2022年高考數(shù)學二輪復習 限時訓練6 導數(shù)的應用 文1已知函數(shù)f(x)ax(1a)ln x.(1)當a2時，求曲線yf(x)在x1處的切線方程；(2)若a0，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解：(1)當a2時，f(x)2xln x，f(x)2，又f(1)0，f(1)3，所以曲線f(x)在x1處的切線方程為y3.(2)f(x)a(x>0)，當a0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增；若a0，f(x)0，解得x11，x2，當1<a<0時，f(x)在(0,1)和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當a1時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當a<1時，f(x)在和(1，)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增2已知函數(shù)f(x)ln x，x1,3(1)求f(x)的最大值與最小值；(2)若f(x)<4at對任意的x1,3，t0,2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；解：(1)函數(shù)f(x)ln x，f(x)，令f(x)0得x±2，x1,3，當1<x<2時，f(x)<0；當2<x<3時，f(x)>0；f(x)在(1,2)上是單調(diào)減函數(shù)，在(2,3)上是單調(diào)增函數(shù)，f(x)在x2處取得極小值f(2)ln 2；又f(1)，f(3)ln 3，ln 3>1，ln 31>0，f(1)>f(3)，x1時f(x)的最大值為，x2時函數(shù)取得最小值為ln 2.(2)由(1)知當x1,3時，f(x)，故對任意x1,3，f(x)<4at恒成立，只要4at>對任意t0,2恒成立，即at<恒成立，記g(t)at，t0,2，解得a<，即實數(shù)a的取值范圍是.3已知函數(shù)f(x)a(x21)ln x.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若對任意a(4，2)及x1,3，恒有maf(x)>a2成立，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)由已知，得f(x)2ax(x>0)當a0時，恒有f(x)>0，則f(x)在(0，)上是增函數(shù)當a<0時，若0<x<，則f(x)>0，故f(x)在上是增函數(shù)；若x>，則f(x)<0，故f(x)在上是減函數(shù)綜上，當a0時，f(x)在(0，)上是增函數(shù)；當a<0時，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)(2)由題意，知對任意a(4，2)及x1,3，恒有maf(x)>a2成立，等價于maa2>f(x)max.因為a(4，2)，所以<<<1.由(1)，知當a(4，2)時，f(x)在1,3上是減函數(shù)，所以f(x)maxf(1)2a，所以maa2>2a，即m<a2.因為a(4，2)，所以2<a2<0.所以實數(shù)m的取值范圍為m2.4(xx·高考江蘇卷)已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a，bR)(1)試討論f(x)的單調(diào)性；(2)若bca(實數(shù)c是與a無關的常數(shù))，當函數(shù)f(x)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是(，3)，求c的值解：(1)f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.當a0時，因為f(x)3x20，所以函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞增；當a>0時，x(0，)時，f(x)>0，x時，f(x)<0，所以函數(shù)f(x)在，(0，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當a<0時，x(，0)時，f(x)>0，x時，f(x)<0，所以函數(shù)f(x)在(，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)由(1)知，函數(shù)f(x)的兩個極值為f(0)b，fa3b，則函數(shù)f(x)有三個零點等價于f(0)·fb·<0，從而或又bca，所以當a>0時，a3ac>0或當a<0時，a3ac<0.設g(a)a3ac，因為函數(shù)f(x)有三個零點時，a的取值范圍恰好是(，3)，則在(，3)上g(a)<0，且在上g(a)>0均恒成立，從而g(3)c10，且gc10，因此c1.此時，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a因為函數(shù)有三個零點，則x2(a1)x1a0有兩個異于1的不等實根，所以(a1)24(1a)a22a3>0，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3).綜上c1.