第一章 導數及其應用章末復習學習目標1.理解導數的幾何意義，并能解決有關切線的問題.2.能熟練應用求導公式及運算法則.3.掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值，并能應用其解決一些實際問題.4.了解定積分的概念及其簡單的應用1導數的概念(1)定義：函數yf(x)在xx0處的瞬時變化率 ，稱為函數yf(x)在xx0處的導數(2)幾何意義：函數yf(x)在xx0處的導數是函數圖象在點(x0，f(x0)處的切線的斜率，表示為f(x0)，其切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)2基本初等函數的導數公式(1)c0.(2)(x)x1.(3)(ax)axln a(a>0)(4)(ex)ex.(5)(logax)(a>0，且a1)(6)(ln x).(7)(sin x)cos x.(8)(cos x)sin x.3導數的運算法則(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)4復合函數的求導法則(1)復合函數記法：yf(g(x)(2)中間變量代換：yf(u)，ug(x)(3)逐層求導法則：yxyu·ux.5函數的單調性、極值與導數(1)函數的單調性與導數在某個區(qū)間(a，b)內，如果f(x)>0，那么函數yf(x)在這個區(qū)間內單調遞增；如果f(x)<0，那么函數yf(x)在這個區(qū)間內單調遞減(2)函數的極值與導數極大值：在點xa附近，滿足f(a)f(x)，當x<a時，f(x)>0，當x>a時，f(x)<0，則點a叫做函數的極大值點，f(a)叫做函數的極大值；極小值：在點xa附近，滿足f(a)f(x)，當x<a時，f(x)<0，當x>a時，f(x)>0，則點a叫做函數的極小值點，f(a)叫做函數的極小值(3)求函數f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值的步驟求函數yf(x)在(a，b)內的極值；將函數yf(x)的極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值6微積分基本定理如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)7定積分的性質(1)kf(x)dxkf(x)dx(k為常數)(2)f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b)1f(x0)是函數yf(x)在xx0附近的平均變化率(×)2函數f(x)sin(x)的導數是f(x)cos x(×)3若函數yf(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)且恒正，則f(x)dx>0.()類型一導數幾何意義的應用例1設函數f(x)x3ax29x1(a>0)，直線l是曲線yf(x)的一條切線，當l的斜率最小時，直線l與直線10xy6平行(1)求a的值；(2)求f(x)在x3處的切線方程考點求函數在某點處的切線方程題點求曲線的切線方程解(1)f(x)x22ax9(xa)2a29，f(x)mina29，由題意知a2910，a1或1(舍去)故a1.(2)由(1)得a1，f(x)x22x9，則kf(3)6，f(3)10.f(x)在x3處的切線方程為y106(x3)，即6xy280.反思與感悟利用導數求切線方程時關鍵是找到切點，若切點未知需設出常見的類型有兩種：一類是求“在某點處的切線方程”，則此點一定為切點，易求斜率進而寫出直線方程即可得；另一類是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，可先設切點為Q(x1，y1)，由f(x1)和y1f(x1)，求出x1，y1的值，轉化為第一種類型跟蹤訓練1直線ykxb與曲線yx3ax1相切于點(2,3)，則b .考點求曲線在某點處的切線方程題點曲線的切線方程的應用答案15解析由題意知f(2)3，則a3.f(x)x33x1，f(x)3x23，f(2)3×2239k，又點(2,3)在直線y9xb上，b39×215.類型二函數的單調性、極值、最值問題例2設a為實數，函數f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調區(qū)間與極值；(2)求證：當a>ln 21且x>0時，ex>x22ax1.考點利用導數研究函數的單調性題點利用導數證明不等式(1)解由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)極小值故f(x)的單調遞減區(qū)間是(，ln 2)，單調遞增區(qū)間是(ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)證明設g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知當a>ln 21時，g(x)取最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)>0.于是對任意xR，都有g(x)>0，所以g(x)在R內單調遞增于是當a>ln 21時，對任意x(0，)，都有g(x)>g(0)而g(0)0，從而對任意x(0，)，都有g(x)>0，即exx22ax1>0，故ex>x22ax1.反思與感悟本類題考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性，求函數的極值和證明不等式，考查運算能力、分析問題、解決問題的能力跟蹤訓練2已知函數f(x)xln x.(1)求f(x)的最小值；(2)若對所有x1都有f(x)ax1，求實數a的取值范圍；(3)若關于x的方程f(x)b恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍考點函數極值的綜合應用題點函數零點與方程的根解(1)f(x)的定義域是(0，)，f(x)1ln x，令f(x)>0，解得x>，令f(x)<0，解得0<x<，故f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，故f(x)minf ln.(2)f(x)xln x，當x1時，f(x)ax1恒成立，等價于xln xax1(x1)恒成立，等價于aln x(x1)恒成立，令g(x)ln x，則ag(x)min(x1)恒成立；g(x)，當x1時，g(x)0，g(x)在1，)上單調遞增，g(x)ming(1)1，a1，即實數a的取值范圍為(，1(3)若關于x的方程f(x)b恰有兩個不相等的實數根，即yb和yf(x)在(0，)上有兩個不同的交點，由(1)知當0<x<時，f(x)<0，f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，f(x)minf ln；故當<b<0時，滿足yb和yf(x)在(0，)上有兩個不同的交點，即若關于x的方程f(x)b恰有兩個不相等的實數根，則<b<0.類型三定積分及其應用例3求由曲線ysin x與直線x，x，y0所圍成的圖形的面積考點利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點需分割的圖形的面積求解解所求面積Ssin xdx(cos x)(cos x)|(cos x)124.反思與感悟由定積分求曲邊梯形面積的方法步驟(1)畫出函數的圖象，明確平面圖形的形狀(2)通過解方程組，求出曲線交點的坐標(3)確定積分區(qū)間與被積函數，轉化為定積分計算(4)對于復雜的平面圖形，常常通過“割補法”來求各部分的面積之和跟蹤訓練3如圖所示，直線ykx將拋物線yxx2與x軸所圍圖形的面積分為相等的兩部分，求k的值考點利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點已知曲線所圍成圖形的面積求參數解拋物線yxx2與x軸的兩交點的橫坐標分別為x10，x21，所以拋物線與x軸所圍圖形的面積S(xx2)dx.拋物線yxx2與ykx兩交點的橫坐標分別為x10，x21k，所以(xx2kx)dx(1k)3，又知S，所以(1k)3，于是k11.1.如圖，yf(x)是可導函數，直線l：ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的導函數，則g(3)等于()A1 B0C2 D4考點導數的幾何意義的應用題點導數的幾何意義答案B解析直線l：ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，f(3)1.又點(3,1)在直線l上，3k21，從而k，f(3)k.g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，則g(3)f(3)3f(3)13×0.2函數F(x)t(t4)dt在1,5上()A有最大值0，無最小值B有最大值0，最小值C有最小值，無最大值D既無最大值也無最小值考點微積分基本定理的應用題點微積分基本定理的綜合應用答案B解析F(x)x24x，令F(x)0，解得x0或4，當F(x)>0時，x>4或x<0，當F(x)<0時，0<x<4.F(x)在0,4上單調遞減，在1,0和4,5上單調遞增又F(0)0，F(1)，F(4)，F(5)，所以當x0時，F(x)取最大值0，當x4時，F(x)取最小值.故選B.3函數f(x)ax3bx2cxd的圖象如圖，則函數yax2bx的單調遞增區(qū)間是()A(，2 B.C2,3 D.考點函數極值的綜合應用題點函數極值在函數圖象上的應用答案D解析不妨取a1，又d0，f(x)x3bx2cx，f(x)3x22bxc.由題圖可知f(2)0，f(3)0，124bc0,276bc0，b，c18.yx2x6，y2x，當x>時，y>0，即單調遞增區(qū)間為，故選D.4體積為16的圓柱，當它的半徑為 時，圓柱的表面積最小考點利用導數求幾何模型的最值問題題點利用導數求面積的最值問題答案2解析設圓柱底面半徑為r，母線長為l.16r2l，即l.則S表面積2r22rl2r22r×2r2，由S4r0，得r2.當r2時，圓柱的表面積最小5已知函數f(x)過點(1，e)(1)求yf(x)的單調區(qū)間；(2)當x>0時，求的最小值；(3)試判斷方程f(x)mx0(mR且m為常數)的根的個數考點函數極值的綜合應用題點函數零點與方程的根解(1)由函數f(x)過點(1，e)，得e1be，即b0，f(x)(x0)，f(x)，令f(x)>0，得x>1，令f(x)<0，得0<x<1或x<0，yf(x)的單調遞增區(qū)間是(1，)，單調遞減區(qū)間是(，0)，(0,1)(2)設g(x)，x>0，g(x)，令g(x)0，解得x2或x0(舍去)，當x(0,2)時，g(x)<0，當x(2，)時，g(x)>0，g(x)在(0,2)上單調遞減，在(2，)上單調遞增，的最小值為g(2).(3)方程f(x)mx0(mR且m為常數)等價于mg(x)，g(x)，易知當x<0時，g(x)>0.結合(2)可得函數g(x)在區(qū)間(0,2)上單調遞減，在(，0)，(2，)上單調遞增原問題轉化為ym與yg(x)的交點個數，其圖象如圖，當m0時，方程f(x)mx0(mR且m為常數)的根的個數為0；當0<m<時，方程f(x)mx0(mR且m為常數)的根的個數為1；當m時，方程f(x)mx0(mR且m為常數)的根的個數為2；當m>時，方程f(x)mx0(mR且m為常數)的根的個數為3.1利用導數的幾何意義可以求出曲線上任意一點處的切線方程yy0f(x0)(xx0)明確“過點P(x0，y0)的曲線yf(x)的切線方程”與“在點P(x0，y0)處的曲線yf(x)的切線方程”的異同點2借助導數研究函數的單調性，經常同三次函數，一元二次不等式結合，融分類討論、數形結合于一體3利用導數求解優(yōu)化問題，注意自變量中的定義域，找出函數關系式，轉化為求最值問題4不規(guī)則圖形的面積可用定積分求解，關鍵是確定積分上、下限及被積函數，積分的上、下限一般是兩曲線交點的橫坐標.一、選擇題1已知函數f(x)sin x，且 2，則a的值為()A2 B2C2 D2考點導數的概念題點導數的概念的簡單應用答案A解析 2，f(1)2，f(x)sin x，f(x)acos x，acos 2，a2，故選A.2設曲線yf(x)在某點處的導數值為0，則過曲線上該點的切線()A垂直于x軸B垂直于y軸C既不垂直于x軸也不垂直于y軸D方向不能確定考點導數的幾何意義的應用題點導數的幾何意義答案B解析曲線yf(x)在某點處的導數值為0，切線的斜率為0，故選B.3若函數f(x)的導數是f(x)x(ax1)(a<0)，則函數f(x)的單調遞減區(qū)間是()A. B.，C. D(，0，考點利用導數求函數的單調區(qū)間題點利用導數求不含參數函數的單調區(qū)間答案C解析f(x)x(ax1)(a<0)，令f(x)<0，即x(ax1)<0，解得0<x<，故選C.4由曲線ysin x，ycos x與直線x0，x所圍成的平面區(qū)域的面積為()A B2C D2考點定積分的幾何意義及性質題點定積分的幾何意義答案D解析如圖所示，兩個陰影部分面積相等，所以兩個陰影面積之和等于0<x<陰影部分面積的2倍，故選D.5.設函數f(x)在R上可導，其導函數為f(x)，且函數y(1x)·f(x)的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是()A函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)C函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)D函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)考點函數極值的綜合應用題點函數極值在函數圖象上的應用答案D解析由函數的圖象可知，f(2)0，f(2)0，并且當x<2時，f(x)>0，當2<x<1，f(x)<0，函數f(x)有極大值f(2)又當1<x<2時，f(x)<0，當x>2時，f(x)>0，故函數f(x)有極小值f(2)，故選D.6已知aln x對任意x恒成立，則a的最大值為()A0 B1C2 D3考點利用導數求函數中參數的取值范圍題點利用導數求恒成立問題中參數的取值范圍答案A解析令f(x)ln x，f(x)，當x時，f(x)<0，f(x)單調遞減，當x(1,2時，f(x)>0，f(x)單調遞增，f(x)f(1)0，則a0，即a的最大值為0.7若函數f(x)x3x22bx在區(qū)間3,5上不是單調函數，則函數f(x)在R上的極大值為()A.b2b3 B.bC2b D0考點函數在某點處取得極值的條件題點含參數求極值問題答案C解析f(x)x2(2b)x2b(xb)(x2)，函數f(x)在區(qū)間3,5上不是單調函數，3<b<5，由f(x)>0，得x<2或x>b，由f(x)<0，得2<x<b，故f(x)在(，2)上單調遞增，在(2，b)上單調遞減，在(b，)上單調遞增，函數f(x)的極大值為f(2)2b.二、填空題8在平面直角坐標系xOy中，點P在曲線C：yx310x3上，且在第二象限內，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標為 考點求函數在某點處的切線斜率或切點坐標題點求函數在某點處的切點坐標答案(2,15)解析y3x210，令y2，解得x±2.又點P在第二象限內，x2，此時y15，點P的坐標為(2,15)9已知曲線y與直線xa，y0所圍成的封閉區(qū)域的面積為a3，則a .考點利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點已知曲線所圍成圖形的面積求參數答案解析由題意得a3dx，即，解得a.10已知定義在區(qū)間(，0)上的函數f(x)xsin xcos x，則f(x)的單調遞減區(qū)間是 考點利用導數求函數的單調區(qū)間題點利用導數求不含參數函數的單調區(qū)間答案解析f(x)xcos x，當x時，f(x)<0，f(x)的單調遞減區(qū)間是.11若函數f(x)(a>0)在1，)上的最大值為，則實數a的值為 考點導數在最值問題中的應用題點已知最值求參數答案1解析f(x)，令f(x)0，得x±，當x>時，f(x)<0，f(x)單調遞減；當<x<時，f(x)>0，f(x)單調遞增若1，即a1，則當x1，)時，f(x)maxf()，解得<1，不合題意，<1，且當x1，)時，f(x)maxf(1)，解得a1，滿足<1.三、解答題12求拋物線yx24x3與其在點(0，3)和點(3,0)處的切線所圍成的圖形的面積考點求函數在某點處的切線方程題點曲線的切線方程的應用解如圖，y2x4，y|x04，y|x32.在點(0，3)處的切線方程是y4x3，在點(3,0)處的切線方程是y2(x3)聯立方程組即得交點坐標為.所以由它們圍成的圖形面積為S.13已知函數f(x)ln x.(1)若f(x)在定義域內單調遞增，求實數k的值；(2)若f(x)的極小值大于0，求實數k的取值范圍考點利用導數研究函數的極值題點已知極值求參數解(1)依題意可知f(x)(xk)(ln x1)，令f(x)0，可得x1k，x2.若x1x2，則在x1，x2之間存在一個區(qū)間，使得f(x)<0，不滿足題意因此x1x2，即k.(2)當k<時，若k>0，則f(x)在上小于0，在上大于0，若k0，則f(x)在上小于0，在上大于0，因此x是極小值點，f >0，解得k>，<k<.當k>時，f(x)在上小于0，在(k，)上大于0，因此xk是極小值點，f(k)(12ln k)>0，解得k<，<k<.當k時，f(x)沒有極小值點，不符合題意綜上可得，實數k的取值范圍為.四、探究與拓展14設函數f(x)ln x(mR)，若對任意的b>a>0，<1恒成立，則實數m的取值范圍是 考點數學思想方法在導數中的應用題點轉化與化歸思想在導數中的應用答案解析對任意的b>a>0，<1恒成立，等價于f(b)b<f(a)a恒成立設函數h(x)f(x)xln xx，則h(x)在(0，)上是單調減函數，即h(x)10在(0，)上恒成立，得mx2x2(x>0)恒成立，得m，所以實數m的取值范圍是.15已知函數f(x)ln xa(x1)，aR.(1)討論函數f(x)的單調性；(2)當x1時，f(x)恒成立，求實數a的取值范圍考點利用導數求函數中參數的取值范圍題點利用導數求恒成立問題中參數的取值范圍解(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)，若a0，則f(x)>0，f(x)在(0，)上單調遞增，若a>0，則由f(x)0，得x，當x時，f(x)>0，當x時，f(x)<0，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減當a0時，f(x)在(0，)上單調遞增，當a>0時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減(2)f(x)，令g(x)xln xa(x21)，x1，g(x)ln x12ax，令F(x)g(x)ln x12ax，F(x)，若a0，F(x)>0，g(x)在1，)上單調遞增，g(x)g(1)12a>0，g(x)在1，)上單調遞增，g(x)g(1)0，從而f(x)0，不符合題意若0<a<，當x時，F(x)>0，g(x)在上單調遞增，從而g(x)>g(1)12a>0，g(x)在上單調遞增，g(x)g(1)0，從而f(x)0，不符合題意若a，F(x)0在1，)上恒成立，g(x)在1，)上單調遞減，g(x)g(1)12a0，從而g(x)在1，)上單調遞減，g(x)g(1)0，f(x)0，綜上所述，實數a的取值范圍是.19