3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量坐標(biāo)的概念，會(huì)確定一些簡單幾何體的頂點(diǎn)坐標(biāo).2.掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算.3.會(huì)判斷兩向量平行或垂直.4.掌握空間向量的模、夾角公式和兩點(diǎn)間的距離公式知識(shí)點(diǎn)一空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算空間向量a，b，其坐標(biāo)形式為a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法abab(a1b1，a2b2，a3b3)減法abab(a1b1，a2b2，a3b3)數(shù)乘aa(a1，a2，a3)數(shù)量積a·ba·ba1b1a2b2a3b3知識(shí)點(diǎn)二空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則名稱滿足條件向量表示形式坐標(biāo)表示形式abab(R)a1b1，a2b2，a3b3(R)aba·b0a·ba1b1a2b2a3b30模|a|a|夾角cosa，bcosa，b(1)空間直角坐標(biāo)系中，向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)B的坐標(biāo)相同(×)(2)設(shè)a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)且b0，則ab.(×)(3)四邊形ABCD是平行四邊形，則向量與的坐標(biāo)相同()(4)設(shè)A(0,1，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則(0,1，1)()類型一空間向量坐標(biāo)的計(jì)算例1(1)已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，則(2a3b)·(a2b)_.(2)已知ab(2，2)，ab(0，0)，則cosa，b等于()A.B.C.D.考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案(1)244(2)C解析(1)(2a3b)·(a2b)2a23a·b4a·b6b22×62226×72244.(2)由已知得a(1，)，b(1,0，)，故cosa，b.反思與感悟關(guān)于空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的兩類問題(1)直接計(jì)算問題首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來，然后準(zhǔn)確運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算(2)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)首先把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來，然后通過建立方程組，解方程組求出其坐標(biāo)跟蹤訓(xùn)練1若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，且滿足條件(ca)·(2b)2，則x_.考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案2解析據(jù)題意，有ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)，故(ca)·2b2(1x)2，解得x2.類型二空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示例2已知空間三點(diǎn)A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，設(shè)a，b.(1)若|c|3，c，求c；(2)若kab與ka2b互相垂直，求k.考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解(1)因?yàn)?2，1,2)，且c，所以設(shè)c(2，2)，得|c|3|3，解得±1.即c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)因?yàn)閍(1,1,0)，b(1,0,2)，所以kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)又因?yàn)?kab)(ka2b)，所以(kab)·(ka2b)0.即(k1，k,2)·(k2，k，4)2k2k100.解得k2或k.引申探究若將本例(2)中改為“若kab與ka2b互相垂直”，求k的值解由題意知kab(k1，k，2)，ka2b(k2，k,4)，(kab)(ka2b)，(kab)·(ka2b)0，即(k1)(k2)k280，解得k2或k，故所求k的值為2或.反思與感悟(1)平行與垂直的判斷應(yīng)用向量的方法判定兩直線平行，只需判斷兩直線的方向向量是否共線判斷兩直線是否垂直，關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直，即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0.(2)平行與垂直的應(yīng)用適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設(shè)ab)，建立關(guān)于參數(shù)的方程選擇坐標(biāo)形式，以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的跟蹤訓(xùn)練2正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱D1D的中點(diǎn)，P，Q分別為線段B1D1，BD上的點(diǎn)，且3，若PQAE，求的值考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)正方體棱長為1，則A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由題意，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，a,1)，因?yàn)?，所以3(a1，a1,0)(a，a，0)，所以3a3a，解得a，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(b，b,0)，因?yàn)镻QAE，所以·0，所以·0，即0，解得b，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.因?yàn)?，所?1，1,0)，所以1，故4.類型三空間向量的夾角與長度的計(jì)算例3棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn)(1)求證：EFCF；(2)求異面直線EF與CG所成角的余弦值；(3)求CE的長考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用(1)證明以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，F(xiàn)，G.所以，.因?yàn)?#183;×××00，所以，即EFCF.(2)解因?yàn)?#183;×1×0×，|，|，所以cos，.又因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是(0°，90°，所以異面直線EF與CG所成角的余弦值為.(3)解|CE|.反思與感悟通過分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便寫點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)便捷建立坐標(biāo)系后，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再寫出相應(yīng)向量的坐標(biāo)表示，把向量坐標(biāo)化，然后再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解夾角和距離問題跟蹤訓(xùn)練3如圖，在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90°，棱AA12，N為A1A的中點(diǎn)(1)求BN的長；(2)求A1B與B1C所成角的余弦值考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用解如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.(1)依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，|，線段BN的長為.(2)依題意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，(1,1，2)，(0，1，2)，·(1)×01×(1)(2)×(2)3.又|，|，cos，.又異面直線所成角為銳角或直角，故A1B與B1C所成角的余弦值為.1已知M(5，1,2)，A(4,2，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則點(diǎn)B的坐標(biāo)應(yīng)為()A(1,3，3) B(9,1,1)C(1，3,3) D(9，1，1)考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案B解析，(9,1,1)2若ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，2,1)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，則ABC的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等邊三角形考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案A解析(3,4,2)，(5,1,3)，(2，3,1)由·0，得A為銳角；由·0，得C為銳角；由·0，得B為銳角所以ABC為銳角三角形3已知a(2，3,1)，則下列向量中與a平行的是()A(1,1,1) B(4,6，2) C(2，3,5) D(2，3,5)考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案B解析若b(4,6，2)，則b2(2，3,1)2a，所以ab.4已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab與2ab互相垂直，則k的值是()A1B.C.D.考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案D解析依題意得(kab)·(2ab)0，所以2k|a|2ka·b2a·b|b|20，而|a|22，|b|25，a·b1，所以4kk250，解得k.5已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，則向量與的夾角為_考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案解析(0,3,3)，(1,1,0)，|3，|，·0×(1)3×13×03，cos，又，0，.1在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則(x2x1，y2y1，z2z1)一個(gè)向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去它的起點(diǎn)坐標(biāo)2兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|AB|.3空間向量的數(shù)量積和夾角有關(guān)，經(jīng)常以空間向量數(shù)量積為工具，解決立體幾何中與夾角相關(guān)的問題，把空間兩條直線所成的角問題轉(zhuǎn)化為兩條直線對應(yīng)向量的夾角問題，但要注意空間兩條直線所成的角與對應(yīng)向量的夾角的取值范圍一、選擇題1已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，則b等于()A(2，4,2) B(2,4，2)C(2,0，2) D(2,1，3)考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案B2已知直線l的方向向量為a，平面內(nèi)兩共點(diǎn)向量，下列關(guān)系中能表示l的是()AaBakCapD以上均不能考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案D3已知a(1,5，2)，b(m,2，m2)，若ab，則m的值為()A0B6C6D±6考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案B解析ab，1×m5×22(m2)0，解得m6.4已知a(1,0,1)，b(2，1,1)，c(3,1,0)，則|ab2c|等于()A3B2C.D5考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案A解析ab2c(9,3,0)，|ab2c|3.5已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，則4a2b等于()A(16,0,4) B(8，16,4) C(8,16,4) D(8,0,4)考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案D解析4a2b4(3，2,1)2(2,4,0)(12，8,4)(4,8,0)(8,0,4)6已知向量a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，若a與b為共線向量，則()Ax1，y1Bx，yCx，yDx，y考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案C解析a(2x,1,3)與b(1，2y,9)共線，(y0)，x，y.7若A(m1，n1,3)，B(2m，n，m2n)，C(m3，n3,9)三點(diǎn)共線，則mn的值為()A0B1C1D2考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案A解析因?yàn)?m1,1，m2n3)，(2，2,6)，由題意得，所以，所以m0，n0，所以mn0.二、填空題8已知a(2，3,0)，b(k,0,3)，a，b120°，則k_.考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案解析a·b2k，|a|，|b|，且k0，cos120°，k.9已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b同向，則xy的值為_考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案4解析由題意知ab，所以，即把代入得x2x20，即(x2)(x1)0，解得x2或x1.當(dāng)x2時(shí)，y6；當(dāng)x1時(shí)，y3.當(dāng)時(shí)，b(2，4，6)2a，向量a，b反向，不符合題意，所以舍去當(dāng)時(shí)，b(1,2,3)a，a與b同向，所以此時(shí)xy4.10已知A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，則在上的投影為_考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案4解析(5，6,2)(1，1,2)(4，5,0)，(1,3，1)(1，1,2)(0,4，3)，cos，在上的投影為|cos，×4.11已知向量a(5,3,1)，b，若a與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案解析由已知得a·b5×(2)3t1×3t，因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以a·b<0，即3t<0，所以t<.若a與b的夾角為180°，則存在<0，使ab(<0)，即(5,3,1)，所以所以t，故t的取值范圍是.三、解答題12如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，DAB60°，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°.(1)求四棱錐P-ABCD的體積；(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解(1)四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且DAB60°，OAOC，BOOD1，S菱形ABCD×2×22.在RtPOB中，PBO60°，POOB·tan60°.VPABCDS菱形ABCD·PO×2×2.(2)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則B(1,0,0)，C(0，0)，D(1,0,0)，A(0，0)，P(0,0，)E，.·00×()，|，|.cos，.異面直線所成的角為銳角或直角，異面直線DE與PA所成角的余弦值為.13已知a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)當(dāng)(ab)(a3b)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)(a3b)(ab)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解a(1,5，1)，b(2,3,5)，a3b(1,5，1)3(2,3,5)(1,5，1)(6,9,15)(7，4，16)，ab(1,5，1)(2,3,5)(，5，)(2,3,5)(2,53，5)(1)(ab)(a3b)，解得.(2)(a3b)(ab)，(7，4，16)·(2,53，5)0，即7(2)4(53)16(5)0，解得.四、探究與拓展14已知三角形的頂點(diǎn)是A(1，1,1)，B(2,1，1)，C(1，1，2)則這個(gè)三角形的面積為_考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案解析由題意得(1,2，2)，(2,0，3)，|3，|，·(1,2，2)·(2,0，3)264，cos Acos，sin A，SABC|·sin A.15已知a，b，c為正數(shù)，且abc1，求證4.考點(diǎn)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明設(shè)m(，)，n(1,1,1)，則|m|4，|n|，由題意知m·n|m|n|，即4.當(dāng)且僅當(dāng)，即abc時(shí)，取“”號(hào)15