第8講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例1實(shí)際問題中的常用述語(1)仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖)(2)方位角從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的角(如圖，B點(diǎn)的方位角為)(3)方向角相對(duì)于某一正方向的角(如圖)北偏東：指從正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向東北方向：指北偏東45°.其他方向角類似2解三角形應(yīng)用題的一般步驟疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)東北方向就是北偏東45°的方向()(2)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180°.()(3)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.()(4)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系()(5)方位角大小的范圍是0，2)，方向角大小的范圍一般是0，)()答案：(1)(2)×(3)×(4)(5)教材衍化1(必修5P11例1改編)如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，則可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為_m.解析：由正弦定理得，又因?yàn)锽30°，所以AB50(m)答案：502(必修5P13例3改編)如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走a米到B，在B處測得山頂P的仰角為60°，則山高h(yuǎn)_米解析：由題圖可得PAQ30°，BAQ15°，PAB中，PAB15°，又PBC60°，所以BPA(90°)(90°)30°，所以，所以PBa，所以PQPCCQPB·sin asin a×sin 60°asin 15°a.答案：a易錯(cuò)糾偏(1)方向角與方位角概念不清；(2)仰角、俯角概念不清；(3)不能將空間問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題1.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°的方向上，燈塔B在觀察站C的南偏東40°的方向上，則燈塔A相對(duì)于燈塔B的方向?yàn)?)A北偏西5° B北偏西10°C北偏西15° D北偏西20°解析：選B.易知BA30°，C在B的北偏西40°的方向上，又40°30°10°，故燈塔A相對(duì)于燈塔B的方向?yàn)楸逼?0°.2在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點(diǎn)的仰角是60°，C點(diǎn)的俯角為70°，則BAC_答案：130°3江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，在炮臺(tái)頂部測得兩條船的俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺(tái)底部所連的線成30°角，則兩條船相距_m.解析：由題意畫示意圖，如圖，OMAOtan 45°30(m)，ONAOtan 30°×3010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m)答案：10測量距離 如圖所示，某旅游景點(diǎn)有一座風(fēng)景秀麗的山峰，山上有一條筆直的山路BC和一條索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2個(gè)小時(shí)的時(shí)間進(jìn)行徒步攀登，已知ABC120°，ADC150°，BD1 km，AC3 km.假設(shè)小王和小李徒步攀登的速度為每小時(shí)1 250米，請(qǐng)問：兩位登山愛好者能否在2個(gè)小時(shí)內(nèi)徒步登上山峰？(即從B點(diǎn)出發(fā)到達(dá)C點(diǎn))【解】在ABD中，由題意知，ADBBAD30°，所以ABBD1，因?yàn)锳BD120°，由正弦定理得，解得AD，在ACD中，由AC2AD2CD22AD·CD·cos 150°，得93CD22×CD，即CD23CD60，解得CD，BCBDCD，兩個(gè)小時(shí)小王和小李可徒步攀登1 250×22 500米，即2.5千米，而<2.5，所以兩位登山愛好者可以在兩個(gè)小時(shí)內(nèi)徒步登上山峰 (變條件、變問法)若本例條件“BD1 km，AC3 km”變?yōu)椤癇D200 m，CD300 m”，其他條件不變，則這條索道AC長為_解析：在ABD中，BD200，ABD120°.因?yàn)锳DB30°，所以DAB30°.由正弦定理，得，所以.所以AD200 (m)在ADC中，DC300 m，ADC150°，所以AC2AD2DC22AD×DC×cosADC(200 )230022×200×300×cos 150°390 000，所以AC100.故這條索道AC長為100 m.答案：100 m距離問題的類型及解法(1)測量距離問題分為三種類型：兩點(diǎn)間不可達(dá)又不可視、兩點(diǎn)間可視但不可達(dá)、兩點(diǎn)都不可達(dá)(2)解法：選擇合適的輔助測量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解 如圖，隔河看兩目標(biāo)A與B，但不能到達(dá)，在岸邊先選取相距千米的C，D兩點(diǎn)，同時(shí)，測得ACB75°，BCD45°，ADC30°，ADB45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A，B之間的距離解：在ACD中，ACD120°，CADADC30°，所以ACCD km.在BCD中，BCD45°，BDC75°，CBD60°.所以BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2()22×××cos 75°325，所以AB km，所以A，B之間的距離為 km.測量高度 如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD_m.【解析】由題意，在ABC中，BAC30°，ABC180°75°105°，故ACB45°.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBC·tan 30°300×100(m)【答案】100求解高度問題的注意事項(xiàng)(1)在測量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角；(2)準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖；(3)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運(yùn)用 (2020·浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考)如圖，為了估測某塔的高度，在同一水平面的A，B兩點(diǎn)處進(jìn)行測量，在點(diǎn)A處測得塔頂C在西偏北20°的方向上，仰角為60°；在點(diǎn)B處測得塔頂C在東偏北40°的方向上，仰角為30°.若A，B兩點(diǎn)相距130 m，則塔的高度CD_m.解析：由題意可知，設(shè)CDh，則AD，BDh，在ADB中，ADB180°20°40°120°，所以由余弦定理AB2BD2AD22BD·AD·cos 120°，可得13023h22·h··，解得h10，故塔的高度為10 m.答案：10測量角度 一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行(22)n mile到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東15°的方向航行4 n mile到達(dá)海島C.(1)求AC的長；(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，求CAB的大小【解】(1)由題意，在ABC中，ABC180°75°15°120°，AB22，BC4，根據(jù)余弦定理得AC2AB2BC22AB×BC×cosABC(22)242(22)×424，所以AC2.(2)根據(jù)正弦定理得，sinBAC，所以CAB45°.解決測量角度問題的注意事項(xiàng)(1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步(3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用 1.甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，相距a海里的B處，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的倍，甲船為了盡快追上乙船，則應(yīng)取北偏東_(填角度)的方向前進(jìn)解析：設(shè)兩船在C處相遇，則由題意ABC180°60°120°，且，由正弦定理得，所以sinBAC.又因?yàn)?°<BAC<60°，所以BAC30°.所以甲船應(yīng)沿北偏東30°的方向前進(jìn)答案：30°2在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14 n mile的速度，沿北偏東45°的方向攔截藍(lán)方的小艇，若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角的正弦值解：如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC14x，BC10x，ABC120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120°，解得x2.故AC28，BC20.根據(jù)正弦定理得，解得sin .所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角的正弦值為.求解幾何計(jì)算問題 (2020·浙江名校聯(lián)考)如圖，在平面四邊形ABCD中，0<DAB<，AD2，AB3，ABD的面積為，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)若BCD，求BC的長【解】(1)因?yàn)锳BD的面積SAD×ABsinDAB×2×3sinDAB，所以sinDAB.又0<DAB<，所以DAB，所以cosDABcos.由余弦定理得BD，由正弦定理得sinABD.(2)法一：因?yàn)锳BBC，所以ABC，sinDBCsincosABD.在BCD中，由正弦定理可得CD.由余弦定理DC2BC22DC·BCcosDCBBD2，可得3BC24BC50，解得BC或BC(舍去)故BC的長為.法二：因?yàn)锳BBC，所以ABC，sinDBCsincosABD.cosDBCcossinABD.sinBDCsin(BCDDBC)sincosDBCsinDBC.在BCD中，由正弦定理，可得BC.求解該題第(2)問時(shí)易出現(xiàn)的問題是不能靈活利用“ABBC”，將已知條件和第(1)問中所求值轉(zhuǎn)化為BCD內(nèi)的邊角關(guān)系解決平面圖形中的計(jì)算問題時(shí)，學(xué)會(huì)對(duì)條件進(jìn)行分類與轉(zhuǎn)化是非常重要的，一般來說，盡可能將條件轉(zhuǎn)化到三角形中，這樣就可以根據(jù)條件類型選用相應(yīng)的定理求解如該題中，把條件轉(zhuǎn)化到BCD中后，利用正弦定理和余弦定理就可以求出BC的長 如圖，在平面四邊形ABCD中，ABC為銳角，ADBD，AC平分BAD，BC2，BD3，BCD的面積S.(1)求CD；(2)求ABC.解：(1)在BCD中，SBD·BC·sinCBD，因?yàn)锽C2，BD3，所以sinCBD.因?yàn)锳BC為銳角，所以CBD30°.在BCD中，由余弦定理得CD2BC2BD22BC·BD·cosCBD(2)2(3)22×2×(3)×9.所以CD3.(2)在BCD中，由正弦定理得，即，解得sinBDC，因?yàn)锽C<BD，所以BDC為銳角，所以cosBDC.在ACD中，由正弦定理得，即.在ABC中，由正弦定理得，即.因?yàn)锳C平分BAD，所以CADBAC.由得，解得sinABC.因?yàn)锳BC為銳角，所以ABC45°.基礎(chǔ)題組練1.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10° B北偏西10°C南偏東80° D南偏西80°解析：選D.由條件及題圖可知，AB40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.2.如圖，在塔底D的正西方A處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，在它的南偏東60°的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，AB的距離是84 m，則塔高CD為()A24 m B12 mC12 m D36 m解析：選C.設(shè)塔高CDx m，則ADx m，DBx m在ABD中，利用余弦定理，得842x2(x)22x2cos 150°，解得x±12(負(fù)值舍去)，故塔高為12 m.3一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°，距燈塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向N處，則該船航行的速度為()A.海里/小時(shí) B34海里/小時(shí)C.海里/小時(shí) D34海里/小時(shí)解析：選C.如圖所示，在PMN中，PM68，PNM45°，PMN15°，MPN120°，由正弦定理，得，所以MN34，所以該船的航行速度為海里/小時(shí)4.如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A30° B45°C60° D75°解析：選B.依題意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0°<CAD<180°，所以CAD45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.5(2020·杭州調(diào)研)據(jù)氣象部門預(yù)報(bào)，在距離某碼頭正西方向400 km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20 km/h的速度向東北方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心300 km以內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，則該碼頭處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為()A9 h B10 hC11 h D12 h解析：選B.記碼頭為點(diǎn)O，熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A，t小時(shí)后熱帶風(fēng)暴到達(dá)B點(diǎn)位置，在OAB中，OA400，AB20t，OAB45°，根據(jù)余弦定理得4002400t22×20t×400×3002，即t220t1750，解得105t105，所以所求時(shí)間為10510510(h)，故選B.6(2020·紹興一中高三期中)以BC為底邊的等腰三角形ABC中，AC邊上的中線長為6，當(dāng)ABC面積最大時(shí)，腰AB長為()A6 B6C4 D4解析：選D.如圖所示，設(shè)D為AC的中點(diǎn)，由余弦定理得cos A，在ABD中，BD2b22×b××，可得2a2b2144，設(shè)BC邊上的高為h，所以Saha a ，所以，當(dāng)a232時(shí)，S有最大值，此時(shí)，b21442a280，解得b4，即腰長AB4.故選D.7如圖，為了測量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B與D互補(bǔ)，則AC的長為_km.解析：由余弦定理得82522×8×5×cos(D)AC232522×3×5×cos D，解得cos D，所以AC7.答案：78(2020·嘉興高三模擬)如圖所示，位于東海某島的雷達(dá)觀測站 A，發(fā)現(xiàn)其北偏東45°，與觀測站A距離20海里的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時(shí)后，又測得該貨船位于觀測站A東偏北(0°<<45°)的C處，且cos .已知A、C兩處的距離為10海里，則該貨船的船速為_海里/小時(shí)解析：因?yàn)閏os ，0°<<45°，所以sin ，cos(45°)××，在ABC中，BC28001002×20×10×340，所以BC2，所以該貨船的船速為4海里/小時(shí)答案：49在距離塔底分別為80 m，160 m，240 m的同一水平面上的A，B，C處，依次測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為，.若90°，則塔高為_解析：設(shè)塔高為h m依題意得，tan ，tan ，tan .因?yàn)?0°，所以tan()tan tan(90°)tan 1，所以·tan 1，所以·1，解得h80，所以塔高為80 m.答案：80 m10如圖，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn)從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角MAN60°，C點(diǎn)的仰角CAB45°以及MAC75°；從C點(diǎn)測得MCA60°.已知山高BC100 m，則山高M(jìn)N_m.解析：根據(jù)題圖，AC100 m.在MAC中，CMA180°75°60°45°.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60°，所以MN100×150(m)答案：15011(2020·杭州市七校高三聯(lián)考)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，成等差數(shù)列(1)求角A的值；(2)若a，bc5，求ABC的面積解：(1)因?yàn)?，成等差?shù)列，所以，整理可得，所以sin Acos B2sin Ccos Asin Bcos A，即2sin Ccos Asin(AB)sin C，解得cos A，所以A.(2)因?yàn)閍，bc5，所以由余弦定理可得a210b2c22bccos A(bc)23bc，可解得bc5，所以SABCbcsin A×5×.12如圖，平面四邊形ABDC中，CADBAD30°.(1)若ABC75°，AB10，且ACBD，求CD的長；(2)若BC10，求ACAB的取值范圍解：(1)由已知，易得ACB45°，在ABC中，BC5.因?yàn)锳CBD，所以ADBCAD30°，CBDACB45°，在ABD中，ADB30°BAD，所以DBAB10.在BCD中，CD5.(2)ACAB>BC10，cos 60°(ABAC)21003AB·AC，而AB·AC，所以，解得ABAC20，故ABAC的取值范圍為(10，20綜合題組練1.A，B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°、B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間為()A1小時(shí) B2小時(shí)C(1)小時(shí) D.小時(shí)解析：選A.由題意知AB5(3)海里，DBA90°60°30°，DAB45°，所以ADB105°，在DAB中，由正弦定理得，所以DB10(海里)，又DBCDBAABC30°(90°60°)60°，BC20海里，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BD·BC·cos DBC3001 2002×10×20×900，所以CD30(海里)，則需要的時(shí)間t1(小時(shí))2.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD. 已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑的長度為()A50 米 B50 米C50米 D50 米解析：選B.設(shè)該扇形的半徑為r米，連接CO.由題意，得CD150(米)，OD100(米)，CDO60°，在CDO中，CD2OD22CD·OD·cos 60°OC2，即150210022×150×100×r2，解得r50 .3(2020·瑞安四校聯(lián)考)在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且acos Bbcos Ac，當(dāng)tan(AB)取最大值時(shí)，角B的值為_解析：由acos Bbcos Ac及正弦定理，得sin Acos Bsin Bcos Asin Csin(AB)(sin Acos Bcos Asin B)，整理得sin Acos B3cos Asin B，即tan A3tan B，易得tan A0，tan B0，所以tan(AB)，當(dāng)且僅當(dāng)3tan B，即tan B時(shí)，tan(AB)取得最大值，所以B.答案：4如圖，在四邊形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60°，BCD135°，則BC的長為_解析：在ABD中，設(shè)BDx，則BA2BD2AD22BD·AD·cosBDA，即142x21022·10x·cos 60°，整理得x210x960，解得x116，x26(舍去)在BCD中，由正弦定理：，所以BC·sin 30°8.答案：85.為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣象儀器，這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行氣象觀測如圖所示，A，B，C三地位于同一水平面上，這種儀器在C地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn)，觀測點(diǎn)A，B兩地相距100米，BAC60°，在A地聽到彈射聲音的時(shí)間比B地晚秒在A地測得該儀器至最高點(diǎn)H處的仰角為30°.(已知聲音的傳播速度為340米/秒)(1)求A，C兩地的距離；(2)求這種儀器的垂直彈射高度HC.解：(1)設(shè)BCx，由條件可知ACx×340x40，在ABC中，BC2AB2AC22AB×ACcos BAC，即x21002(40x)22×100×(40x)×，解得x380，所以AC38040420米，故A，C兩地的距離為420米(2)在ACH中，AC420，HAC30°，AHC90°30°60°，由正弦定理，可得，即，所以HC140，故這種儀器的垂直彈射高度為140米6某港灣的平面示意圖如圖所示，O，A，B分別是海岸線l1，l2上的三個(gè)集鎮(zhèn)，A位于O的正南方向6 km處，B位于O的北偏東60°方向10 km處(1)求集鎮(zhèn)A，B間的距離；(2)隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，為緩解集鎮(zhèn)O的交通壓力，擬在海岸線l1，l2上分別修建碼頭M，N，開辟水上航線勘測時(shí)發(fā)現(xiàn)：以O(shè)為圓心，3 km為半徑的扇形區(qū)域?yàn)闇\水區(qū)，不適宜船只航行請(qǐng)確定碼頭M，N的位置，使得M，N之間的直線航線最短解：(1)在ABO中，OA6，OB10，AOB120°，根據(jù)余弦定理得AB2OA2OB22·OA·OB·cos 120°621022×6×10×196，所以AB14.故集鎮(zhèn)A，B間的距離為14 km.(2)依題意得，直線MN必與圓O相切設(shè)切點(diǎn)為C，連接OC(圖略)，則OCMN.設(shè)OMx，ONy，MNc，在OMN中，由MN·OCOM·ON·sin 120°，得×3cxysin 120°，即xy2c，由余弦定理，得c2x2y22xycos 120°x2y2xy3xy，所以c26c，解得c6，當(dāng)且僅當(dāng)xy6時(shí)，c取得最小值6.所以碼頭M，N與集鎮(zhèn)O的距離均為6 km時(shí)，M，N之間的直線航線最短，最短距離為6 km.18