第2講數(shù)列的求解與綜合創(chuàng)新 2019考向?qū)Ш娇键c掃描三年考情考向預(yù)測2019201820171數(shù)列求通項、求和及求參數(shù)的范圍(值)第14題以解答題的形式考查，主要是等差、等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式及其性質(zhì)等知識交匯綜合命題，考查用數(shù)列知識分析問題、解決問題的能力，屬高檔題2數(shù)列的綜合與創(chuàng)新第20題第20題第19題1必記的概念與定理(1)等差數(shù)列an的前n項和公式：Snna1d；(2)等比數(shù)列an的前n項和公式：q1時，Sn；q1時，Snna1；(3)數(shù)列求和的方法技巧分組轉(zhuǎn)化法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列的通項公式拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并錯位相減法這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列倒序相加法若求和式中到首尾距離相等的兩項和相等或者求和式中到首尾距離相等的兩項具有某種對稱性，則可以考慮使用倒序相加的求和方法在使用倒序相加法求和時要注意相加后求出的和是所求和的二倍，得出解題結(jié)果后不要忽視了除以2裂項相消法利用通項公式變形，將通項公式分裂成兩項或幾項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和2記住幾個常用的公式與結(jié)論常見的拆項公式：(1)；(2)；(3)；(4)()3需要關(guān)注的易錯易混點在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q1與q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情形導(dǎo)致解題失誤數(shù)列求通項、求和及求參數(shù)的范圍(值)典型例題 (2019·南京高三模擬)已知常數(shù)p0，數(shù)列an滿足an1|pan|2anp，nN*(1)若a11，p1，求a4的值；求數(shù)列an的前n項和Sn(2)若數(shù)列an中存在三項ar，as，at(r，s，tN*，rst)依次成等差數(shù)列，求的取值范圍【解】(1)因為p1，所以an1|1an|2an1因為a11，所以a2|1a1|2a111，a3|1a2|2a213，a4|1a3|2a319因為a21，an1|1an|2an1，所以當(dāng)n2時，an1，從而an1|1an|2an1an12an13an(n2)，所以an3n2(n2)當(dāng)n1時，S11當(dāng)n2時，Sn1a2a3an1所以Sn即Sn，nN*(2)因為an1an|pan|anppananp2p0，所以an1an，即an單調(diào)遞增當(dāng)1時，有a1p，于是ana1p，所以an1|pan|2anpanp2anp3an，所以an3n1a1若an中存在三項ar，as，at(r，s，tN*，rst)依次成等差數(shù)列，則有2asarat，即2×3s13r13t1(*)因為st1，所以2×3s1×3s3t13r13t1，即(*)不成立故此時數(shù)列an中不存在三項依次成等差數(shù)列當(dāng)11時，有pa1p此時a2|pa1|2a1ppa12a1pa12pp，于是當(dāng)n2時，ana2p，從而an1|pan|2anpanp2anp3an所以an3n2a23n2(a12p)(n2)若an中存在三項ar，as，at(r，s，tN*，rst)依次成等差數(shù)列，由可知，r1，于是有2×3s2(a12p)a13t2(a12p)因為2st1，所以2×3s23t2×3s×3t10因為2×3s23t2是整數(shù)，所以1，于是a1a12p，即a1p，與pa1p矛盾，故此時數(shù)列an中不存在三項依次成等差數(shù)列當(dāng)1時，有a1pp，a1p0，于是a2|pa1|2a1ppa12a1pa12p，a3|pa2|2a2p|pa1|2a15ppa12a15pa14p，此時有a1，a2，a3成等差數(shù)列綜上可知：1對于數(shù)列中有關(guān)參數(shù)的范圍(值)問題，技巧性較高，主要是抓住nN*這一特點，常常用函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化化歸思想將有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)或放縮到某一范圍處理對點訓(xùn)練1(2019·江蘇名校高三入學(xué)摸底)已知數(shù)列an滿足a11，nan12(n1)an(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和Sn；(3)在第(2)問的條件下，若不等式(1)n(4Sn)1對任意的nN*恒成立，求的取值范圍解 (1)由已知得，其中nN*，又1，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以2n1，則ann·2n1(2)由(1)知，bn，故Sn44(3)由(2)得Sn4，所以(1)n(4Sn)1可化為1當(dāng)n為奇數(shù)時，不等式可化為，記f(n)，易證f(n)是遞減數(shù)列，所以f(n)maxf(1)1，所以1當(dāng)n為偶數(shù)時，不等式可化為，記g(n)，易證g(n)是遞增數(shù)列，所以g(n)ming(2)3，所以3綜上可知，的取值范圍為13數(shù)列的綜合與創(chuàng)新典型例題 (2019·高考江蘇卷)定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M數(shù)列”(1)已知等比數(shù)列an(nN*)滿足：a2a4a5，a34a24a10，求證：數(shù)列an為“M數(shù)列”；(2)已知數(shù)列bn(nN*)滿足：b11，其中Sn為數(shù)列bn的前n項和求數(shù)列bn的通項公式；設(shè)m為正整數(shù)若存在“M數(shù)列”cn(nN*)，對任意正整數(shù)k，當(dāng)km時，都有ckbkck1成立，求m的最大值【解】(1)證明：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，所以a10，q0由得解得因此數(shù)列an為“M數(shù)列”(2)因為，所以bn0由b11，S1b1，得，則b22由，得Sn，當(dāng)n2時，由bnSnSn1，得bn，整理得bn1bn12bn所以數(shù)列bn是首項和公差均為1的等差數(shù)列因此，數(shù)列bn的通項公式為bnn(nN*)由知，bkk，kN*因為數(shù)列cn為“M數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c11，q>0因為ckbkck1，所以qk1kqk，其中k1，2，3，m當(dāng)k1時，有q1；當(dāng)k2，3，m時，有l(wèi)n q設(shè)f(x)(x>1)，則f(x)令f(x)0，得xe列表如下：x(1，e)e(e，)f(x)0f(x)極大值因為<，所以f(k)maxf(3)取q，當(dāng)k1，2，3，4，5時，ln q，即kqk，經(jīng)檢驗知qk1k也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分別取k3，6，得3q3，且q56，從而q15243，且q15216，所以q不存在因此所求m的最大值小于6綜上，所求m的最大值為5數(shù)列綜合與創(chuàng)新問題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標(biāo)，為最終解決問題設(shè)置中間問題，例如求和需要先求出通項公式、求通項公式需要先求出首項和公差(公比)等，確定解題的順序(2)注意細(xì)節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等，這些細(xì)節(jié)對解題的影響也是巨大的對點訓(xùn)練2對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列an 滿足：ankank1an1an1ank1ank2kan對任意正整數(shù)n(n>k) 總成立，則稱數(shù)列an 是“P(k)數(shù)列”(1)證明：等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”；(2)若數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：an是等差數(shù)列證明 (1)因為an是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則ana1(n1)d，從而，當(dāng)n4時，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1，2，3，所以an3an2an1an1an2an36an，因此等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”(2)數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此，當(dāng)n3時，an2an1an1an24an，當(dāng)n4時，an3an2an1an1an2an36an由知，an3an24an1(anan1)，an2an34an1(an1an)將代入，得an1an12an，其中n4，所以a3，a4，a5，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d在中，取n4，則a2a3a5a64a4，所以a2a3d，在中，取n3，則a1a2a4a54a3，所以a1a32d，所以數(shù)列an是等差數(shù)列1已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足SnSmSnm(n，mN*)且a15，則a8_解析 數(shù)列an的前n項和Sn滿足SnSmSnm(n，mN*)且a15，令m1，則Sn1SnS1Sn5，即Sn1Sn5，所以an15，所以a85答案 52(2019·江蘇省名校高三入學(xué)摸底卷)已知公差不為0的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則的值為_解析 法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因為a1，a3，a4成等比數(shù)列，所以aa1a4，所以(a12d)2a1(a13d)，因為d0，所以a14d，所以3法二：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因為a1，a3，a4成等比數(shù)列，所以aa1a4，所以(a12d)2a1(a13d)，因為d0，所以a14d，所以3答案 33(2019·泰州市高三模擬)設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)2xln，記anf(n5)，則數(shù)列an的前8項和為_解析 數(shù)列an的前8項和為a1a2a8f(4)f(3)f(3)f(4)f(3)f(3)f(2)f(2)f(1)f(1)f(0)f(4)f(4)(24ln 1)16答案 164(2019·日照模擬改編)已知數(shù)列an的前n項和Snn26n，則|an|的前n項和Tn_解析 由Snn26n可得，當(dāng)n2時，anSnSn1n26n(n1)26(n1)2n7當(dāng)n1時，S15a1，也滿足上式，所以an2n7，nN*所以n3時，an0；n4時，an0，所以Tn答案 5已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，并且S10>0，S11<0，若SnSk對nN*恒成立，則正整數(shù)k的值為_解析 由S10>0，S11<0知a1>0，d<0，并且a1a11<0，即a6<0，又a5a6>0，所以a5>0，即數(shù)列的前5項都為正數(shù)，第5項之后的都為負(fù)數(shù)，所以S5最大，則k5答案 56(2019·南京高三模擬)若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a3a12，則a5的最小值為_解析 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0且q1)，則由a3a12，得a1因為a3a120，所以q1，所以a5a1q4令q21t0，所以a528，當(dāng)且僅當(dāng)t1，即q時，等號成立，故a5的最小值為8答案 87(2019·江蘇名校高三入學(xué)摸底)定義實數(shù)a，b之間的運算如下：ab，已知數(shù)列an滿足：a1a21，an2(nN*)，若a2 0171，記數(shù)列an的前n項和為Sn，則S2 017的值為_解析 因為a11，a21，所以a34，a48，a54，a61，a71，a84，即此時an是周期數(shù)列，且周期為5，所以a2 017a21，a1a2a3a4a518，故S2 017403×18a1a27 256答案 7 2568對于數(shù)列an，定義數(shù)列an1an為數(shù)列an的“差數(shù)列”，若a12，an的“差數(shù)列”的通項公式為an1an2n，則數(shù)列an的前n項和Sn_解析 因為an1an2n，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n所以Sn2n12答案 2n129(2019·徐州調(diào)研)設(shè)等差數(shù)列an滿足a3a736，a4a6275，且anan1有最小值，則這個最小值為_解析 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因為a3a736，所以a4a636，與a4a6275，聯(lián)立，解得或當(dāng)時，可得此時an7n17，a23，a34，易知當(dāng)n2時，an<0，當(dāng)n3時，an>0，所以a2a312為anan1的最小值；當(dāng)時，可得此時an7n53，a74，a83，易知當(dāng)n7時，an>0，當(dāng)n8時，an<0，所以a7a812為anan1的最小值綜上，anan1的最小值為12答案 1210(2019·昆明調(diào)研)將數(shù)列an中的所有項按每一行比上一行多1項的規(guī)則排成如下數(shù)陣：記數(shù)陣中的第1列數(shù)a1，a2，a4，構(gòu)成的數(shù)列為bn，Sn為數(shù)列bn的前n項和若Sn2bn1，則a56_解析 當(dāng)n2時，因為Sn2bn1，所以Sn12bn11，所以bn2bn2bn1，所以bn2bn1(n2且nN*)，因為b12b11，所以b11，所以數(shù)列bn是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以bn2n1設(shè)a1，a2，a4，a7，a11，的下標(biāo)1，2，4，7，11，構(gòu)成數(shù)列cn，則c2c11，c3c22，c4c33，c5c44，cncn1n1，累加得，cnc11234(n1)，所以cn1，由cn156，得n11，所以a56b112101 024答案 1 02411(2019·江蘇名校高三入學(xué)摸底)構(gòu)造數(shù)組，規(guī)則如下：第一組是兩個1，即(1，1)，第二組是(1，2a，1)，第三組是(1，a(12a)，2a，a(2a1)，1)，在每一組的相鄰兩個數(shù)之間插入這兩個數(shù)的和的a倍得到下一組，其中a設(shè)第n組中有an個數(shù)，且這an個數(shù)的和為Sn(nN*)(1)求an和Sn；(2)求證：解 (1)由題意可得a12，an1an(an1)2an1，所以an112(an1)，又a111，則an12n1，所以an2n11又S12，且Sn1Sn2a(Sn1)(2a1)Sn2a，則Sn11(2a1)(Sn1)，又S111，所以Sn1(2a1)n1，所以Sn(2a1)n11(2)證明：令bn，則bn下面用分析法證明數(shù)列bn為單調(diào)遞增數(shù)列要證bn<bn1，即證<，又a，故即證2(2a1)n12>(2a1)n1，只需證2(2a1)n1(2a1)n，即證22a1，顯然成立，則數(shù)列bn為單調(diào)遞增數(shù)列所以n12(2019·江蘇名校高三入學(xué)摸底)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足：a1a，a2b，an1(nN*)，其中m，a，b均為實常數(shù)(1)若m0，且a4，3a3，a5成等差數(shù)列求的值；若a2，令bn，求數(shù)列bn的前n項和Sn；(2)是否存在常數(shù)，使得anan2an1對任意的nN*都成立？若存在，求出實數(shù)的值(用m，a，b表示)；若不存在，請說明理由解 (1)因為m0，所以aanan2，所以正項數(shù)列an是等比數(shù)列，不妨設(shè)其公比為q又a4，3a3，a5成等差數(shù)列，所以q2q6，解得q2或q3(舍去)，所以2當(dāng)a2時，數(shù)列an是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，所以an2n，所以bn即數(shù)列bn的奇數(shù)項依次構(gòu)成首項為2、公比為4的等比數(shù)列，偶數(shù)項依次構(gòu)成首項為3、公差為4的等差數(shù)列當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn；當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn(2n1)所以Sn(2)存在常數(shù)，使得anan2an1對任意的nN*都成立證明如下：因為aanan2m(nN*)，所以aan1an1m，n2，nN*，所以aaanan2an1an1，即aan1an1anan2a由于an>0，此等式兩邊同時除以anan1，得，所以，即當(dāng)n2，nN*時，都有anan2an1因為a1a，a2b，aanan2m，所以a3，所以，所以當(dāng)時，對任意的nN*都有anan2an1成立13(2019·泰州市高三模擬)已知數(shù)列an，bn滿足2Sn(an2)bn，其中Sn是數(shù)列an的前n項和(1)若數(shù)列an是首項為，公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列bn的通項公式；(2)若bnn，a23，求數(shù)列an的通項公式；(3)在(2)的條件下，設(shè)cn，求證：數(shù)列cn中的任意一項總可以表示成該數(shù)列其他兩項之積解 (1)因為an2，Sn，所以bn(2)若bnn，則2Snnan2n，所以2Sn1(n1)an12(n1)，得2an1(n1)an1nan2，即nan(n1)an12，當(dāng)n2時，(n1)an1(n2)an2，得(n1)an1(n1)an12(n1)an，即an1an12an，由2S1a12，得a12，又a23，所以數(shù)列an是首項為2，公差為321的等差數(shù)列，故數(shù)列an的通項公式是ann1(3)證明：由(2)得cn，對于給定的nN*，若存在kn，tn，k，tN*，使得cnck·ct，只需·，即1·，即，則t，取kn1，則tn(n2)，所以對數(shù)列cn中的任意一項cn，都存在cn1和cn22n，使得cncn1·cn22n14(2019·鹽城高三模擬)已知數(shù)列an滿足a1m，an1(kN*，rR)，其前n項和為Sn(1)當(dāng)m與r滿足什么關(guān)系時，對任意的nN*，數(shù)列an都滿足an2an?(2)對任意的實數(shù)m，r，是否存在實數(shù)p與q，使得a2n1p與a2nq是同一個等比數(shù)列？若存在，請求出p，q滿足的條件；若不存在，請說明理由；(3)當(dāng)mr1時，若對任意的nN*，都有Snan，求實數(shù)的最大值解 (1)由題意，得a1m，a22a12m，a3a2r2mr，由a3a1，得mr0當(dāng)mr0時，因為an1(kN*)，所以a1a3m，a2a42m，故對任意的nN*，數(shù)列an都滿足an2an即當(dāng)實數(shù)m，r滿足mr0時，題意成立(2)依題意，a2n1a2nr2a2n1r，則a2n1r2(a2n1r)，因為a1rmr，所以當(dāng)mr0時，a2n1r是等比數(shù)列，且a2n1r(a1r)2n(mr)2n為使a2n1p是等比數(shù)列，則pr同理，當(dāng)mr0時，a2n2r(mr)2n，則為使a2nq是等比數(shù)列，則q2r綜上所述，若mr0，則不存在實數(shù)p，q，使得a2n1p與a2nq是等比數(shù)列；若mr0，則當(dāng)p，q滿足q2p2r時，a2n1p與a2nq是同一個等比數(shù)列(3)當(dāng)mr1時，由(2)可得a2n12n1，a2n2n12，當(dāng)n2k時，ana2k2k12，SnS2k(21222k)(22232k1)3k3(2k1k2)，所以3令ck，則ck1ck<0，所以，當(dāng)n2k1時，ana2k12k1，SnS2ka2k3(2k1k2)(2k12)2k23k4，所以4，同理可得1，1綜上所述，實數(shù)的最大值為1- 15 -