《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)（一）學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)（一）學(xué)案 新人教A版選修2-2（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1．3.2　函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(一) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解函數(shù)極值的概念，會從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法.3.掌握函數(shù)在某一點取得極值的條件． 知識點一　函數(shù)的極值點和極值 思考　觀察函數(shù)y＝f(x)的圖象，指出其極大值點和極小值點及極值． 答案　極大值點為e，g，i，極大值為f(e)，f(g)，f(i)；極小值點為d，f，h，極小值為f(d)，f(f)，f(h)． 梳理　(1)極小值點與極小值 若函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側(cè)f′(x)<0，

2、右側(cè)f′(x)>0，就把點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值． (2)極大值點與極大值 若函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，就把點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值． (3)極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值． 知識點二　函數(shù)極值的求法與步驟 (1)求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法 解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時， ①如果在x0附近的左側(cè)函數(shù)單調(diào)遞增，即f′

3、(x)>0，在x0的右側(cè)函數(shù)單調(diào)遞減，即f′(x)<0，那么f(x0)是極大值； ②如果在x0附近的左側(cè)函數(shù)單調(diào)遞減，即f′(x)<0，在x0的右側(cè)函數(shù)單調(diào)遞增，即f′(x)>0，那么f(x0)是極小值． (2)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟 ①確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③列表； ④利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點左右兩側(cè)單調(diào)性的變化情況求極值． 1．導(dǎo)數(shù)為0的點一定是極值點．(　×　) 2．函數(shù)的極大值一定大于極小值．(　×　) 3．函數(shù)y＝f(x)一定有極大值和極小值．(　×　) 4．極值點處的導(dǎo)數(shù)一定

4、為0.(　×　) 類型一　求函數(shù)的極值點和極值 例1　求下列函數(shù)的極值． (1)f(x)＝－2；(2)f(x)＝. 考點　函數(shù)在某點處取得極值的條件 題點　不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題 解　(1)函數(shù)f(x)的定義域為R. f′(x)＝＝－. 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 由上表可以看出，當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極小值，且極小值為f(－1)＝－3；

5、 當(dāng)x＝1時，函數(shù)有極大值，且極大值為f(1)＝－1. (2)函數(shù)f(x)＝的定義域為(0，＋∞)， 且f′(x)＝. 令f′(x)＝0，解得x＝e. 當(dāng)x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表： x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ 極大值 ↘ 因此，x＝e是函數(shù)的極大值點，極大值為f(e)＝，沒有極小值． 反思與感悟　函數(shù)極值和極值點的求解步驟 (1)確定函數(shù)的定義域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并列成表格． (4)由f

6、′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況． 特別提醒：當(dāng)實數(shù)根較多時，要充分利用表格，使極值點的確定一目了然． 跟蹤訓(xùn)練1　求下列函數(shù)的極值點和極值． (1)f(x)＝x3－x2－3x＋3； (2)f(x)＝x2e－x. 考點　函數(shù)在某點處取得極值的條件 題點　不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題 解　(1)f′(x)＝x2－2x－3. 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3， 當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f

7、(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 由上表可以看出，當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極大值，且極大值f(－1)＝，當(dāng)x＝3時，函數(shù)有極小值，且極小值f(3)＝－6. (2)函數(shù)f(x)的定義域為R. f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x. 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 由上表可以看出，當(dāng)x＝0時，函數(shù)有極小值，且極小值為f(0)＝0. 當(dāng)x＝2

8、時，函數(shù)有極大值，且極大值為f(2)＝4e－2. 例2　已知函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，當(dāng)實數(shù)a≠時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值． 考點　函數(shù)在某點處取得極值的條件 題點　含參數(shù)求極值問題 解　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex. 令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2， 由a≠知－2a≠a－2. 分以下兩種情況討論： ①若a>，則－2a

9、－ 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函數(shù)，在(－2a，a－2)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在x＝－2a處取得極大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函數(shù)f(x)在x＝a－2處取得極小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2. ②若a<，則－2a>a－2. 當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗

10、 所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函數(shù)，在(a－2，－2a)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在x＝a－2處取得極大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函數(shù)f(x)在x＝－2a處取得極小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a. 反思與感悟　討論參數(shù)應(yīng)從f′(x)＝0的兩根x1，x2相等與否入手進(jìn)行． 跟蹤訓(xùn)練2　已知函數(shù)f(x)＝x－aln x(a∈R)． (1)當(dāng)a＝2時，求曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 考點　函數(shù)在某點處取得極值的條件 題點　含參數(shù)求極值問題 解　函數(shù)f(x)的定義

11、域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－. (1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1. 所以曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程為 y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. (2)由f′(x)＝1－＝，x>0，知 ①當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值； ②當(dāng)a>0時，由f′(x)＝0，解得x＝a. 又當(dāng)x∈(0，a)時，f′(x)<0， 當(dāng)x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0， 從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，

12、無極大值． 綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)無極值； 當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無極大值． 類型二　利用函數(shù)的極值求參數(shù) 例3　(1)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a處取到極大值，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1) B．(0，＋∞) C．(0,1) D．(－1,0) (2)已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1時有極值0，則a＝________，b＝________. 考點　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　已知極值點求參數(shù) 答案　(1)D　(2)2　9 解析　(1)

13、若a<－1，因為f′(x)＝a(x＋1)(x－a)， 所以f(x)在(－∞，a)上單調(diào)遞減，在(a，－1)上單調(diào)遞增， 所以f(x)在x＝a處取得極小值，與題意不符； 若－10，則f(x)在(－1，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，與題意不符，故選D. (2)因為f(x)在x＝－1時有極值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b， 所以即 解得或 當(dāng)a＝1，b＝3時，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去． 當(dāng)

14、a＝2，b＝9時，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． 當(dāng)x∈(－3，－1)時，f(x)為減函數(shù)， 當(dāng)x∈(－1，＋∞)時，f(x)為增函數(shù)， 所以f(x)在x＝－1處取得極小值，因此a＝2，b＝9. 反思與感悟　已知函數(shù)的極值求參數(shù)時應(yīng)注意兩點 (1)待定系數(shù)法：常根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個條件列出方程組，用待定系數(shù)法求解． (2)驗證：因為導(dǎo)數(shù)值為0不一定此點就是極值點，故利用上述方程組解出的解必須驗證． 跟蹤訓(xùn)練3　設(shè)x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝aln x＋bx2＋x的兩個極值點． (1)試確定常數(shù)a和b的值； (2)判斷x＝1，x＝2是函數(shù)f

15、(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由． 考點　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　已知極值點求參數(shù) 解　(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x， ∴f′(x)＝＋2bx＋1， ∴f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0， 解得a＝－，b＝－. (2)由(1)可知f(x)＝－ln x－x2＋x， 且定義域是(0，＋∞)， f′(x)＝－x－1－x＋1＝－. 當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1,2)時，f′(x)>0； 當(dāng)x∈(2，＋∞)時，f′(x)<0. 故x＝1是函數(shù)f(x)的極小值點，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點. 1.

16、函數(shù)f(x)的定義域為R，它的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的部分圖象如圖所示，則下面結(jié)論錯誤的是(　　) A．在(1,2)上函數(shù)f(x)為增函數(shù) B．在(3,4)上函數(shù)f(x)為減函數(shù) C．在(1,3)上函數(shù)f(x)有極大值 D．x＝3是函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,5]上的極小值點 考點　函數(shù)極值的綜合應(yīng)用 題點　函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用 答案　D 解析　根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象知，x∈(1,2)時，f′(x)>0，x∈(2,4)時，f′(x)<0，x∈(4,5)時，f′(x)>0.∴f(x)在(1,2)，(4,5)上為增函數(shù)，在(2,4)上為減函數(shù)，x＝2是f(x)在[1,5]上的極大值點，

17、x＝4是極小值點．故選D. 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝＋ln x，則(　　) A．x＝為f(x)的極大值點 B．x＝為f(x)的極小值點 C．x＝2為f(x)的極大值點 D．x＝2為f(x)的極小值點 考點　函數(shù)在某點處取得極值的條件 題點　不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題 答案　D 解析　函數(shù)f(x)＝＋ln x的定義域為(0，＋∞)． f′(x)＝－， 令f′(x)＝0，即－＝0得，x＝2， 當(dāng)x∈(0,2)時，f′(x)<0，當(dāng)x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0. 因為x＝2為f(x)的極小值點，故選D. 3．函數(shù)f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定義域內(nèi)的極值點的個

18、數(shù)為________． 考點　函數(shù)在某點處取得極值的條件 題點　判斷極值點的個數(shù) 答案　0 解析　因為x>0，f′(x)＝a－＝， 所以當(dāng)a≤0時，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減， 所以f(x)在(0，＋∞)上沒有極值點． 4．已知曲線f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在點(1，f(1))處的切線斜率為3，且x＝是y＝f(x)的極值點，則a＋b＝________. 考點　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　已知極值(點)求參數(shù) 答案?。? 解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 由題意知即 解得則a＋b＝－2. 5．已知函

19、數(shù)f(x)＝ax2＋bln x在x＝1處有極值. (1)求a，b的值； (2)判斷f(x)的單調(diào)區(qū)間，并求極值． 考點　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　已知極值(點)求參數(shù) 解　(1)f′(x)＝2ax＋， 由題意得　即 ∴a＝，b＝－1. (2)由(1)得， f′(x)＝x－＝＝. 又f(x)的定義域為(0，＋∞)， 令f′(x)＝0，解得x＝1. 當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 極小值 ↗ ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，

20、＋∞)． f(x)極小值＝f(1)＝. 1．求函數(shù)極值的步驟 (1)確定函數(shù)的定義域； (2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)； (3)解方程f′(x)＝0得方程的根； (4)利用方程f′(x)＝0的根將定義域分成若干個小開區(qū)間，列表，判定導(dǎo)函數(shù)在各個小開區(qū)間的符號； (5)確定函數(shù)的極值，如果f′(x)的符號在x0處由正(負(fù))變負(fù)(正)，則f(x)在x0處取得極大(小)值． 2．已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，注意兩點 (1)根據(jù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解； (2)因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證充

21、分性． 一、選擇題 1．下列函數(shù)中存在極值的是(　　) A．y＝ B．y＝x－ex C．y＝2 D．y＝x3 考點　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　極值存在性問題 答案　B 解析　對于y＝x－ex，y′＝1－ex，令y′＝0，得x＝0. 在區(qū)間(－∞，0)上，y′>0； 在區(qū)間(0，＋∞)上，y′<0. 故x＝0為函數(shù)y＝x－ex的極大值點． 2．函數(shù)f(x)＝ln x－x在區(qū)間(0，e)上的極大值為(　　) A．－e B．1－e C．－1 D．0 考點　函數(shù)在某點處取得極值的條件 題點　不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題 答案　C 解析　f(x)的

22、定義域為(0，＋∞)， f′(x)＝－1. 令f′(x)＝0，得x＝1. 當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(1，e)時，f′(x)<0， 故f(x)在x＝1處取得極大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1. 3．已知函數(shù)f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2處有極值，則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間是(　　) A．(2,3) B．(3，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，3) 考點　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　已知極值(點)求參數(shù) 答案　B 解析　因為f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2處有極值， 所以f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，

23、解得a＝－15， 所以f′(x)＝6x2－30x＋36 ＝6(x－2)(x－3)， 由f′(x)>0，得x<2或x>3. 4．設(shè)三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，函數(shù)y＝xf′(x)的圖象的一部分如圖所示，則(　　) A．f(x)極大值為f()，極小值為f(－) B．f(x)極大值為f(－)，極小值為f() C．f(x)極大值為f(－3)，極小值為f(3) D．f(x)極大值為f(3)，極小值為f(－3) 考點　函數(shù)極值的綜合應(yīng)用 題點　函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用 答案　D 解析　當(dāng)x<－3時，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0； 當(dāng)－3

24、x)≥0；當(dāng)x>3時，f′(x)<0. ∴f(x)的極大值是f(3)，f(x)的極小值是f(－3)． 5．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于點(1,0)，則f(x)的(　　) A．極大值為，極小值為0 B．極大值為0，極小值為 C．極小值為－，極大值為0 D．極大值為－，極小值為0 考點　函數(shù)某點處取得極值的條件 題點　不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題 答案　A 解析　f′(x)＝3x2－2px－q. 由函數(shù)f(x)的圖象與x軸切于點(1,0)，得p＋q＝1， ∴q＝1－p，① 3－2p－q＝0，② 聯(lián)立①②，解得p＝2，q＝－1， ∴函數(shù)f(x)＝x3

25、－2x2＋x， 則f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝0得x＝1或x＝. 當(dāng)x≤時，f′(x)≥0，f(x)單調(diào)遞增， 當(dāng)

26、負(fù)，故選C. 7．已知函數(shù)f(x)＝ex(sin x－cos x)，x∈(0,2 017π)，則函數(shù)f(x)的極大值之和為(　　) A. B. C. D. 考點　函數(shù)某點處取得極值的條件 題點　不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題 答案　B 解析　f′(x)＝2exsin x，令f′(x)＝0得sin x＝0， ∴x＝kπ，k∈Z， 當(dāng)2kπ0，f(x)單調(diào)遞增， 當(dāng)(2k－1)π

27、 ∴0≤k<1 008，k∈Z. ∴f(x)的極大值之和為 S＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2 015π) ＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2 015π ＝＝，故選B. 二、填空題 8．函數(shù)y＝xex在其極值點處的切線方程為________． 考點　函數(shù)某點處取得極值的條件 題點　不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題 答案　y＝－ 解析　令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0， 得x＝－1，∴y＝－， ∴在極值點處的切線方程為y＝－. 9．若函數(shù)f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2處有極值，則函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處的切線的斜率為________． 考點

28、　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　已知極值(點)求參數(shù) 答案?。? 解析　∵函數(shù)f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2處有極值， ∴f′(x)＝(x2＋c)＋(x－2)×2x， 令f′(2)＝0，∴(c＋4)＋(2－2)×2×2＝0，∴c＝－4， ∴f′(x)＝(x2－4)＋(x－2)×2x. ∴函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處的切線的斜率為 f′(1)＝(1－4)＋(1－2)×2＝－5. 10．若x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的極值點，則f(x)的極小值為________． 考點　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　已知極值(點)求參數(shù) 答案?。? 解析　

29、函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1， 則f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1 ＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]． 由x＝－2是函數(shù)f(x)的極值點，得 f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0， 所以a＝－1. 所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1， f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)． 由ex－1>0恒成立，得當(dāng)x＝－2或x＝1時，f′(x)＝0，且x<－2時，f′(x)>0；當(dāng)－21時，f′(x)>0. 所以x＝1是函數(shù)f(x)的極小值點． 所以函數(shù)f(x

30、)的極小值為f(1)＝－1. 11．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10，則f(－1)＝________. 考點　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　已知極值(點)求參數(shù) 答案　30 解析　由題意知即 解得或 經(jīng)檢驗知，當(dāng)時，f′(x)≥0，不合題意． ∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，則f(－1)＝30. 三、解答題 12．設(shè)函數(shù)f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸． (1)求a的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 考點　函數(shù)在某點處取得極值的條件 題點　不含參數(shù)函數(shù)求極值

31、 解　(1)f′(x)＝－＋. 由題意知，曲線在x＝1處的切線斜率為0，即f′(1)＝0， 從而a－＋＝0，解得a＝－1. (2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)， f′(x)＝－－＋ ＝＝. 令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去)． 當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)． 故f(x)在x＝1處取得極小值，極小值為f(1)＝3. 13．已知函數(shù)f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m為常數(shù)，且m>0)有極大值－，求m的值． 考點　

32、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　已知極值(點)求參數(shù) 解　∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)， 令f′(x)＝0，得x＝－m或x＝m. 當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－m) －m m f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ∴f(x)有極大值f(－m)＝－m3＋m3＋2m3－4 ＝－， ∴m＝1. 四、探究與拓展 14．設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，則函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可能是(　　)

33、 考點　函數(shù)極值的綜合應(yīng)用 題點　函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用 答案　C 解析　由題意可得f′(－2)＝0，而且當(dāng)x∈(－∞，－2)時，f′(x)<0，此時xf′(x)>0；排除B，D， 當(dāng)x∈(－2，＋∞)時，f′(x)>0，此時若x∈(－2,0)，xf′(x)<0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)>0， 所以函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可能是C. 15．已知函數(shù)f(x)＝(x2＋ax＋a)ex(a≤2，x∈R)． (1)當(dāng)a＝1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)是否存在實數(shù)a，使f(x)的極大值為3？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由． 考點　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

34、的極值 題點　已知極值(點)求參數(shù) 解　(1)f(x)＝(x2＋x＋1)ex， f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex. 當(dāng)f′(x)>0時，解得x<－2或x>－1， 當(dāng)f′(x)<0時，解得－2－2. 當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－2) －2 (－2，－a) －a (－a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 由表可知，f(x)極大值＝f(－2)＝(4－2a＋a)e－2＝3， 解得a＝4－3e2<2， 所以存在實數(shù)a<2，使f(x)的極大值為3， 此時a＝4－3e2. 17