§2.3數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題知識點數(shù)學(xué)歸納法對于一個與正整數(shù)有關(guān)的等式n(n1)(n2)(n50)0.思考1驗證當(dāng)n1，n2，n50時等式成立嗎？答案成立思考2能否通過以上等式歸納出當(dāng)n51時等式也成立？為什么？答案不能，上面的等式只對n取1至50的正整數(shù)成立梳理(1)數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0N*)時命題成立；(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當(dāng)nk1時命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法(2)數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示1與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法(×)2數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值一定為1.(×)3數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺一不可()類型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×42×73×10n(3n1)n(n1)2，其中nN*.考點用數(shù)學(xué)歸納法證明等式題點利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式證明(1)當(dāng)n1時，左邊1×44，右邊1×224，左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時等式成立，即1×42×73×10k(3k1)k(k1)2，那么當(dāng)nk1時，1×42×73×10k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即當(dāng)nk1時等式也成立根據(jù)(1)和(2)可知等式對任何nN*都成立反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時，一是弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況；二是弄清從nk到nk1等式兩端增加了哪些項，減少了哪些項；三是證明nk1時結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝nk1證明目標(biāo)的表達式變形跟蹤訓(xùn)練1求證：1(nN*)考點用數(shù)學(xué)歸納法證明等式題點利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式證明(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊，左邊右邊(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時等式成立，即1，則當(dāng)nk1時，.即當(dāng)nk1時，等式也成立綜合(1)，(2)可知，對一切nN*，等式成立類型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2求證：>(n2，nN*)考點用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式題點利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式證明(1)當(dāng)n2時，左邊，故左邊>右邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時，命題成立，即>，則當(dāng)nk1時，>.(*)方法一(分析法)下面證(*)式，即0，只需證(3k2)(3k3)(3k1)(3k3)(3k1)(3k2)3(3k1)(3k2)0，只需證(9k215k6)(9k212k3)(9k29k2)(27k227k6)0，只需證9k50，顯然成立所以當(dāng)nk1時，不等式也成立方法二(放縮法)(*)式>，所以當(dāng)nk1時，不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式對一切n2，nN*均成立引申探究把本例改為求證：>(nN*)證明(1)當(dāng)n1時，左邊>，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時，不等式成立，即>，則當(dāng)nk1時，>，>0，>>，當(dāng)nk1時，不等式成立由(1)(2)知對于任意正整數(shù)n，不等式成立反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個關(guān)鍵(1)驗證第一個n的值時，要注意n0不一定為1，若n>k(k為正整數(shù))，則n0k1.(2)證明不等式的第二步中，從nk到nk1的推導(dǎo)過程中，一定要用到歸納假設(shè)，不應(yīng)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法，因為缺少歸納假設(shè)(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小，對第二類形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個n值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk時成立得nk1時成立，主要方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等跟蹤訓(xùn)練2在數(shù)列an中，已知a1a(a>2)，an1(nN*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an>2(nN*)考點用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式題點利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式證明當(dāng)n1時，a1a>2，命題成立；假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時，命題成立，即ak>2，則當(dāng)nk1時，ak122>0，當(dāng)nk1時，命題也成立由得，對任意正整數(shù)n，都有an>2.類型三歸納猜想證明例3已知數(shù)列an滿足關(guān)系式a1a(a>0)，an(n2，nN*)，(1)用a表示a2，a3，a4；(2)猜想an的表達式(用a和n表示)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明考點數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題題點利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列通項問題解(1)a2，a3，a4.(2)因為a1a，a2，猜想an.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時，因為a1a，所以當(dāng)n1時猜想成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時猜想成立，即ak，所以當(dāng)nk1時，ak1，所以當(dāng)nk1時猜想也成立根據(jù)與可知猜想對一切nN*都成立反思與感悟“歸納猜想證明”的一般步驟跟蹤訓(xùn)練3考察下列各式22×13×44×1×34×5×68×1×3×55×6×7×816×1×3×5×7你能做出什么一般性的猜想？能證明你的猜想嗎？考點用數(shù)學(xué)歸納法證明等式題點等式中的歸納，猜想、證明解由題意得，22×1,3×44×1×3,4×5×68×1×3×5,5×6×7×816×1×3×5×7，猜想：(n1)(n2)(n3)2n2n·1·3·5··(2n1)，下面利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明(1)當(dāng)n1時，猜想顯然成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時，猜想成立，即(k1)(k2)(k3)2k2k·1·3·5··(2k1)，那么當(dāng)nk1時，(k11)(k12)(k13)··2(k1)(k1)(k2)··2k·(2k1)·22k·1·3·5··(2k1)(2k1)·22k1·1·3·5··(2k1)2k1·1·3·5··2(k1)1所以當(dāng)nk1時猜想成立根據(jù)(1)(2)可知對任意正整數(shù)猜想均成立.1已知f(n)1(nN*)，計算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，由此推算：當(dāng)n2時，有()Af(2n)>(nN*)Bf(2n)>(nN*)Cf(2n)>(nN*)Df(2n)>(nN*)考點利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式題點不等式中的歸納、猜想、證明答案D解析f(4)>2改寫成f(22)>；f(8)>改寫成f(23)>；f(16)>3改寫成f(24)>；f(32)>改寫成f(25)>，由此可歸納得出：當(dāng)n2時，f(2n)>(nN*)2用數(shù)學(xué)歸納法證明“1aa2a2n1(a1)”在驗證n1時，左端計算所得項為()A1a B1aa2C1aa2a3 D1aa2a3a4考點數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點數(shù)學(xué)歸納法第一步：歸納奠基答案C解析將n1代入a2n1得a3，故選C.3若命題A(n)(nN*)在nk(kN*)時成立，則有nk1時命題成立現(xiàn)知命題對nn0(n0N*)時成立，則有()A命題對所有正整數(shù)都成立B命題對小于n0的正整數(shù)不成立，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立C命題對小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立D以上說法都不正確考點數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推答案C解析由已知，得nn0(n0N*)時命題成立，則nn01時命題成立，在nn01時命題成立的前提下，又可推得，n(n01)1時命題也成立，依此類推，可知選C.4用數(shù)學(xué)歸納法證明12222n12n1(nN*)的過程如下：(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊2111，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時等式成立，即12222k12k1，則當(dāng)nk1時，12222k12k2k11.所以當(dāng)nk1時，等式也成立由此可知對于任何nN*，等式都成立上述證明，錯誤是_考點數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推答案未用歸納假設(shè)解析本題在由nk成立證明nk1成立時，應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式，而未用上歸納假設(shè)，這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符5用數(shù)學(xué)歸納法證明：(nN*)考點用數(shù)學(xué)歸納法證明等式題點利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式證明當(dāng)n1時，左邊，右邊，左邊右邊，等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時，等式成立即，當(dāng)nk1時，左邊，右邊，左邊右邊，等式成立即對所有nN*，原式都成立在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證題時應(yīng)注意以下幾點：(1)驗證是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗證的初始值不一定是1.(2)遞推是關(guān)鍵：正確分析由nk到nk1時式子項數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障；(3)利用假設(shè)是核心：在第二步證明中一定要利用歸納假設(shè)，這是數(shù)學(xué)歸納法的核心環(huán)節(jié)，否則這樣的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法證明.一、選擇題1在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n3)條時，第一步應(yīng)驗證n等于()A1 B2C3 D4考點數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點數(shù)學(xué)歸納法第一步：歸納奠基答案C解析由凸多邊形的性質(zhì)，應(yīng)先驗證三角形，故選C.2某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)nk(kN*)時，該命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時，該命題也成立現(xiàn)在已知當(dāng)n5時，該命題成立，那么可推導(dǎo)出()A當(dāng)n6時命題不成立B當(dāng)n6時命題成立C當(dāng)n4時命題不成立D當(dāng)n4時命題成立考點數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點數(shù)學(xué)歸納第二步：歸納遞推答案B3設(shè)Sk，則Sk1為()ASk BSkCSk DSk考點數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推答案C解析因式子右邊各分數(shù)的分母是連續(xù)正整數(shù)，則由Sk，得Sk1.由，得Sk1Sk.故Sk1Sk.4一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題中，當(dāng)n2時命題成立，且由nk時命題成立，可以推得nk2時命題也成立，則()A該命題對于n>2的自然數(shù)n都成立B該命題對于所有的正偶數(shù)都成立C該命題何時成立與k取值無關(guān)D以上答案都不對考點數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推答案B解析由nk時命題成立，可以推出nk2時命題也成立，且使命題成立的第一個正偶數(shù)n02.故對所有的正偶數(shù)都成立5設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命題總成立的是()A若f(3)9成立，則當(dāng)k1時，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，則當(dāng)k5時，均有f(k)k2成立C若f(7)<49成立，則當(dāng)k8時，均有f(k)<k2成立D若f(4)25成立，則當(dāng)k4時，均有f(k)k2成立考點數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點數(shù)學(xué)歸納法的定義答案D解析對于D，f(4)2542，當(dāng)k4時，均有f(k)k2.6在數(shù)列an中，a12，an1(nN*)，依次計算a2，a3，a4，歸納推測出an的通項表達式為()A. B.C. D.考點數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題題點利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列通項問題答案B解析結(jié)合題意，得a12，a2，a3，a4，可推測an，故選B.7用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n1)(n2)(nn)2n·1·3··(2n1)(nN*)的過程中，從nk到nk1左端需要增乘的代數(shù)式為()A2k1 B.C2(2k1) D.考點數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點數(shù)學(xué)歸納法的第二步：歸納遞推答案C解析當(dāng)nk1時，左端為(k2)(k3)(k1)(k1)·(k1)k·(2k2)(k1)(k2)(kk)(2k1)·2，應(yīng)增乘2(2k1)二、填空題8用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于足夠大的自然數(shù)n，總有2n>n3”時，驗證第一步不等式成立所取的第一個值n0最小應(yīng)當(dāng)是_考點數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點數(shù)學(xué)歸納法第一步：歸納奠基答案109證明：假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時等式成立，即242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即當(dāng)nk1時等式也成立因此對于任何nN*等式都成立以上用數(shù)學(xué)歸納法證明“242nn2n(nN*)”的過程中的錯誤為_考點數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推答案缺少步驟歸納奠基10已知f(n)1，nN*，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>時，f(2n1)f(2n)_.考點數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推答案三、解答題11用數(shù)學(xué)歸納法證明··(n2，nN*)考點用數(shù)學(xué)歸納法證明等式題點利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式證明(1)當(dāng)n2時，左邊1，右邊，所以左邊右邊，所以當(dāng)n2時等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時等式成立，即··，那么當(dāng)nk1時，···，即當(dāng)nk1時，等式成立綜合(1)(2)知，對任意n2，nN*，等式恒成立12用數(shù)學(xué)歸納法證明：<1(n2，nN*)考點用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式題點利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式證明(1)當(dāng)n2時，左式，右式1.因為<，所以不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時，不等式成立，即<1，則當(dāng)nk1時，<111<11，所以當(dāng)nk1時，不等式也成立綜上所述，對任意n2的正整數(shù)，不等式都成立四、探究與拓展13用數(shù)學(xué)歸納法證明“34n152n2(nN*)能被14整除”時，當(dāng)nk1時，34(k1)152(k1)2應(yīng)變形為_考點數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推答案34×(34k152k2)52k2×14×4解析34(k1)152(k1)234×34k152×52k234×34k134×52k252×52k234×52k234×(34k152k2)52k2×(3452)34×(34k152k2)52k2×14×4.14已知數(shù)列an的前n項和Sn1nan(nN*)(1)計算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論考點數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題題點利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列通項問題解(1)計算得a1；a2；a3；a4.(2)猜想：an.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時，猜想顯然成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時，猜想成立，即ak，那么，當(dāng)nk1時，Sk11(k1)ak1，即Skak11(k1)ak1.又Sk1kak，所以ak11(k1)ak1，從而ak1，即nk1時，猜想也成立故由和可知猜想成立16