13.2函數(shù)的極值與導數(shù)(一)學習目標1.了解函數(shù)極值的概念，會從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導數(shù)的關系.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法.3.掌握函數(shù)在某一點取得極值的條件知識點一函數(shù)的極值點和極值思考觀察函數(shù)yf(x)的圖象，指出其極大值點和極小值點及極值答案極大值點為e，g，i，極大值為f(e)，f(g)，f(i)；極小值點為d，f，h，極小值為f(d)，f(f)，f(h)梳理(1)極小值點與極小值若函數(shù)yf(x)在點xa的函數(shù)值f(a)比它在點xa附近其他點的函數(shù)值都小，f(a)0，而且在點xa附近的左側f(x)<0，右側f(x)>0，就把點a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值(2)極大值點與極大值若函數(shù)yf(x)在點xb的函數(shù)值f(b)比它在點xb附近其他點的函數(shù)值都大，f(b)0，而且在點xb附近的左側f(x)>0，右側f(x)<0，就把點b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值(3)極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值知識點二函數(shù)極值的求法與步驟(1)求函數(shù)yf(x)的極值的方法解方程f(x)0，當f(x0)0時，如果在x0附近的左側函數(shù)單調(diào)遞增，即f(x)>0，在x0的右側函數(shù)單調(diào)遞減，即f(x)<0，那么f(x0)是極大值；如果在x0附近的左側函數(shù)單調(diào)遞減，即f(x)<0，在x0的右側函數(shù)單調(diào)遞增，即f(x)>0，那么f(x0)是極小值(2)求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f(x)；求方程f(x)0的根；列表；利用f(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點左右兩側單調(diào)性的變化情況求極值1導數(shù)為0的點一定是極值點(×)2函數(shù)的極大值一定大于極小值(×)3函數(shù)yf(x)一定有極大值和極小值(×)4極值點處的導數(shù)一定為0.(×)類型一求函數(shù)的極值點和極值例1求下列函數(shù)的極值(1)f(x)2；(2)f(x).考點函數(shù)在某點處取得極值的條件題點不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題解(1)函數(shù)f(x)的定義域為R.f(x).令f(x)0，得x1或x1.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)極小值極大值由上表可以看出，當x1時，函數(shù)有極小值，且極小值為f(1)3；當x1時，函數(shù)有極大值，且極大值為f(1)1.(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，且f(x).令f(x)0，解得xe.當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)極大值因此，xe是函數(shù)的極大值點，極大值為f(e)，沒有極小值反思與感悟函數(shù)極值和極值點的求解步驟(1)確定函數(shù)的定義域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并列成表格(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況特別提醒：當實數(shù)根較多時，要充分利用表格，使極值點的確定一目了然跟蹤訓練1求下列函數(shù)的極值點和極值(1)f(x)x3x23x3；(2)f(x)x2ex.考點函數(shù)在某點處取得極值的條件題點不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題解(1)f(x)x22x3.令f(x)0，得x11，x23，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)極大值極小值由上表可以看出，當x1時，函數(shù)有極大值，且極大值f(1)，當x3時，函數(shù)有極小值，且極小值f(3)6.(2)函數(shù)f(x)的定義域為R.f(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x0或x2.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)極小值極大值由上表可以看出，當x0時，函數(shù)有極小值，且極小值為f(0)0.當x2時，函數(shù)有極大值，且極大值為f(2)4e2.例2已知函數(shù)f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，當實數(shù)a時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值考點函數(shù)在某點處取得極值的條件題點含參數(shù)求極值問題解f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2，由a知2aa2.分以下兩種情況討論：若a>，則2a<a2.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)在(，2a)，(a2，)上是增函數(shù)，在(2a，a2)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在x2a處取得極大值f(2a)，且f(2a)3ae2a，函數(shù)f(x)在xa2處取得極小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.若a<，則2a>a2.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)在(，a2)，(2a，)上是增函數(shù)，在(a2，2a)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在xa2處取得極大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2，函數(shù)f(x)在x2a處取得極小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.反思與感悟討論參數(shù)應從f(x)0的兩根x1，x2相等與否入手進行跟蹤訓練2已知函數(shù)f(x)xaln x(aR)(1)當a2時，求曲線yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值考點函數(shù)在某點處取得極值的條件題點含參數(shù)求極值問題解函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)1.(1)當a2時，f(x)x2ln x，f(x)1(x>0)，因而f(1)1，f(1)1.所以曲線yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程為y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x>0，知當a0時，f(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；當a>0時，由f(x)0，解得xa.又當x(0，a)時，f(x)<0，當x(a，)時，f(x)>0，從而函數(shù)f(x)在xa處取得極小值，且極小值為f(a)aaln a，無極大值綜上，當a0時，函數(shù)f(x)無極值；當a>0時，函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a，無極大值類型二利用函數(shù)的極值求參數(shù)例3(1)已知函數(shù)f(x)的導數(shù)f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa處取到極大值，則a的取值范圍是()A(，1) B(0，)C(0,1) D(1,0)(2)已知函數(shù)f(x)x33ax2bxa2在x1時有極值0，則a_，b_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值點求參數(shù)答案(1)D(2)29解析(1)若a<1，因為f(x)a(x1)(xa)，所以f(x)在(，a)上單調(diào)遞減，在(a，1)上單調(diào)遞增，所以f(x)在xa處取得極小值，與題意不符；若1<a<0，則f(x)在(1，a)上單調(diào)遞增，在(a，)上單調(diào)遞減，從而在xa處取得極大值若a>0，則f(x)在(1，a)上單調(diào)遞減，在(a，)上單調(diào)遞增，與題意不符，故選D.(2)因為f(x)在x1時有極值0，且f(x)3x26axb，所以即解得或當a1，b3時，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去當a2，b9時，f(x)3x212x93(x1)(x3)當x(3，1)時，f(x)為減函數(shù)，當x(1，)時，f(x)為增函數(shù)，所以f(x)在x1處取得極小值，因此a2，b9.反思與感悟已知函數(shù)的極值求參數(shù)時應注意兩點(1)待定系數(shù)法：常根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值兩個條件列出方程組，用待定系數(shù)法求解(2)驗證：因為導數(shù)值為0不一定此點就是極值點，故利用上述方程組解出的解必須驗證跟蹤訓練3設x1與x2是函數(shù)f(x)aln xbx2x的兩個極值點(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)判斷x1，x2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由考點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值點求參數(shù)解(1)f(x)aln xbx2x，f(x)2bx1，f(1)f(2)0，a2b10且4b10，解得a，b.(2)由(1)可知f(x)ln xx2x，且定義域是(0，)，f(x)x1x1.當x(0,1)時，f(x)<0；當x(1,2)時，f(x)>0；當x(2，)時，f(x)<0.故x1是函數(shù)f(x)的極小值點，x2是函數(shù)f(x)的極大值點.1.函數(shù)f(x)的定義域為R，它的導函數(shù)yf(x)的部分圖象如圖所示，則下面結論錯誤的是()A在(1,2)上函數(shù)f(x)為增函數(shù)B在(3,4)上函數(shù)f(x)為減函數(shù)C在(1,3)上函數(shù)f(x)有極大值Dx3是函數(shù)f(x)在區(qū)間1,5上的極小值點考點函數(shù)極值的綜合應用題點函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應用答案D解析根據(jù)導函數(shù)圖象知，x(1,2)時，f(x)>0，x(2,4)時，f(x)<0，x(4,5)時，f(x)>0.f(x)在(1,2)，(4,5)上為增函數(shù)，在(2,4)上為減函數(shù)，x2是f(x)在1,5上的極大值點，x4是極小值點故選D.2設函數(shù)f(x)ln x，則()Ax為f(x)的極大值點Bx為f(x)的極小值點Cx2為f(x)的極大值點Dx2為f(x)的極小值點考點函數(shù)在某點處取得極值的條件題點不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答案D解析函數(shù)f(x)ln x的定義域為(0，)f(x)，令f(x)0，即0得，x2，當x(0,2)時，f(x)<0，當x(2，)時，f(x)>0.因為x2為f(x)的極小值點，故選D.3函數(shù)f(x)ax1ln x(a0)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)為_考點函數(shù)在某點處取得極值的條件題點判斷極值點的個數(shù)答案0解析因為x>0，f(x)a，所以當a0時，f(x)<0在(0，)上恒成立，所以函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(0，)上沒有極值點4已知曲線f(x)x3ax2bx1在點(1，f(1)處的切線斜率為3，且x是yf(x)的極值點，則ab_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值(點)求參數(shù)答案2解析f(x)3x22axb，由題意知即解得則ab2.5已知函數(shù)f(x)ax2bln x在x1處有極值.(1)求a，b的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)區(qū)間，并求極值考點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值(點)求參數(shù)解(1)f(x)2ax，由題意得即a，b1.(2)由(1)得，f(x)x.又f(x)的定義域為(0，)，令f(x)0，解得x1.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)極小值f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)f(x)極小值f(1).1求函數(shù)極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導數(shù)f(x)；(3)解方程f(x)0得方程的根；(4)利用方程f(x)0的根將定義域分成若干個小開區(qū)間，列表，判定導函數(shù)在各個小開區(qū)間的符號；(5)確定函數(shù)的極值，如果f(x)的符號在x0處由正(負)變負(正)，則f(x)在x0處取得極大(小)值2已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，注意兩點(1)根據(jù)極值點的導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；(2)因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證充分性一、選擇題1下列函數(shù)中存在極值的是()Ay ByxexCy2 Dyx3考點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值題點極值存在性問題答案B解析對于yxex，y1ex，令y0，得x0.在區(qū)間(，0)上，y>0；在區(qū)間(0，)上，y<0.故x0為函數(shù)yxex的極大值點2函數(shù)f(x)ln xx在區(qū)間(0，e)上的極大值為()Ae B1eC1 D0考點函數(shù)在某點處取得極值的條件題點不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答案C解析f(x)的定義域為(0，)，f(x)1.令f(x)0，得x1.當x(0,1)時，f(x)>0，當x(1，e)時，f(x)<0，故f(x)在x1處取得極大值f(1)ln 11011.3已知函數(shù)f(x)2x3ax236x24在x2處有極值，則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間是()A(2,3) B(3，)C(2，) D(，3)考點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值(點)求參數(shù)答案B解析因為f(x)6x22ax36，且在x2處有極值，所以f(2)0，即244a360，解得a15，所以f(x)6x230x366(x2)(x3)，由f(x)>0，得x<2或x>3.4設三次函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x)，函數(shù)yxf(x)的圖象的一部分如圖所示，則()Af(x)極大值為f()，極小值為f()Bf(x)極大值為f()，極小值為f()Cf(x)極大值為f(3)，極小值為f(3)Df(x)極大值為f(3)，極小值為f(3)考點函數(shù)極值的綜合應用題點函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應用答案D解析當x<3時，yxf(x)>0，即f(x)<0；當3<x<3時，f(x)0；當x>3時，f(x)<0.f(x)的極大值是f(3)，f(x)的極小值是f(3)5已知函數(shù)f(x)x3px2qx的圖象與x軸切于點(1,0)，則f(x)的()A極大值為，極小值為0B極大值為0，極小值為C極小值為，極大值為0D極大值為，極小值為0考點函數(shù)某點處取得極值的條件題點不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答案A解析f(x)3x22pxq.由函數(shù)f(x)的圖象與x軸切于點(1,0)，得pq1，q1p，32pq0，聯(lián)立，解得p2，q1，函數(shù)f(x)x32x2x，則f(x)3x24x1，令f(x)0得x1或x.當x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當<x<1時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當x1時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)極大值f ，f(x)極小值f(1)0.故選A.6設a<b，函數(shù)y(xa)2(xb)的圖象可能是()考點函數(shù)極值的綜合應用題點函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應用答案C解析y(xa)(3xa2b)，由y0得x1a，x2.當xa時，y取得極大值0，當x時，y取得極小值且極小值為負，故選C.7已知函數(shù)f(x)ex(sin xcos x)，x(0,2 017)，則函數(shù)f(x)的極大值之和為()A. B.C. D.考點函數(shù)某點處取得極值的條件題點不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答案B解析f(x)2exsin x，令f(x)0得sin x0，xk，kZ，當2k<x<2k時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(2k1)<x<2k時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當x(2k1)時，f(x)取到極大值，x(0,2 017)，0<(2k1)<2 017，0k<1 008，kZ.f(x)的極大值之和為Sf()f(3)f(5)f(2 015)ee3e5e2 015，故選B.二、填空題8函數(shù)yxex在其極值點處的切線方程為_考點函數(shù)某點處取得極值的條件題點不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答案y解析令yexxex(1x)ex0，得x1，y，在極值點處的切線方程為y.9若函數(shù)f(x)(x2)(x2c)在x2處有極值，則函數(shù)f(x)的圖象在x1處的切線的斜率為_考點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值(點)求參數(shù)答案5解析函數(shù)f(x)(x2)(x2c)在x2處有極值，f(x)(x2c)(x2)×2x，令f(2)0，(c4)(22)×2×20，c4，f(x)(x24)(x2)×2x.函數(shù)f(x)的圖象在x1處的切線的斜率為f(1)(14)(12)×25.10若x2是函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1的極值點，則f(x)的極小值為_考點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值(點)求參數(shù)答案1解析函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1，則f(x)(2xa)ex1(x2ax1)·ex1ex1·x2(a2)xa1由x2是函數(shù)f(x)的極值點，得f(2)e3·(42a4a1)(a1)e30，所以a1.所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1·(x2x2)由ex1>0恒成立，得當x2或x1時，f(x)0，且x<2時，f(x)>0；當2<x<1時，f(x)<0；當x>1時，f(x)>0.所以x1是函數(shù)f(x)的極小值點所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)1.11已知函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處取得極值10，則f(1)_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值(點)求參數(shù)答案30解析由題意知即解得或經(jīng)檢驗知，當時，f(x)0，不合題意f(x)x34x211x16，則f(1)30.三、解答題12設函數(shù)f(x)aln xx1，其中aR，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于y軸(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值考點函數(shù)在某點處取得極值的條件題點不含參數(shù)函數(shù)求極值解(1)f(x).由題意知，曲線在x1處的切線斜率為0，即f(1)0，從而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x>0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(舍去)當x(0,1)時，f(x)<0，故f(x)在(0,1)上為單調(diào)遞減函數(shù)；當x(1，)時，f(x)>0，故f(x)在(1，)上為單調(diào)遞增函數(shù)故f(x)在x1處取得極小值，極小值為f(1)3.13已知函數(shù)f(x)x3mx22m2x4(m為常數(shù)，且m>0)有極大值，求m的值考點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值(點)求參數(shù)解f(x)3x2mx2m2(xm)(3x2m)，令f(x)0，得xm或xm.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，m)mmf(x)00f(x)極大值極小值f(x)有極大值f(m)m3m32m34，m1.四、探究與拓展14設函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f(x)，且函數(shù)f(x)在x2處取得極小值，則函數(shù)yxf(x)的圖象可能是()考點函數(shù)極值的綜合應用題點函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應用答案C解析由題意可得f(2)0，而且當x(，2)時，f(x)<0，此時xf(x)>0；排除B，D，當x(2，)時，f(x)>0，此時若x(2,0)，xf(x)<0，若x(0，)，xf(x)>0，所以函數(shù)yxf(x)的圖象可能是C.15已知函數(shù)f(x)(x2axa)ex(a2，xR)(1)當a1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實數(shù)a，使f(x)的極大值為3？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由考點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值(點)求參數(shù)解(1)f(x)(x2x1)ex，f(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x23x2)ex.當f(x)>0時，解得x<2或x>1，當f(x)<0時，解得2<x<1，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，2)，(1，)；單調(diào)遞減區(qū)間為(2，1)(2)令f(x)(2xa)ex(x2axa)exx2(2a)x2aex(xa)(x2)ex0，得xa或x2.當a2時，f(x)0恒成立，函數(shù)無極值，故舍去；當a<2時，a>2.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2，a)a(a，)f(x)00f(x)極大值極小值由表可知，f(x)極大值f(2)(42aa)e23，解得a43e2<2，所以存在實數(shù)a<2，使f(x)的極大值為3，此時a43e2.17