《（全國(guó)通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教A版選修2-2（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二章 推理與證明 章末復(fù)習(xí) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.整合本章知識(shí)要點(diǎn).2.進(jìn)一步理解合情推理與演繹推理的概念、思維形式、應(yīng)用等.3.進(jìn)一步熟練掌握直接證明與間接證明.4.理解數(shù)學(xué)歸納法，并會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題． 1．合情推理 (1)歸納推理：由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理． (2)類比推理：由特殊到特殊的推理． (3)合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理． 2．演繹推理 (1)演繹推理：由一般到特殊的推理． (2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括： ①大前提——已知

2、的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情況； ③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷． 3．直接證明和間接證明 (1)直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法： ①綜合法是從已知條件推出結(jié)論的證明方法； ②分析法是從結(jié)論追溯到條件的證明方法． (2)間接證明的一種方法是反證法，是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的方法． 4．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題．證明時(shí)，它的兩個(gè)步驟缺一不可，它的第一步(歸納奠基)是證當(dāng)n＝n0時(shí)結(jié)論成立；第二步(歸納遞推)是假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)結(jié)論成立，推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立． 1．歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比

3、推理得到的結(jié)論一定正確．(　×　) 2．“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯(cuò)誤的．(　√　) 3．綜合法是直接證明，分析法是間接證明．(　×　) 4．反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾．(　×　) 類型一　合情推理與演繹推理 例1　(1)觀察下列等式： －2＋－2＝×1×2； －2＋－2＋－2＋－2 ＝×2×3； －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4； －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5； …… 照此規(guī)律， －2＋－2＋－2＋…＋－2＝________. 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在

4、數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案　n(n＋1) 解析　第一個(gè)等式中1＝，2＝； 第二個(gè)等式中，2＝，3＝； 第三個(gè)等式中，3＝，4＝. 由此可推得第n個(gè)等式等于××＝n(n＋1)． (2)根據(jù)圖(1)的面積關(guān)系：＝·，可猜想圖(2)有體積關(guān)系：＝________. 考點(diǎn)　類此推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　平面幾何與立體幾何之間的類比 答案　·· 解析　題干兩圖中，與△PAB，△PA′B′相對(duì)應(yīng)的是三棱錐P－ABC，P－A′B′C′；與△PA′B′兩邊PA′，PB′相對(duì)應(yīng)的是三棱錐P－A′B′C′的三條側(cè)棱PA′，PB′，PC′.與△PAB的兩條邊PA，PB相對(duì)應(yīng)的是三棱錐P－ABC的三條側(cè)

5、棱PA，PB，PC.由此，類比題圖(1)的面積關(guān)系，得到題圖(2)的體積關(guān)系為＝··. (3)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是________． 考點(diǎn)　演繹推理的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　演繹推理在其他方面的應(yīng)用 答案　1和3 解析　由題意可知丙不拿2和3. 若丙拿1和2，則乙拿2和3，甲拿1和3，滿足題意； 若丙拿1和3，則乙拿2和3，甲拿1和2，不滿足題意． 故甲的卡片上的數(shù)

6、字是1和3. 反思與感悟　(1)用歸納推理可從具體事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，但應(yīng)注意，僅根據(jù)一系列有限的特殊事例，所得出的一般結(jié)論不一定可靠，其結(jié)論的正確與否，還要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的理論證明． (2)進(jìn)行類比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上思考，不要被表面現(xiàn)象所迷惑，否則，只抓住一點(diǎn)表面的相似甚至假象就去類比，就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤． (3)演繹推理是由一般到特殊的推理，其結(jié)論不會(huì)超出前提所界定的范圍，所以其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系是必然的．因此，在演繹推理中，只要前提及推理正確，結(jié)論必然正確． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)如圖是由火柴棒拼成的圖形，第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成． 通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)：第4個(gè)圖形中有____

7、____根火柴棒；第n個(gè)圖形中有________根火柴棒． 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在圖形中的應(yīng)用 答案　13　3n＋1 解析　設(shè)第n個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)為an，可知a4＝13. 通過(guò)觀察得到遞推關(guān)系式an－an－1＝3(n≥2，n∈N*)， 所以an＝3n＋1. (2)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，則有性質(zhì)“若Sm＝Sn(m，n∈N*且m≠n)，則Sm＋n＝0.”類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，當(dāng)數(shù)列{bn}為等比數(shù)列時(shí)，寫出一個(gè)正確的性質(zhì)：________________. 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比 答案　數(shù)列{bn}為等

8、比數(shù)列，Tm表示其前m項(xiàng)的積，若Tm＝Tn(m，n∈N*，m≠n)，則Tm＋n＝1 解析　由等差數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)類比推理到等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)， 加減運(yùn)算類比推理為乘除運(yùn)算． 累加類比為累乘， 由此，等差數(shù)列{an}的性質(zhì)類比到等比數(shù)列{bn}中為： 數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，Tm表示其前m項(xiàng)的積， 若Tm＝Tn(m，n∈N*，m≠n)， 則Tm＋n＝1. 類型二　綜合法與分析法 例2　試用分析法和綜合法分別推證下列命題：已知α∈(0，π)，求證：2sin 2α≤. 考點(diǎn)　分析法和綜合法的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　分析法和綜合法的綜合應(yīng)用 證明　方法一　分析法 要證2sin 2α≤

9、成立， 只需證4sin αcos α≤， ∵α∈(0，π)，∴sin α>0， 只需證4cos α≤， ∵1－cos α>0， ∴4cos α(1－cos α)≤1， 可變形為4cos2α－4cos α＋1≥0， 只需證(2cos α－1)2≥0，顯然成立． 方法二　綜合法 ∵＋4(1－cos α)≥4， 當(dāng)且僅當(dāng)cos α＝，即α＝時(shí)取等號(hào)， ∴4cos α≤. ∵α∈(0，π)，∴sin α>0， ∴4sin αcos α≤， ∴2sin 2α≤. 反思與感悟　分析法和綜合法是兩種思路相反的推理方法：分析法是倒溯，綜合法是順推，二者各有優(yōu)缺點(diǎn)．分析法容易探路，

10、且探路與表述合一，缺點(diǎn)是表述易錯(cuò)；綜合法條件清晰，易于表述，因此對(duì)于難題常把二者交互運(yùn)用，互補(bǔ)優(yōu)缺，形成分析綜合法，其邏輯基礎(chǔ)是充分條件與必要條件． 跟蹤訓(xùn)練2　設(shè)a，b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3＋b3>a2b＋ab2. 考點(diǎn)　分析法及應(yīng)用 題點(diǎn)　分析法解決不等式問(wèn)題 證明　要證a3＋b3>a2b＋ab2成立，即需證 (a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立， 即需證a2－ab＋b2>ab成立． 只需證a2－2ab＋b2>0成立， 即需證(a－b)2>0成立． 而由已知條件可知，a≠b，所以a－b≠0， 所以(a－b)2>0顯然成立． 即a3＋b3>a2

11、b＋ab2. 類型三　反證法 例3　若x，y都是正實(shí)數(shù)，且x＋y>2，求證：<2與<2中至少有一個(gè)成立． 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 證明　假設(shè)<2和<2都不成立， 則有≥2和≥2同時(shí)成立． 因?yàn)閤>0且y>0， 所以1＋x≥2y且1＋y≥2x， 兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2. 這與已知x＋y>2矛盾． 故<2與<2中至少有一個(gè)成立． 反思與感悟　反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命題時(shí)，也常用反證法． 跟蹤訓(xùn)練3　已知：ac≥2(b＋d)． 求證：方程x2

12、＋ax＋b＝0與方程x2＋cx＋d＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根． 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 證明　假設(shè)兩方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根， 則Δ1＝a2－4b<0與Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，從而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，與已知矛盾，故原命題成立． 類型四　數(shù)學(xué)歸納法 例4　已知在數(shù)列{an}中，a1＝－，其前n項(xiàng)和Sn滿足an＝Sn＋＋2(n≥2)，計(jì)算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明． 考點(diǎn)　數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題 題點(diǎn)　數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列通項(xiàng)問(wèn)題 解　當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－S

13、n－1＝Sn＋＋2. ∴Sn＝－(n≥2)． 則有S1＝a1＝－， S2＝－＝－， S3＝－＝－， S4＝－＝－， 由此猜想：Sn＝－(n∈N*)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝－＝a1，猜想成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)猜想成立， 即Sk＝－成立， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， Sk＋1＝－＝－ ＝－＝－. 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想成立． 由(1)(2)可知，對(duì)任意正整數(shù)n，猜想均成立． 反思與感悟　(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題是數(shù)學(xué)歸納法的常見(jiàn)題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始n0是多少

14、． (2)由n＝k到n＝k＋1時(shí)，除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要利用當(dāng)n＝k時(shí)的式子，即利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問(wèn)題得以證明． 跟蹤訓(xùn)練4　觀察下列四個(gè)等式： 第一個(gè)式子　　　　1＝1 第二個(gè)式子 2＋3＋4＝9 第三個(gè)式子 3＋4＋5＋6＋7＝25 第四個(gè)式子 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 (1)按照此規(guī)律，寫出第五個(gè)等式； (2)請(qǐng)你做出一般性的猜想，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 考點(diǎn)　利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 題點(diǎn)　等式中的歸納、猜想、證明 解　(1)第5個(gè)等式：5＋6＋7＋…＋13＝81. (2)猜想第n個(gè)等式為

15、 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝(2－1)2＝1， 猜想成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，猜想成立， 即有k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2. 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1) ＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1) ＝(2k－1)2＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1) ＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2 ＝[2(k＋1)－1]2.

16、 右邊＝[2(k＋1)－1]2， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想也成立． 根據(jù)①②知，猜想對(duì)任意n∈N*都成立. 1．?dāng)?shù)列5,9,17,33，x，…中的x等于(　　) A．47 B．65 C．63 D．128 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案　B 解析　5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1， 歸納可得：x＝26＋1＝65. 2．在平面直角坐標(biāo)系中，方程＋＝1表示x，y軸上的截距分別為a，b的直線，類比到空間直角坐標(biāo)系中，在x，y，z軸上截距分別為a，b，c(abc≠0)的平面方程為(　　) A.＋＋＝1 B.＋

17、＋＝1 C.＋＋＝1 D．a(chǎn)x＋by＋cz＝1 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　平面幾何與立體幾何之間的類比 答案　A 解析　∵在平面直角坐標(biāo)系中，方程＋＝1表示的圖形是一條直線，具有特定性質(zhì)：“在x軸，y軸上的截距分別為a，b”．類比到空間直角坐標(biāo)系中，在x，y，z軸上截距分別為a，b，c(abc≠0)的平面方程為＋＋＝1.故選A. 3．若a>0，b>0，則有(　　) A.>2b－a B.<2b－a C.≥2b－a D.≤2b－a 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決不等式問(wèn)題 答案　C 解析　因?yàn)椋?2b－a)＝＝≥0，所以≥2b－a. 4．用反證法證

18、明命題：“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)數(shù) C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　如何正確進(jìn)行反設(shè) 答案　A 解析　方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根，故選A. 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋＋…＋＝(n∈N*)． 考點(diǎn)　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 題點(diǎn)　利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 解　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝， 右邊＝＝. 左邊＝右邊，所

19、以等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)等式成立， 即有＋＋＋…＋＝， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋＋…＋＋ ＝＋ ＝＝ ＝＝. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立， 由(1)(2)可知，對(duì)于一切n∈N*，等式都成立． 1．歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測(cè)未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進(jìn)一步證明． 2．演繹推理與合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式．也是公理化體系所采用的推理形式，另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者

20、論證前者的可靠性． 3．直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法．直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常把它們結(jié)合起來(lái)使用，間接證法的一種方法是反證法，反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法． 4．?dāng)?shù)學(xué)歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題．證明時(shí)，它的兩個(gè)步驟缺一不可．它的第一步(歸納奠基)當(dāng)n＝n0時(shí)，結(jié)論成立．第二步(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，結(jié)論成立，推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是在可靠的基礎(chǔ)上，利用命題自身具有的傳遞性，運(yùn)用有限的步驟(兩步)證明出無(wú)限的

21、命題成立． 一、選擇題 1．證明命題：“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函數(shù)”．現(xiàn)給出的證法如下：因?yàn)閒(x)＝ex＋，所以f′(x)＝ex－.因?yàn)閤>0，所以ex>1,0<<1.所以ex－>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，使用的證明方法是(　　) A．綜合法 B．分析法 C．反證法 D．以上都不是 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決函數(shù)問(wèn)題 答案　A 解析　這是從已知條件出發(fā)利用已知的定理證得結(jié)論的，是綜合法，故選A. 2．若ab＋ C．b＋>a＋ D.<

22、 考點(diǎn)　分析法及應(yīng)用 題點(diǎn)　分析法解決不等式問(wèn)題 答案　C 解析　取a＝－2，b＝－1，驗(yàn)證可知C正確． 3．我們把1,4,9,16,25，…這些數(shù)稱為“正方形點(diǎn)數(shù)”，這是因?yàn)檫@些數(shù)量的點(diǎn)可以排成一個(gè)正方形，如圖所示，則第n個(gè)正方形點(diǎn)數(shù)是(　　) A．n(n－1) B．n(n＋1) C．(n＋1)2 D．n2 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在圖形中的應(yīng)用 答案　D 解析　由題意可知第n個(gè)正方形點(diǎn)數(shù)為n2. 4．在數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25項(xiàng)為(　　) A．25 B．7 C．6 D．8 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題

23、點(diǎn)　歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案　B 解析　由所給的數(shù)列規(guī)律知，第25項(xiàng)為7. 5．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為(　　) A．a(chǎn)1a2a3…a9＝29 B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29 C．a(chǎn)1a2…a9＝2×9 D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝2×9 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比 答案　D 解析　由等差數(shù)列的性質(zhì)a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5可知D正確． 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2＋1對(duì)于n≥n0的自然數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0

24、應(yīng)取(　　) A．2 B．3 C．5 D．6 考點(diǎn)　數(shù)學(xué)歸納法定義及原理 題點(diǎn)　數(shù)學(xué)歸納法第一步：歸納奠基 答案　C 解析　當(dāng)n取1,2,3,4時(shí)，2n>n2＋1不成立，當(dāng)n＝5時(shí)，25＝32>52＋1＝26，即第一個(gè)能使2n>n2＋1成立的n值為5，故選C. 7．已知a＋b＋c＝0，則ab＋bc＋ca的值(　　) A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合法的應(yīng)用 答案　D 解析　因?yàn)?a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝0， 又因?yàn)閍2＋b2＋c2≥0， 所以2(ab＋bc＋ca)≤

25、0，即ab＋bc＋ca≤0. 8．某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個(gè)單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)，其中有三個(gè)數(shù)據(jù)模糊. 學(xué)生序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳遠(yuǎn)(單位：米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳繩(單位：次) 63 a 75 60 63 72 70 a－1 b 65 在這10名學(xué)生中，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則(　　) A．2號(hào)學(xué)生

26、進(jìn)入30秒跳繩決賽 B．5號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 C．8號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 D．9號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 考點(diǎn)　演繹推理的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　演繹推理在其他方面的應(yīng)用 答案　B 解析　進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，根據(jù)成績(jī)應(yīng)是1號(hào)至8號(hào)． 若a>63，則同時(shí)進(jìn)入兩決賽的不是6人，不符合題意； 若61≤a≤63，則同時(shí)進(jìn)入兩決賽的有1,2,3,5,6,7號(hào)，符合題意； 若a＝60，則同時(shí)進(jìn)入兩決賽的不是6人，不符合題意； 若a≤59，則同時(shí)進(jìn)入兩決賽的有1,3,4,5,6,7號(hào)，符合題意． 綜上可知，5號(hào)進(jìn)入30秒跳繩決賽． 二、填空題 9．已知正三角形內(nèi)切圓的半徑

27、是高的，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是____________________． 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　平面幾何與立體幾何之間的類比 答案　正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的 解析　原問(wèn)題的解法為等面積法，即正三角形的面積S＝ah1＝3×ar?r＝h1(其中a是正三角形的邊長(zhǎng)，h1是高，r是內(nèi)切圓半徑)． 類比，用等體積法，V＝Sh2＝4×R·S?R＝h2(其中S為底面正三角形的面積，h2是高，R是內(nèi)切球的半徑)． 10．已知＝2，＝3，＝4，…，＝6，a，b均為正實(shí)數(shù)，由以上規(guī)律可推測(cè)出a，b的值，則a＋b＝________. 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理

28、在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案　41 解析　由題意歸納推理得＝6，b＝62－1＝35，a＝6. ∴a＋b＝6＋35＝41. 11．完成反證法證題的全過(guò)程． 題目：設(shè)a1，a2，…，a7是由數(shù)字1,2，…，7任意排成的一個(gè)數(shù)列，求證：乘積p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)為偶數(shù)． 證明：假設(shè)p為奇數(shù)，則________均為奇數(shù)．① 因?yàn)?個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有 (a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)為_(kāi)_______．② 而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③ ②與③矛盾，故p為偶數(shù)．

29、 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 答案　a1－1，a2－2，…，a7－7　奇數(shù)　0 解析　由假設(shè)p為奇數(shù)可知，(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均為奇數(shù)，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0為奇數(shù)，這與0為偶數(shù)相矛盾． 三、解答題 12．用綜合法或分析法證明： (1)如果a，b>0，則lg≥； (2)6＋>2＋2. 考點(diǎn)　分析法和綜合法的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　分析法和綜合法的綜合應(yīng)用 證明　(1)當(dāng)a，b>0時(shí)，有≥， ∴l(xiāng)g≥lg， ∴l(xiāng)g≥lg(ab)＝. (2)要證＋>2＋2， 只需證

30、(＋)2>(2＋2)2， 即2>2，這是顯然成立的， ∴原不等式成立． 13．求證：不論x，y取何非零實(shí)數(shù)，等式＋＝總不成立． 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 證明　假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)x，y使得等式＋＝成立． 于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy， 即x2＋y2＋xy＝0， 即2＋y2＝0. 由y≠0，得y2＞0. 又2≥0， 所以2＋y2＞0. 與x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命題成立． 四、探究與拓展 14．設(shè)S，V分別表示表面積和體積，如△ABC的面積用S△ABC表示，三棱錐O－ABC的體積用VO－ABC表示，對(duì)于命題：如果O是線段AB上一點(diǎn)，則||

31、·＋||·＝0.將它類比到平面的情形時(shí)，應(yīng)該有：若O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0.將它類比到空間的情形時(shí)，應(yīng)該有：若O是三棱錐A－BCD內(nèi)一點(diǎn)，則有__________． 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　平面幾何與立體幾何之間的類比 答案　VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0 15．給出下列等式： 1＝1， 1－4＝－(1＋2)， 1－4＋9＝1＋2＋3， 1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)， …… (1)寫出第5個(gè)和第6個(gè)等式，并猜想第n(n∈N*)個(gè)等式； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的等式． 考點(diǎn)　

32、利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 題點(diǎn)　等式中的歸納、猜想、證明 (1)解　第5個(gè)等式為1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5， 第6個(gè)等式為1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)． 猜想第n個(gè)等式為12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2 ＝(－1)n－1·(1＋2＋3＋…＋n)． (2)證明　①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12＝1，右邊＝(－1)0×1＝1，左邊＝右邊，猜想成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，猜想成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k(k＋1)·＝(－1)k·， 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想也成立 由①②可知，對(duì)于任意n∈N*，猜想均成立． 16