第1節(jié)坐標(biāo)系最新考綱1.了解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況；2.了解極坐標(biāo)的基本概念，會在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；3.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形表示的極坐標(biāo)方程.知 識 梳 理1.平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換：的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換.2.極坐標(biāo)系與點的極坐標(biāo)(1)極坐標(biāo)系：如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點O(極點)；自極點O引一條射線Ox(極軸)；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)：平面上任一點M的位置可以由線段OM的長度和從Ox到OM的角度來刻畫，這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對(，)稱為點M的極坐標(biāo).其中稱為點M的極徑，稱為點M的極角.3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化點M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(，)互化公式2x2y2tan (x0)4.圓的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點，半徑為r的圓r(02)圓心為(r，0)，半徑為r的圓2rcos_圓心為，半徑為r的圓2rsin_(0)5.直線的極坐標(biāo)方程(1)直線l過極點，且極軸到此直線的角為，則直線l的極坐標(biāo)方程是(R).(2)直線l過點M(a，0)且垂直于極軸，則直線l的極坐標(biāo)方程為cos_a.(3)直線過M 且平行于極軸，則直線l的極坐標(biāo)方程為sin_b.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點與坐標(biāo)也是一一對應(yīng)關(guān)系.()(2)若點P的直角坐標(biāo)為(1，)，則點P的一個極坐標(biāo)是.()(3)在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的.()(4)極坐標(biāo)方程(0)表示的曲線是一條直線.()答案(1)×(2)(3)(4)×2.(選修44P15習(xí)題T3改編)若以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y1x(0x1)的極坐標(biāo)方程為()A.，0B.，0C.cos sin ，0D.cos sin ，0解析y1x(0x1)，sin 1cos (0cos 1)；.答案A3.在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線C的極坐標(biāo)方程為2sin ，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為_.解析由2sin ，得22sin ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0. 答案x2y22y04.(2017·北京卷)在極坐標(biāo)系中，點A在圓22cos 4sin 40上，點P的坐標(biāo)為(1，0)，則|AP|的最小值為_.解析由22cos 4sin 40，得x2y22x4y40，即(x1)2(y2)21，圓心坐標(biāo)為C(1，2)，半徑長為1.點P的坐標(biāo)為(1，0)，點P在圓C外.又點A在圓C上，|AP|min|PC|1211.答案15.已知直線l的極坐標(biāo)方程為2sin，點A的極坐標(biāo)為A，則點A到直線l的距離為_.解析由2sin，得2，yx1.由A，得點A的直角坐標(biāo)為(2，2).點A到直線l的距離d.答案考點一平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換【例1】 求雙曲線C：x21經(jīng)過：變換后所得曲線C的焦點坐標(biāo).解設(shè)曲線C上任意一點P(x，y)，由得代入曲線C：x21，得1，即曲線C的方程為1，因此曲線C的焦點F1(5，0)，F(xiàn)2(5，0).規(guī)律方法1.平面上的曲線yf(x)在變換：的作用下的變換方程的求法是將代入yf(x)，整理得yh(x)為所求.2.解答該類問題應(yīng)明確兩點：一是根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前的點P(x，y)與變換后的點P(x，y)的坐標(biāo)關(guān)系，用方程思想求解.【訓(xùn)練1】 在平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換：(1)求點A經(jīng)過變換所得點A的坐標(biāo)；(2)求直線l：y6x經(jīng)過變換后所得直線l的方程.解(1)設(shè)點A(x，y)，由伸縮變換：得點A的坐標(biāo)為(1，1).(2)設(shè)P(x，y)是直線l上任意一點.由伸縮變換：得代入y6x，得2y6·2x，即yx，yx為所求直線l的方程.考點二極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化【例21】 在極坐標(biāo)系下，已知圓O：cos sin 和直線l：sin.(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)(0，)時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標(biāo).解(1)圓O：cos sin ，即2cos sin ，圓O的直角坐標(biāo)方程為：x2y2xy，即x2y2xy0，直線l：sin，即sin cos 1，則直線l的直角坐標(biāo)方程為：yx1，即xy10.(2)由得故直線l與圓O公共點的一個極坐標(biāo)為.【例22】 (2016·北京卷改編)在極坐標(biāo)系中,已知極坐標(biāo)方程C1：cos -sin 10，C2：2cos .(1)求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀；(2)若曲線C1，C2交于A，B兩點，求兩交點間的距離.解(1)由C1：cos sin 10，xy10，表示一條直線.由C2：2cos ，得22cos .x2y22x，即(x1)2y21.所以C2是圓心為(1，0)，半徑r1的圓.(2)由(1)知，點(1，0)在直線xy10上，所以直線C1過圓C2的圓心.因此兩交點A，B的連線段是圓C2的直徑.所以兩交點A，B間的距離|AB|2r2.規(guī)律方法1.進行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是抓住互化公式；xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x0).2.進行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時，要注意，的取值范圍及其影響；要善于對方程進行合理變形，并重視公式的逆向與變形使用；要靈活運用代入法和平方法等技巧. 【訓(xùn)練2】 (1)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點A的極坐標(biāo)為，直線的極坐標(biāo)方程為cosa，且點A在直線上，求a的值及直線的直角坐標(biāo)方程.(2)把曲線C1：x2y28x10y160化為極坐標(biāo)方程.解(1)點A在直線cosa上，acos，所以直線的方程可化為cos sin 2，從而直線的直角坐標(biāo)方程為xy20.(2)將代入x2y28x10y160，得28cos 10sin 160，所以C1的極坐標(biāo)方程為28cos 10sin 160.考點三曲線極坐標(biāo)方程的應(yīng)用【例31】 (2017·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos 4.(1)設(shè)點M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且|OM|·|OP|16，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為，點B在曲線C2上，求OAB面積的最大值.解(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(，)(>0)，M的極坐標(biāo)為(1，)(1>0).由題設(shè)知|OP|，|OM|1.由|OM|·|OP|16得C2的極坐標(biāo)方程為4cos (>0).因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0).(2)設(shè)點B的極坐標(biāo)為(B，)(B>0).由題設(shè)知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面積S|OA|·B·sinAOB4cos ·22.當(dāng)時，S取得最大值2.所以O(shè)AB面積的最大值為2.【例32】 (2016·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0).在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：4cos .(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為0，其中0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.解(1)消去t，得C1的普通方程x2(y1)2a2，曲線C1表示以點(0，1)為圓心，a為半徑的圓.將xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為22sin 1a20.(2)曲線C1，C2的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組若0，由方程組得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，從而1a20，解得a1(舍去)，a1.當(dāng)a1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上.所以a1.規(guī)律方法1.(1)例31中利用極徑、極角的幾何意義，表示AOB的面積，借助三角函數(shù)的性質(zhì)求最值優(yōu)化了解題過程.(2)例32第(1)題將曲線C1的參數(shù)方程先化成普通方程，再化為極坐標(biāo)方程，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力.第(2)題中關(guān)鍵是理解極坐標(biāo)方程的含義，消去，建立與直線C3：0的聯(lián)系，進而求a.2.由極坐標(biāo)方程求曲線交點、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解.【訓(xùn)練3】 (2018·太原一模)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線C2：x2y22y0.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線l：(0)與曲線C1，C2分別交于點A，B(均異于原點O).(1)求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)0<<時，求|OA|2|OB|2的取值范圍.解(1)C1的普通方程為y21，C1的極坐標(biāo)方程為2cos2 22sin2 20，C2的極坐標(biāo)方程為2sin .(2)聯(lián)立(0)與C1的極坐標(biāo)方程得|OA|2，聯(lián)立(0)與C2的極坐標(biāo)方程得|OB|24sin2，則|OA|2|OB|24sin24(1sin2)4.令t1sin2，則|OA|2|OB|24t4，當(dāng)0<<時，t(1，2).設(shè)f(t)4t4，易得f(t)在(1，2)上單調(diào)遞增，2<|OA|2|OB|2<5，故|OA|2|OB|2的取值范圍是(2，5).基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：50分鐘)1.(2017·天津卷改編)在極坐標(biāo)系中，已知直線4cos10與圓2sin ，試判定直線與圓的位置關(guān)系.解由4cos10得2cos 2sin 10，故直線的直角坐標(biāo)方程為2x2y10.由2sin 得22sin ，故圓的直角坐標(biāo)方程為x2y22y，則x2(y1)21.圓心為(0，1)，半徑為r1.圓心到直線2x2y10的距離d<1，直線與圓相交，有兩個公共點.2.以直角坐標(biāo)系中的原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)過極點O作直線l交曲線于點P，Q，若|OP|3|OQ|，求直線l的極坐標(biāo)方程.解(1)，sin y，化為sin 2，曲線的直角坐標(biāo)方程為x24y4.(2)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為0(R)，根據(jù)題意3·，解得0或0，直線l的極坐標(biāo)方程(R)或(R).3.(2018·衡水模擬)在極坐標(biāo)系中，已知曲線C1：2與C2：cos交于兩點A，B.(1)求兩交點的極坐標(biāo)；(2)求線段AB的垂直平分線l的極坐標(biāo)方程.解(1)C1：2的直角坐標(biāo)方程為x2y24，C2：cos的方程即cos sin 2，化為直角坐標(biāo)方程得xy20.由解得或所以兩交點為(0，2)，(2，0)，化為極坐標(biāo)為，(2，0).(2)易知直線l經(jīng)過點(0，0)及線段AB的中點(1，1)，所以其方程為yx，化為極坐標(biāo)方程得(R).4.(2018·西安調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t0)，其中0.在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2與C3交點的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值.解(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點的直角坐標(biāo)為(0，0)和.(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為(R，0)，其中0.因此A的極坐標(biāo)為(2sin ，)，B的極坐標(biāo)為(2cos ，).所以|AB|2sin 2cos |4.當(dāng)時，|AB|取得最大值，最大值為4.5.在極坐標(biāo)系中，已知直線l的極坐標(biāo)方程為sin 1，圓C的圓心的極坐標(biāo)是C，圓的半徑為1.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)求直線l被圓C所截得的弦長.解(1)設(shè)O為極點，OD為圓C的直徑，A(，)為圓C上的一個動點，則AOD或AOD，|OA|OD|cos或|OA|OD|cos.所以圓C的極坐標(biāo)方程為2cos.(2)由sin1，得(sin cos )1，直線l的直角坐標(biāo)方程為xy0，又圓心C的直角坐標(biāo)為滿足直線l的方程，直線l過圓C的圓心，故直線被圓所截得的弦長為直徑2.能力提升題組(建議用時：30分鐘)6.(2015·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為(R)，設(shè)C2與C3的交點為M，N，求C2MN的面積.解(1)因為xcos ，ysin ，所以C1的極坐標(biāo)方程為cos 2，C2的極坐標(biāo)方程為22cos 4sin 40.(2)將代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半徑為1，則易得C2MN為直角三角形，所以C2MN的面積為S×12.7.(2018·合肥二模)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為4cos .(1)求出圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)已知圓C與x軸相交于A，B兩點，直線l：y2x關(guān)于點M(0，m)(m0)對稱的直線為l.若直線l上存在點P使得APB90°，求實數(shù)m的最大值.解(1)由4cos 得24cos ，故x2y24x0，即圓C的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24.(2)l：y2x關(guān)于點M(0，m)的對稱直線l的方程為y2x2m.依題設(shè)，易知AB為圓C的直徑，故直線l上存在點P使得APB90°的充要條件是直線l與圓C有公共點.因此2，于是，實數(shù)m的最大值為2.8.已知曲線C1：xy和C2：(為參數(shù)).以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.(1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)C1與x，y軸交于M，N兩點，且線段MN的中點為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點，求P，Q兩點間的距離.解(1)曲線C1化為cos sin .sin.曲線C2化為1(*)將xcos ，ysin 代入(*)式得cos2sin21，即2(cos23sin2)6.曲線C2的極坐標(biāo)方程為2.(2)M(，0)，N(0，1)，P，OP的極坐標(biāo)方程為，把代入sin，得11，P.把代入2，得22，Q.|PQ|21|1，即P，Q兩點間的距離為1.12