《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 3.1 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念 3.1.1 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 3.1 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念 3.1.1 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念學(xué)案 新人教A版選修2-2（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3．1.1　數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念 學(xué)習(xí)目標　1.了解引進虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴充過程.2.理解在數(shù)系的擴充中由實數(shù)集擴展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件． 知識點一　復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)表示 思考　為解決方程x2＝2在有理數(shù)范圍內(nèi)無根的問題，數(shù)系從有理數(shù)擴充到實數(shù)；那么怎樣解決方程x2＋1＝0在實數(shù)系中無根的問題呢？ 答案　設(shè)想引入新數(shù)i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同時得到一些新數(shù)． 梳理　(1)復(fù)數(shù) ①定義：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R

2、)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位．a(chǎn)叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部． ②表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式． (2)復(fù)數(shù)集 ①定義：全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集． ②表示：通常用大寫字母C表示． 知識點二　兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件 在復(fù)數(shù)集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數(shù)a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我們規(guī)定：a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d. 知識點三　復(fù)數(shù)的分類 (1)復(fù)數(shù)(a＋bi，a，b∈R) (2)集合表示： 1．若a，b為實數(shù)，則z＝a＋bi為虛數(shù)．(　×　

3、) 2．復(fù)數(shù)z＝bi是純虛數(shù)．(　×　) 3．若兩個復(fù)數(shù)的實部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個復(fù)數(shù)相等．(　√　) 類型一　復(fù)數(shù)的概念 例1　(1)給出下列幾個命題： ①若z∈C，則z2≥0； ②2i－1虛部是2i； ③2i的實部是0； ④若實數(shù)a與ai對應(yīng)，則實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng)； ⑤實數(shù)集的補集是虛數(shù)集． 其中真命題的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)已知復(fù)數(shù)z＝a2－(2－b)i的實部和虛部分別是2和3，則實數(shù)a，b的值分別是________． 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　復(fù)數(shù)的概念及分類 答案　(1)C　(2)±，5

4、解析　(1)令z＝i∈C，則i2＝－1<0，故①不正確． ②中2i－1的虛部應(yīng)是2，故②不正確． ④當a＝0時，ai＝0為實數(shù)，故④不正確， ∴只有③，⑤正確． (2)由題意知∴a＝±，b＝5. 反思與感悟　(1)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：若z＝a＋bi，只有當a，b∈R時，a才是z的實部，b才是z的虛部，且注意虛部不是bi，而是b. (2)不要將復(fù)數(shù)與虛數(shù)的概念混淆，實數(shù)也是復(fù)數(shù)，實數(shù)和虛數(shù)是復(fù)數(shù)的兩大構(gòu)成部分． (3)舉反例：判斷一個命題為假命題，只要舉一個反例即可，所以解答這類題時，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法進行解答． 跟蹤訓(xùn)練1　下列命題： ①若a∈R，則(

5、a＋1)i是純虛數(shù)； ②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)x＝±2； ③實數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集． 其中正確說法的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　復(fù)數(shù)的概念及分類 答案　B 解析　對于復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，當a＝0且b≠0時，為純虛數(shù)．對于①，若a＝－1，則(a＋1)i不是純虛數(shù)，故①錯誤．對于②，若x＝－2，則x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此時(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是純虛數(shù)，故②錯誤．顯然，③正確．故選B. 類型二　復(fù)數(shù)的分類 例2　求當實數(shù)m為何值時，z＝＋(m2＋5m＋6)i分

6、別是(1)虛數(shù)；(2)純虛數(shù)． 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 解　(1)復(fù)數(shù)z是虛數(shù)的充要條件是 ?m≠－3且m≠－2. ∴當m≠－3且m≠－2時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)． (2)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的充要條件是 ??m＝3. ∴當m＝3時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)． 引申探究 1．若本例條件不變，m為何值時，z為實數(shù)． 解　由已知得，復(fù)數(shù)z的實部為， 虛部為m2＋5m＋6. 復(fù)數(shù)z是實數(shù)的充要條件是 ??m＝－2. ∴當m＝－2時，復(fù)數(shù)z是實數(shù)． 2．已知i是虛數(shù)單位，m∈R，復(fù)數(shù)z＝＋(m2－2m－15)i，則當m＝________時，z為純虛數(shù)． 答案　3或－2

7、 解析　由題意知解得m＝3或－2. 反思與感悟　利用復(fù)數(shù)的概念對復(fù)數(shù)分類時，主要依據(jù)實部、虛部滿足的條件，可列方程或不等式求參數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練2　當實數(shù)m為何值時，復(fù)數(shù)lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是 (1)純虛數(shù)；(2)實數(shù)． 考點　復(fù)數(shù)的分類 題點　由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 解　(1)復(fù)數(shù)lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是純虛數(shù)， 則解得m＝4. (2)復(fù)數(shù)lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是實數(shù)， 則解得m＝－2或m＝－3. 類型三　復(fù)數(shù)相等 例3　(1)已知x0是關(guān)于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0(m∈R)的實根，則m的值

8、是________． 考點　復(fù)數(shù)相等 題點　由復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 答案　 解析　由題意，得x－(2i－1)x0＋3m－i＝0， 即(x＋x0＋3m)＋(－2x0－1)i＝0， 由此得?m＝. (2)已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求實數(shù)a的值． 考點　復(fù)數(shù)相等 題點　由復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 解　由題意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)， 所以即所以a＝－1. 反思與感悟　(1)在兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件中，注意前提條件是a，b，c，d∈R，即當a，b，c，d∈R時，a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.若

9、忽略前提條件，則結(jié)論不成立． (2)利用該條件把復(fù)數(shù)的實部和虛部分離出來，達到“化虛為實”的目的，從而將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來求解． 跟蹤訓(xùn)練3　復(fù)數(shù)z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，則m＝________. 考點　復(fù)數(shù)相等 題點　由復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 答案　5 解析　因為m∈R，z1＝z2， 所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i. 由復(fù)數(shù)相等的充要條件得解得m＝5. 1．若xi－i2＝y(tǒng)＋2i，x，y∈R，則復(fù)數(shù)x＋yi等于(　　) A．－2＋i B．2＋i C．1－2i D

10、．1＋2i 考點　復(fù)數(shù)相等 題點　由復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 答案　B 解析　由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，則由題意得1＋xi＝y(tǒng)＋2i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i. 2．若復(fù)數(shù)z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實數(shù)，則實數(shù)m的值為(　　) A．－1 B．2 C．1 D．－1或2 考點　復(fù)數(shù)的分類 題點　由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案　D 解析　因為復(fù)數(shù)z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實數(shù)， 所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2. 3．下列幾個命題： ①兩個復(fù)數(shù)相等的一個必要條件是它們的實部相等； ②兩個復(fù)數(shù)不相等的一個充

11、分條件是它們的虛部不相等； ③1－ai(a∈R)是一個復(fù)數(shù)； ④虛數(shù)的平方不小于0； ⑤－1的平方根只有一個，即為－i； ⑥i是方程x4－1＝0的一個根； ⑦i是一個無理數(shù)． 其中真命題的個數(shù)為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　復(fù)數(shù)的概念及分類 答案　B 解析　命題①②③⑥正確，④⑤⑦錯誤． 4．已知復(fù)數(shù)z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的實部大于虛部，則實數(shù)a的取值范圍是________________． 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　復(fù)數(shù)的概念及分類 答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析　由已知可得a2>2a＋3，即a2－

12、2a－3>0， 解得a>3或a<－1， 因此，實數(shù)a的取值范圍是{a|a>3或a<－1}． 5．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，則實數(shù)x的值是________． 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案?。? 解析　由題意知得x＝－2. 1．對于復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到復(fù)數(shù)z的不同情況． 2．兩個復(fù)數(shù)相等，要先確定兩個復(fù)數(shù)的實、虛部，再利用兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件進行判斷. 一、選擇題 1．設(shè)a，b∈R，“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條

13、件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　復(fù)數(shù)的概念及分類 答案　B 解析　因為a，b∈R，當“a＝0”時“復(fù)數(shù)a＋bi不一定是純虛數(shù)，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R”． 而當“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”，則“a＝0”一定成立． 所以a，b∈R，“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的必要不充分條件． 2．以－＋2i的虛部為實部，以i＋2i2的實部為虛部的新復(fù)數(shù)是(　　) A．2－2i B．－＋i C．2＋i D.＋i 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　求復(fù)數(shù)的實部和虛部 答案　A 解析　設(shè)所求新復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)， 由題意知復(fù)數(shù)

14、－＋2i的虛部為2，復(fù)數(shù)i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的實部為－2，則所求的z＝2－2i.故選A. 3．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，則2x＋y的值為(　　) A. B．2 C．0 D．1 考點　復(fù)數(shù)相等 題點　由復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 答案　D 解析　由復(fù)數(shù)相等的充要條件知， 解得 ∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1. 4．下列命題中： ①若x，y∈C，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y(tǒng)＝1； ②純虛數(shù)集相對于復(fù)數(shù)集的補集是虛數(shù)集； ③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，則z1＝z2＝z3. 正確命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C

15、．2 D．3 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　復(fù)數(shù)的概念及分類 答案　A 解析　①取x＝i，y＝－i，則x＋yi＝1＋i，但不滿足x＝y(tǒng)＝1，故①錯；②③錯，故選A. 5．若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是純虛數(shù)，則θ的值為(　　) A．2kπ－(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z) C．2kπ±(k∈Z) D.π＋(k∈Z) 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案　B 解析　由題意，得 解得(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋，k∈Z. 6．若復(fù)數(shù)z＝＋i是純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則tan的值為(　　) A．7 B．－ C．－7 D．－7或－

16、 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案　C 解析　∵復(fù)數(shù)z＝＋i是純虛數(shù)， ∴cos θ－＝0，sin θ－≠0， ∴sin θ＝－，∴tan θ＝－， 則tan＝＝＝－7. 7．已知關(guān)于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有實數(shù)根n，且z＝m＋ni，則復(fù)數(shù)z等于(　　) A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i 考點　復(fù)數(shù)相等 題點　由復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 答案　B 解析　由題意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0， 即解得 ∴z＝3－i，故選B. 二、填空題 8．設(shè)m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是純虛數(shù)，其中

17、i是虛數(shù)單位，則m＝________. 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案?。? 解析　由即m＝－2. 9．已知z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i.則m＝1是z1＝z2的______條件． 考點　復(fù)數(shù)相等 題點　由復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 答案　充分不必要 解析　當z1＝z2時，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，顯然m＝1是z1＝z2的充分不必要條件． 10．已知復(fù)數(shù)z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是實數(shù)，則m的值為________． 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案

18、　0或1 解析　z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i， 所以m2－m＝0，所以m＝0或1. 11．復(fù)數(shù)z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是純虛數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________________． 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案　(－∞，－1)∪(－1，＋∞) 解析　若復(fù)數(shù)z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i是純虛數(shù)，則a2－2a－3＝0，|a－2|－1≠0，解得a＝－1，∴當a≠－1時，復(fù)數(shù)z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是純虛數(shù)． 12．已知log(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，且n∈N*，則m＋n＝__

19、______. 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案　1或2 解析　由題意得 由②，得m＝0或m＝3. 當m＝0時，由(m＋n)≥－1，得0

20、即m－1≠0，解得m＝－3. (2)要使z是虛數(shù)，m需滿足m2＋2m－3≠0，且有意義，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3. (3)要使z是純虛數(shù)，m需滿足＝0，m－1≠0， 且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2. 四、探究與拓展 14．定義運算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求實數(shù)x，y的值． 考點　復(fù)數(shù)相等 題點　由復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 解　由定義運算＝ad－bc， 得＝3x＋2y＋yi， 故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi. 因為x，y為實數(shù)，所以 得得x＝－1，y＝2. 15．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}滿足M∩N?M，且M∩N≠?，求整數(shù)a，b的值． 考點　復(fù)數(shù)相等 題點　由復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 解　由題意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，① 或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，② 或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③ 由①，得a＝－3，b＝±2， 由②，得a＝±3，b＝－2， ③中，a，b無整數(shù)解，不符合題意． 綜上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2. 11