第2課時(shí)橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步鞏固橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.掌握直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí).3.會(huì)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系思考類(lèi)比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定，你能給出點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓1(a>b>0)的位置關(guān)系的判定嗎？答案當(dāng)P在橢圓外時(shí)，>1；當(dāng)P在橢圓上時(shí)，1；當(dāng)P在橢圓內(nèi)時(shí)，<1.梳理設(shè)P(x0，y0)，橢圓1(a>b>0)，則點(diǎn)P與橢圓的位置關(guān)系如下表所示：位置關(guān)系滿(mǎn)足條件P在橢圓外>1P在橢圓上1P在橢圓內(nèi)<1知識(shí)點(diǎn)二直線與橢圓的位置關(guān)系思考類(lèi)比直線與圓的位置關(guān)系，給出直線與橢圓的位置關(guān)系答案有三種位置關(guān)系：相離、相切和相交梳理判斷直線和橢圓位置關(guān)系的方法直線ykxm與橢圓1(ab0)的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立消去y，得關(guān)于x的一元二次方程當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不同解，直線與橢圓相交；當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)相同解，直線與橢圓相切；當(dāng)0時(shí)，方程無(wú)解，直線與橢圓相離知識(shí)點(diǎn)三弦長(zhǎng)公式設(shè)直線l：ykxm(k0，m為常數(shù))與橢圓1(a>b>0)相交，兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則線段AB叫做直線l截橢圓所得的弦，線段AB的長(zhǎng)度叫做弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)公式：|AB|·，其中x1x2與x1x2均可由根與系數(shù)的關(guān)系得到(1)若直線的斜率一定，則當(dāng)直線過(guò)橢圓的中心時(shí)，弦長(zhǎng)最大()(2)直線y1被橢圓y21截得的弦長(zhǎng)為.()(3)已知橢圓1(ab0)與點(diǎn)P(b,0)，過(guò)點(diǎn)P可作出該橢圓的一條切線(×)(4)直線yk(xa)與橢圓1的位置關(guān)系是相交()類(lèi)型一點(diǎn)、直線與橢圓位置關(guān)系的判斷命題角度1點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系的判斷例1已知點(diǎn)P(k,1)，橢圓1，點(diǎn)在橢圓外，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)考點(diǎn)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系答案解析由題可知>1，解得k<或k>.引申探究若將本例中P點(diǎn)坐標(biāo)改為“P(1，k)”呢？答案解析由>1，解得k2>，即k<或k>.反思與感悟處理點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，緊扣判定條件，然后轉(zhuǎn)化為解不等式等問(wèn)題，注意求解過(guò)程與結(jié)果的準(zhǔn)確性跟蹤訓(xùn)練1已知點(diǎn)(3,2)在橢圓1(a>b>0)上，則()A點(diǎn)(3，2)不在橢圓上B點(diǎn)(3，2)不在橢圓上C點(diǎn)(3,2)在橢圓上D以上都不正確考點(diǎn)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系答案C解析由已知，得1，只有選項(xiàng)C正確命題角度2直線與橢圓位置關(guān)系的判斷例2對(duì)不同的實(shí)數(shù)m，討論直線yxm與橢圓y21的位置關(guān)系考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題解由消去y，得5x28mx4m240，(8m)24×5×(4m24)16×(5m2)當(dāng)m時(shí)，0，直線與橢圓相交；當(dāng)m或m時(shí)，0，直線與橢圓相切；當(dāng)m或m時(shí)，0，直線與橢圓相離反思與感悟判斷直線與橢圓位置關(guān)系時(shí)，準(zhǔn)確計(jì)算出判別式是解題關(guān)鍵跟蹤訓(xùn)練2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，求k的取值范圍考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題解由已知條件知直線l的方程為ykx，代入橢圓方程得(kx)21，整理得x22kx10，直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于8k244k220，解得k或k，所以k的取值范圍為.類(lèi)型二弦長(zhǎng)問(wèn)題例3已知橢圓4x25y220的一個(gè)焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|.考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓相交求弦長(zhǎng)與三角形面積解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，a，b2，c1，直線l的方程為yx1(不失一般性，設(shè)l過(guò)左焦點(diǎn))由消去y，得9x210x150.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|AB|x1x2|··×.反思與感悟求解弦長(zhǎng)時(shí)，需正確記憶公式內(nèi)容，其次，準(zhǔn)確得到x1x2和x1x2的值跟蹤訓(xùn)練3橢圓1(ab0)的離心率為，且橢圓與直線x2y80相交于P，Q兩點(diǎn)，若|PQ|，求橢圓方程考點(diǎn)由橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程題點(diǎn)由橢圓的幾何特征求方程解e，b2a2，橢圓方程為x24y2a2，與x2y80聯(lián)立消去y，得2x216x64a20，由0，得a232，由弦長(zhǎng)公式，得10×642(64a2)，a236，b29，橢圓方程為1.類(lèi)型三橢圓中的最值(或范圍)問(wèn)題例4已知橢圓4x2y21及直線yxm.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問(wèn)題解(1)由消去y，得5x22mxm210，因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以4m220(m21)0，解得m.(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，由(1)知，5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|AB|.所以當(dāng)m0時(shí)，|AB|最大，此時(shí)直線方程為yx.反思與感悟求最值問(wèn)題的基本策略(1)求解形如|PA|PB|的最值問(wèn)題，一般通過(guò)橢圓的定義把折線轉(zhuǎn)化為直線，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)|PA|PB|取得最值(2)求解形如|PA|的最值問(wèn)題，一般通過(guò)二次函數(shù)的最值求解，此時(shí)一定要注意自變量的取值范圍(3)求解形如axby的最值問(wèn)題，一般通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法轉(zhuǎn)化為直線問(wèn)題解決(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍跟蹤訓(xùn)練4已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)在橢圓1上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)，|1，且·0，求|的最小值考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問(wèn)題解由|1，A(3,0)，知點(diǎn)M在以A(3,0)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，·0且P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，PMAM，即PM為A的切線，連接PA(如圖)，則|，當(dāng)|minac532時(shí)，|min.1若直線l：2xby30過(guò)橢圓C：10x2y210的一個(gè)焦點(diǎn)，則b的值是()A1BC1或1D或考點(diǎn)由橢圓方程研究簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由橢圓幾何特征求參數(shù)答案C解析易知橢圓x21的焦點(diǎn)為F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，所以b1或1.2已知橢圓的方程是x22y240，則以M(1,1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是()Ax2y30B2xy30Cx2y30D2xy30考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)求橢圓中的直線方程答案A解析由題意易知所求直線的斜率存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)M(1,1)的直線方程為yk(x1)1，即ykx1k.由消去y，得(12k2)x2(4k4k2)x2k24k20，所以×1，解得k，所以所求直線方程為yx，即x2y30.3(2017·牌頭中學(xué)期中)設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若在直線x上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過(guò)點(diǎn)F2，則橢圓離心率的取值范圍是()A.B.C.D.答案D解析方法一由題意知F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P，PF1的中垂線過(guò)點(diǎn)F2，|F1F2|F2P|，即2c，整理得y23c22a2.y20，3c22a20，即3e220，解得e.又0<e<1，e的取值范圍是.方法二設(shè)直線x與x軸交于M點(diǎn)，則|F1F2|F2P|MF2|，即2cc，整理得e2<1，又0<e<1，e<1.橢圓離心率的取值范圍是.故選D.4已知以F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線xy40有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題答案2解析由題意可設(shè)橢圓的方程為1(a2)，與直線方程xy40聯(lián)立，得4(a23)y28(a24)y(16a2)(a24)0，由0，得a，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2.5橢圓y21被直線xy10所截得的弦長(zhǎng)|AB|_.考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓相交求弦長(zhǎng)與三角形面積答案解析由得交點(diǎn)為(0,1)，則|AB|.解決橢圓中點(diǎn)弦問(wèn)題的三種方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決(2)點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿(mǎn)足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系(3)共線法：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，如果弦的中點(diǎn)為P(x0，y0)，設(shè)其一交點(diǎn)為A(x，y)，則另一交點(diǎn)為B(2x0x,2y0y)，則兩式作差即得所求直線方程一、選擇題1點(diǎn)A(a,1)在橢圓1的內(nèi)部，則a的取值范圍是()AaBa或aC2a2D1a1考點(diǎn)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系答案A解析由題意，得1，即a22，解得a.2已知直線l：xy30，橢圓y21，則直線與橢圓的位置關(guān)系是()A相交B相切C相離D相切或相交考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系判定答案C3(2017·牌頭中學(xué)期中)斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為()A2B.C.D.答案C解析設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，則x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|·×.當(dāng)t0時(shí)，|AB|max.4已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則橢圓C的離心率為()A.B.C.D.考點(diǎn)橢圓的離心率問(wèn)題題點(diǎn)求a，b，c的齊次關(guān)系式得離心率答案A解析以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2y2a2，該圓與直線bxay2ab0相切，a，即2b，a23b2，a2b2c2，e.5直線yx2與橢圓1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()Am1Bm1且m3Cm3Dm0且m3考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓位置關(guān)系的判斷答案B解析由可得(3m)x24mxm0，(4m)24m(3m)>0，解得m>1或m<0.又m>0且m3，m>1且m3.6已知A，B是橢圓1(ab0)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M，N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，直線AM，BN的斜率分別為k1，k2(k1k20)，若橢圓的離心率為，則|k1|k2|的最小值為()A1B.C.D.考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問(wèn)題答案A解析設(shè)M(x，y)，N(x，y)(axa)，則k1，k2，又因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，|k1|k2|21，故選A.7已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為12，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M(2,1)，則直線l的斜率為()A.B.C.D.1考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)求橢圓中的直線方程答案C解析因?yàn)闄E圓1的離心率為，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為12，所以解得a2，b，所以橢圓的方程為1，因?yàn)橹本€l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M(2,1)，所以設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x24，y1y22，又因?yàn)閮墒较鄿p，得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，所以(x1x2)(y1y2)0，所以直線l的斜率為k，故選C.二、填空題8(2017·牌頭中學(xué)期中)過(guò)橢圓1內(nèi)一點(diǎn)P(3,1)，且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是_答案3x4y130解析設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，由于A，B兩點(diǎn)均在橢圓上，故1，1，兩式相減得0.又P是A，B的中點(diǎn)，x1x26，y1y22，kAB.直線AB的方程為y1(x3)即3x4y130.9若直線mxny4與圓x2y24沒(méi)有交點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題答案2解析因?yàn)橹本€mxny4與圓x2y24沒(méi)有交點(diǎn)，所以>2，所以m2n2<4，即點(diǎn)P(m，n)在以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓內(nèi)(不包含邊界)，故過(guò)點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓1有兩個(gè)交點(diǎn)10設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線ykx(k>0)與線段AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)若6，則k的值為_(kāi)考點(diǎn)由橢圓方程研究簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由橢圓幾何特征求參數(shù)答案或解析依題意得橢圓的方程為y21，直線AB，EF的方程分別為x2y2，ykx(k>0)如圖，設(shè)D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1<x2，則x1，x2滿(mǎn)足方程(14k2)x24，故x2x1.由6知，x0x16(x2x0)，得x0(6x2x1)x2.由點(diǎn)D在直線AB上知，x02kx02，x0，所以，化簡(jiǎn)得24k225k60，由此解得k或k.11(2017·嘉興一中期末)若P為橢圓1上任意一點(diǎn)，EF為圓N：(x1)2y24的任意一條直徑，則·的取值范圍是_答案5,21三、解答題12已知橢圓C1：y21，橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸，且與C1有相同的離心率(1)求橢圓C2的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C1和C2上，2，求直線AB的方程考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)求橢圓中的直線方程解(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為1(a>2)，其離心率為，故，解得a4，故橢圓C2的方程為1.(2)若將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入到y(tǒng)21中，得(14k2)x24，所以x.將ykx代入到1中，得(4k2)x216，所以x.又由2，得x4x，即，解得k±1.故直線AB的方程為xy0或xy0.13已知橢圓1(ab0)的離心率為，橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離的最大值為1.(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)C(m,0)是線段OF上異于O，F(xiàn)的一個(gè)定點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，是否存在過(guò)點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，使得|AC|BC|，并說(shuō)明理由考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問(wèn)題解(1)由已知可得解得b1，橢圓的方程為y21.(2)由(1)得F(1,0)，0m1.假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的直線l，設(shè)l為yk(x1)，代入到y(tǒng)21中，得(2k21)x24k2x2k220.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，y1y2k(x1x22).設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則M.|AC|BC|，CMAB，即kCMkAB1，2m·k0等價(jià)于(12m)k2m，當(dāng)0m時(shí)，k± ，即存在滿(mǎn)足條件的直線l；當(dāng)m1時(shí)，k不存在，即不存在滿(mǎn)足條件的直線l.四、探究與拓展14已知橢圓C：y21的右焦點(diǎn)為F，直線l：x2，點(diǎn)Al，線段AF交C于點(diǎn)B，若3，則|_.考點(diǎn)由橢圓方程研究簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由橢圓方程研究其他幾何性質(zhì)答案解析設(shè)點(diǎn)A(2，n)，B(x0，y0)由橢圓C：y21，知a22，b21，所以c21，即c1，所以右焦點(diǎn)F(1,0)，所以由3得(1，n)3(x01，y0)，所以13(x01)且n3y0，所以x0，y0n.將x0，y0代入到y(tǒng)21中，得×221，解得n21，所以|.15已知橢圓E：1(ab0)過(guò)點(diǎn)P(2，)，且它的離心率為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)與圓(x1)2y21相切的直線l：ykxt(kR，tR)交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，若橢圓E上一點(diǎn)C滿(mǎn)足(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求實(shí)數(shù)的取值范圍考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題解(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，由已知，得解得所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)因?yàn)橹本€l：ykxt與圓(x1)2y21相切，所以1，所以2k(t0)把ykxt代入1，并整理得(34k2)x28ktx(4t224)0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有x1x2，y1y2kx1tkx2tk(x1x2)2t.因?yàn)?x1x2，y1y2)，所以C，又因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓E上，所以1，可得2，因?yàn)閠20，所以211，所以022，所以的取值范圍為(，0)(0，)17