎng)、弦心距和半徑關(guān)系問(wèn)題(xx·衡水中學(xué)模擬)已知圓M:x2+y2-2x-4y-11=0被過(guò)點(diǎn)N(-1,1)的直線截得的弦長(zhǎng)為4,求該直線的方程.解答圓M方程轉(zhuǎn)化為(x-1)2+(y-2)2=16,則M(1,2),r=4.設(shè)過(guò)點(diǎn)N(-1,1)的所求直線為l.當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí),l為x=-1,則交點(diǎn)A(-1,2-2),B(-1,2+2),滿足AB=4.當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí),設(shè)l的方程為y-1=k(x+1),即kx-y+k+1=0,則d=,則d2+=16,即d2=16-12=4,則k=-,此時(shí),直線l的方程為y-1=-(x+1),即3x+4y-1=0.綜上所述,直線l的方程為x=-1或3x+4y-1=0.【題組強(qiáng)化·重點(diǎn)突破】1. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線3x+4y-5=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長(zhǎng)為.答案2解析圓心到直線的距離d=1,所以R2-d2=,即AB2=4(R2-d2)=12,所以AB=2.2. 已知圓(x-4)2+(y-1)2=5內(nèi)一點(diǎn)P(3,0),那么過(guò)點(diǎn)P的最短弦所在直線的方程為.答案x+y-3=0解析設(shè)圓心為C,因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P(3,0)的最短弦垂直于PC,直線PC的斜率k=1,所以所求直線的斜率為-1,從而直線方程為x+y-3=0.3. (xx·安徽示范高中聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2=-2y+3,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線x-y+1=0垂直.若直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),則OAB的面積為.答案1解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y+1)2=4,圓心C為(0,-1),半徑為2,直線l的斜率為-1,則方程為x+y-1=0,圓心C到直線l的距離d=,弦長(zhǎng)AB=2=2,又坐標(biāo)原點(diǎn)O到弦長(zhǎng)AB的距離為,所以O(shè)AB的面積為×2×=1.4. 設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C為圓(x-2)2+y2=3的圓心,且圓上有一點(diǎn)M(x,y)滿足·=0,則=.答案±解析因?yàn)?#183;=0,所以O(shè)MCM,所以O(shè)M是圓的切線,設(shè)OM的方程為y=kx,由=,得k=±,即=±.含參數(shù)的圓的問(wèn)題已知以點(diǎn)C(tR,t0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O,A,與y軸交于點(diǎn)O,B,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1) 求證:AOB的面積為定值;(2) 設(shè)直線2x+y-4=0與圓C交于點(diǎn)M,N,若OM=ON,求圓C的方程.思維引導(dǎo)(1) 將AOB的面積表示為t的函數(shù)即可;(2) 將OM=ON轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)O在MN的中垂線上,即設(shè)MN的中點(diǎn)為H,則CHMN,然后求出t,再求出圓C的方程.解答(1) 由題設(shè)知,圓C的方程為(x-t)2+=t2+,化簡(jiǎn)得x2-2tx+y2-y=0,當(dāng)y=0時(shí),x=0或2t,則點(diǎn)A(2t,0).當(dāng)x=0時(shí),y=0或,則點(diǎn)B.所以SAOB=OA·OB=|2t|·=4為定值.(2) 因?yàn)镺M=ON,所以原點(diǎn)O在MN的中垂線上.設(shè)MN的中點(diǎn)為H,則CHMN,所以C,H,O三點(diǎn)共線,則直線OC的斜率k=,所以t=2或t=-2,則圓心C(2,1)或C(-2,-1),所以圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.由于當(dāng)圓C的方程為(x+2)2+(y+1)2=5時(shí),直線2x+y-4=0到圓心的距離d>r,此時(shí)不滿足直線與圓相交,故舍去.所以圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.已知圓M的圓心M在y軸上,半徑為1,直線l:y=2x+2被圓M所截得的弦長(zhǎng)為,且圓心M在直線l的下方.(1) 求圓M的方程;(2) 設(shè)點(diǎn)A(t,0),B(t+5,0)(-4t-1).若AC,BC是圓M的切線,求ABC面積的最小值.規(guī)范答題(1) 設(shè)M(0,b),由題設(shè)知,點(diǎn)M到直線l的距離是 =. (2分)所以=,解得b=1或b=3. (4分)因?yàn)閳A心M在直線l的下方,所以b=1,即所求圓M的方程為x2+(y-1)2=1.(6分)(2) 當(dāng)直線AC,BC的斜率都存在,即-4<t<-1時(shí),直線AC的斜率kAC=tan(2MAO)=.同理,直線BC的斜率kBC=. (8分)所以直線AC的方程為y=(x-t),直線BC的方程為y=(x-t-5). (10分)聯(lián)立方程組得x=,y=. (12分)所以yC=2-.因?yàn)?4<t<-1,所以-t2+5t+1<-3,所以yC<.故當(dāng)t=-時(shí),ABC的面積取最小值×5×=. (14分)當(dāng)直線AC,BC的斜率有一個(gè)不存在時(shí),即t=-4或t=-1時(shí),易求得ABC的面積為.綜上,當(dāng)t=-時(shí),ABC的面積取最小值. (16分)1. “m=”是“直線y=x+m與圓x2+y2=1相切”的條件.答案充分不必要解析因?yàn)橹本€與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑,得d=1Þm=±,所以“m=”是“直線y=x+m與圓x2+y2=1相切”的充分不必要條件.2. (xx·黃岡中學(xué)模擬)已知曲線C:x2+y2-2x+2y=0,直線l:y+2=k(x-2),那么曲線C與直線l有個(gè)公共點(diǎn).答案至少1個(gè)解析曲線C表示圓,圓心C(1,-1)到直線l的距離d=r,所以C與l至少有1個(gè)公共點(diǎn).3. 已知直線ax-2by=2(a>0,b>0)過(guò)圓x2+y2-4x+2y+1=0的圓心,那么ab的最大值為.答案4. (xx·浙江六校聯(lián)考)若直線y=kx與圓(x-2)2+y2=1的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線2x+y+b=0對(duì)稱,則k=,b=.答案-4解析由題意可知2x+y+b=0過(guò)圓心(2,0),所以b=-4.又y=kx與2x+y+b=0互相垂直,所以k=.溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成配套檢測(cè)與評(píng)估中的練習(xí)(第113-114頁(yè)).