31.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴(kuò)充過程.2.理解在數(shù)系的擴(kuò)充中由實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件知識(shí)點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)表示思考為解決方程x22在有理數(shù)范圍內(nèi)無根的問題，數(shù)系從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)；那么怎樣解決方程x210在實(shí)數(shù)系中無根的問題呢？答案設(shè)想引入新數(shù)i，使i是方程x210的根，即i·i1，方程x210有解，同時(shí)得到一些新數(shù)梳理(1)復(fù)數(shù)定義：把集合Cabi|a，bR中的數(shù)，即形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式(2)復(fù)數(shù)集定義：全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集表示：通常用大寫字母C表示知識(shí)點(diǎn)二兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件在復(fù)數(shù)集Cabi|a，bR中任取兩個(gè)數(shù)abi，cdi (a，b，c，dR)，我們規(guī)定：abi與cdi相等的充要條件是ac且bd.知識(shí)點(diǎn)三復(fù)數(shù)的分類(1)復(fù)數(shù)(abi，a，bR)(2)集合表示：1若a，b為實(shí)數(shù)，則zabi為虛數(shù)(×)2復(fù)數(shù)zbi是純虛數(shù)(×)3若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等()類型一復(fù)數(shù)的概念例1(1)給出下列幾個(gè)命題：若zC，則z20；2i1虛部是2i；2i的實(shí)部是0；若實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)；實(shí)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集其中真命題的個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D3(2)已知復(fù)數(shù)za2(2b)i的實(shí)部和虛部分別是2和3，則實(shí)數(shù)a，b的值分別是_考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念及分類答案(1)C(2)±，5解析(1)令ziC，則i21<0，故不正確中2i1的虛部應(yīng)是2，故不正確當(dāng)a0時(shí)，ai0為實(shí)數(shù)，故不正確，只有，正確(2)由題意知a±，b5.反思與感悟(1)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：若zabi，只有當(dāng)a，bR時(shí)，a才是z的實(shí)部，b才是z的虛部，且注意虛部不是bi，而是b.(2)不要將復(fù)數(shù)與虛數(shù)的概念混淆，實(shí)數(shù)也是復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)和虛數(shù)是復(fù)數(shù)的兩大構(gòu)成部分(3)舉反例：判斷一個(gè)命題為假命題，只要舉一個(gè)反例即可，所以解答這類題時(shí)，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法進(jìn)行解答跟蹤訓(xùn)練1下列命題：若aR，則(a1)i是純虛數(shù)；若(x24)(x23x2)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x±2；實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集其中正確說法的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念及分類答案B解析對(duì)于復(fù)數(shù)abi(a，bR)，當(dāng)a0且b0時(shí)，為純虛數(shù)對(duì)于，若a1，則(a1)i不是純虛數(shù)，故錯(cuò)誤對(duì)于，若x2，則x240，x23x20，此時(shí)(x24)(x23x2)i0，不是純虛數(shù)，故錯(cuò)誤顯然，正確故選B.類型二復(fù)數(shù)的分類例2求當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，z(m25m6)i分別是(1)虛數(shù)；(2)純虛數(shù)考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)解(1)復(fù)數(shù)z是虛數(shù)的充要條件是m3且m2.當(dāng)m3且m2時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)(2)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的充要條件是m3.當(dāng)m3時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)引申探究1若本例條件不變，m為何值時(shí)，z為實(shí)數(shù)解由已知得，復(fù)數(shù)z的實(shí)部為，虛部為m25m6.復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是m2.當(dāng)m2時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)2已知i是虛數(shù)單位，mR，復(fù)數(shù)z(m22m15)i，則當(dāng)m_時(shí)，z為純虛數(shù)答案3或2解析由題意知解得m3或2.反思與感悟利用復(fù)數(shù)的概念對(duì)復(fù)數(shù)分類時(shí)，主要依據(jù)實(shí)部、虛部滿足的條件，可列方程或不等式求參數(shù)跟蹤訓(xùn)練2當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)lg(m22m7)(m25m6)i是(1)純虛數(shù)；(2)實(shí)數(shù)考點(diǎn)復(fù)數(shù)的分類題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)解(1)復(fù)數(shù)lg(m22m7)(m25m6)i是純虛數(shù)，則解得m4.(2)復(fù)數(shù)lg(m22m7)(m25m6)i是實(shí)數(shù)，則解得m2或m3.類型三復(fù)數(shù)相等例3(1)已知x0是關(guān)于x的方程x2(2i1)x3mi0(mR)的實(shí)根，則m的值是_考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)答案解析由題意，得x(2i1)x03mi0，即(xx03m)(2x01)i0，由此得m.(2)已知A1,2，a23a1(a25a6)i，B1,3，AB3，求實(shí)數(shù)a的值考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)解由題意知，a23a1(a25a6)i3(aR)，所以即所以a1.反思與感悟(1)在兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件中，注意前提條件是a，b，c，dR，即當(dāng)a，b，c，dR時(shí)，abicdiac且bd.若忽略前提條件，則結(jié)論不成立(2)利用該條件把復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分離出來，達(dá)到“化虛為實(shí)”的目的，從而將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題來求解跟蹤訓(xùn)練3復(fù)數(shù)z1(2m7)(m22)i，z2(m28)(4m3)i，mR，若z1z2，則m_.考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)答案5解析因?yàn)閙R，z1z2，所以(2m7)(m22)i(m28)(4m3)i.由復(fù)數(shù)相等的充要條件得解得m5.1若xii2y2i，x，yR，則復(fù)數(shù)xyi等于()A2i B2iC12i D12i考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)答案B解析由i21，得xii21xi，則由題意得1xiy2i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得x2，y1，故xyi2i.2若復(fù)數(shù)zm21(m2m2)i為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A1 B2C1 D1或2考點(diǎn)復(fù)數(shù)的分類題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案D解析因?yàn)閺?fù)數(shù)zm21(m2m2)i為實(shí)數(shù)，所以m2m20，解得m1或m2.3下列幾個(gè)命題：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的一個(gè)必要條件是它們的實(shí)部相等；兩個(gè)復(fù)數(shù)不相等的一個(gè)充分條件是它們的虛部不相等；1ai(aR)是一個(gè)復(fù)數(shù)；虛數(shù)的平方不小于0；1的平方根只有一個(gè)，即為i；i是方程x410的一個(gè)根；i是一個(gè)無理數(shù)其中真命題的個(gè)數(shù)為()A3 B4 C5 D6考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念及分類答案B解析命題正確，錯(cuò)誤4已知復(fù)數(shù)za2(2a3)i(aR)的實(shí)部大于虛部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念及分類答案(，1)(3，)解析由已知可得a2>2a3，即a22a3>0，解得a>3或a<1，因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|a>3或a<15若log2(x23x2)ilog2(x22x1)>1，則實(shí)數(shù)x的值是_考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案2解析由題意知得x2.1對(duì)于復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，可以限制a，b的值得到復(fù)數(shù)z的不同情況2兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，要先確定兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部，再利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件進(jìn)行判斷.一、選擇題1設(shè)a，bR，“a0”是“復(fù)數(shù)abi是純虛數(shù)”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念及分類答案B解析因?yàn)閍，bR，當(dāng)“a0”時(shí)“復(fù)數(shù)abi不一定是純虛數(shù)，也可能b0，即abi0R”而當(dāng)“復(fù)數(shù)abi是純虛數(shù)”，則“a0”一定成立所以a，bR，“a0”是“復(fù)數(shù)abi是純虛數(shù)”的必要不充分條件2以2i的虛部為實(shí)部，以i2i2的實(shí)部為虛部的新復(fù)數(shù)是()A22i BiC2i D.i考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)求復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部答案A解析設(shè)所求新復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，由題意知復(fù)數(shù)2i的虛部為2，復(fù)數(shù)i2i2i2×(1)2i的實(shí)部為2，則所求的z22i.故選A.3若(xy)ix1(x，yR)，則2xy的值為()A. B2 C0 D1考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)答案D解析由復(fù)數(shù)相等的充要條件知，解得xy0.2xy201.4下列命題中：若x，yC，則xyi1i的充要條件是xy1；純虛數(shù)集相對(duì)于復(fù)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集；若(z1z2)2(z2z3)20，則z1z2z3.正確命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念及分類答案A解析取xi，yi，則xyi1i，但不滿足xy1，故錯(cuò)；錯(cuò)，故選A.5若sin 21i(cos 1)是純虛數(shù)，則的值為()A2k(kZ) B2k(kZ)C2k±(kZ) D.(kZ)考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案B解析由題意，得解得(kZ)，2k，kZ.6若復(fù)數(shù)zi是純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則tan的值為()A7 BC7 D7或考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案C解析復(fù)數(shù)zi是純虛數(shù)，cos 0，sin 0，sin ，tan ，則tan7.7已知關(guān)于x的方程x2(m2i)x22i0(mR)有實(shí)數(shù)根n，且zmni，則復(fù)數(shù)z等于()A3i B3iC3i D3i考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)答案B解析由題意知n2(m2i)n22i0，即解得z3i，故選B.二、填空題8設(shè)mR，m2m2(m21)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m_.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案2解析由即m2.9已知z1(m2m1)(m2m4)i，mR，z232i.則m1是z1z2的_條件考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)答案充分不必要解析當(dāng)z1z2時(shí)，必有m2m13，m2m42，解得m2或m1，顯然m1是z1z2的充分不必要條件10已知復(fù)數(shù)zm2(1i)m(mi)(mR)，若z是實(shí)數(shù)，則m的值為_考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案0或1解析zm2m2im2mi(m2m)i，所以m2m0，所以m0或1.11復(fù)數(shù)z(a22a3)(|a2|1)i不是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案(，1)(1，)解析若復(fù)數(shù)z(a22a3)(|a2|1)i是純虛數(shù)，則a22a30，|a2|10，解得a1，當(dāng)a1時(shí)，復(fù)數(shù)z(a22a3)(|a2|1)i不是純虛數(shù)12已知log(mn)(m23m)i1，且nN*，則mn_.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案1或2解析由題意得由，得m0或m3.當(dāng)m0時(shí)，由(mn)1，得0<n2，n1或n2.當(dāng)m3時(shí)，由(mn)1，得0<n32，3<n1，即n無自然數(shù)解m，n的值分別為m0，n1或m0，n2.故mn的值為1或2.三、解答題13實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z(m22m3)i分別是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)解(1)要使z是實(shí)數(shù)，m需滿足m22m30，且有意義，即m10，解得m3.(2)要使z是虛數(shù)，m需滿足m22m30，且有意義，即m10，解得m1且m3.(3)要使z是純虛數(shù)，m需滿足0，m10，且m22m30，解得m0或m2.四、探究與拓展14定義運(yùn)算adbc，如果(xy)(x3)i，求實(shí)數(shù)x，y的值考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)解由定義運(yùn)算adbc，得3x2yyi，故有(xy)(x3)i3x2yyi.因?yàn)閤，y為實(shí)數(shù)，所以得得x1，y2.15已知集合M(a3)(b21)i,8，集合N3i，(a21)(b2)i滿足MNM，且MN，求整數(shù)a，b的值考點(diǎn)復(fù)數(shù)相等題點(diǎn)由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)解由題意，得(a3)(b21)i3i，或8(a21)(b2)i，或(a3)(b21)i(a21)(b2)i.由，得a3，b±2，由，得a±3，b2，中，a，b無整數(shù)解，不符合題意綜上，a3，b2或a3，b2或a3，b2.11